學(xué)會(huì)求幾何體的體積[文檔資料]

學(xué)會(huì)求幾何體的體積 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 策略 1：直接法 當(dāng)題目給出的是規(guī)范幾何體且已知條件比較集中時(shí)，我們就按所給圖像的方位用公式直接計(jì)算出體積 . 例 1 （ 2013 年高考全國新課標(biāo) 卷文科卷第 19題）如圖 1，三棱柱 ABC-A1B1C1 中， CA=CB， AB=AA1，BAA1=60. （ ）證明： ABA1C ； （ ）若 AB=CB=2， A1C= ，求三棱柱 ABC-A1B1C1 的體積 . 難度系數(shù) 0.70 分析 不要將題目中的斜三棱柱看成直棱柱，好在第（ ）問起到明顯的提示作用 .解答本題的關(guān)鍵在于找到（作出）棱柱的高 . （ ）證明：取 AB的中點(diǎn)為 O，連接 OC， OA1， A1B.由于 CA=CB，所以 OCAB. 由于 AB=AA1， BAA1=60 ，所以AA1B 為等邊三角形 .所以 OA1AB. 由于 OCOA1 = O ，所以 AB 平面 OA1C.又 A1C？奐平面 OA1C，所以 ABA1C. （ ）解：由題設(shè)可知 ABC 與 AA1B 都是邊長為 2的等邊三 角形，所以 OC=OA1= .又 A1C= ，則A1C2=OC2+OA21，所以 OA1OC. 由于 OCAB=O ，所以 OA1 平面 ABC， OA1 為三棱柱ABC-A1B1C1 的高 . 又 ABC 的面積 SABC = ，所以三棱柱 ABC-A1B1C1的體積 V=SABC OA1=3. 小結(jié) 這類問題中的幾何體規(guī)范，考生很容易找到底面和高，并且計(jì)算常規(guī)，所以通常直接使用公式解答即可 .不過需要注意的是，考生要寫清楚計(jì)算的理由 .另外，本題還可以考慮利用割補(bǔ)法來處理 . 策略 2：換底 法 當(dāng)按題目所給圖像的方位不便于計(jì)算時(shí)，我們可選擇條件較集中的面作底面，以便于計(jì)算底面積和高 .這種方法尤其適用于跟棱錐有關(guān)的體積計(jì)算問題 . 例 2 （ 2013 年高考湖南文科卷第 17題）如圖 2，在直棱柱 ABC-A1B1C1 中， BAC=90 ， AB=AC= ， AA1=3， D 是 BC的中點(diǎn)，點(diǎn) E 在棱 BB1 上運(yùn)動(dòng) . （ ）證明： ADC1E ； （ ）當(dāng)異面直線 AC， C1E 所成的角為 60 時(shí)，求三棱錐 C1-A1B1E 的體積 . 難度系數(shù) 0.75 分析 根據(jù)題 目中幾何體的特點(diǎn)，求三棱錐 C1-A1B1E的體積我們可以考慮換一個(gè)視角，以 A1B1C1 為底，這樣處理起來更為簡便、合理 . （ ）證明：由于 E 為動(dòng)點(diǎn)，所以需要證明 AD 平面CBB1C1. 由于 ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以 BB1 平面 ABC.由AD？奐平面 ABC，可得 BB1AD. 又 RtABC 是等腰直角三角形，且 D 是 BC的中點(diǎn)，所以 BCAD. 由 BCBB1=B 及以上所述，可得 AD 平面 CBB1C1. 又 C1E？奐平面 CBB1C1，所以 ADC1E . （ ）解：由于 ACA1C1 ，所以 A1C1E 是異面直線AC， C1E 所成的角，則 A1C1E=60. 在 RtA1C1E 中，A1E= ；在 RtA1B1E 中， EB1=2. 由于 ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以 EB1 是三棱錐 E-A1B1C1 的高 . 由于 V 三棱錐 =V三棱錐 = S EB1= 12 = ，所以三棱錐 C1-A1B1E 的體積為 . 小結(jié) 利用換底法，我們能夠從側(cè)面迂回地解決一些從正面較難下手的問題，這是數(shù)學(xué)中的一種重要思想方法 .在利用換底法答題時(shí) ，我們應(yīng)該在原圖形中找到一個(gè)較容易計(jì)算出面積及其對應(yīng)高的平面來 . 策略 3：割補(bǔ)法 當(dāng)題目所給的是非規(guī)范（或條件比較分散的規(guī)范）幾何體時(shí)，我們可通過對圖像的割補(bǔ)或體積變換，將其化為與已知條件有直接聯(lián)系的規(guī)范幾何體，并作體積的加減法 . 例 3 （ 2013 年高考重慶文科卷第 19題）如圖 3，四棱錐 P-ABCD 中， PA 底面 ABCD， PA=2 ， BC=CD=2，ACB=ACD= . （ ）求證： BD 平面 PAC； （ ）若側(cè)棱 PC上的點(diǎn) F 滿足 PF=7FC，求三棱錐 P-BDF 的體積 . 難度系數(shù) 0.75 分析 如果直接求三棱錐 P-BDF 的體積，底面 BDF 的面積和高都不太好求，考慮到條件 “PA 底面 ABCD” ，我們可以嘗試 “ 補(bǔ)形 ” 后將其處理成兩個(gè)幾何體的體積之差，從而使問題得以解決 . （ ）證明：由于 BC=CD，即 BCD 為等腰三角形，又ACB=ACD ，所以 BDAC. 由于 PA 底面 ABCD，所以 PABD ，從而 BD與平面PAC 內(nèi)的兩條相交直線 PA， AC 都垂直 . 所以 BD 平面 PAC. （ ）解：三棱錐 P-BCD的底面 BCD 的面積 SBCD = BCCDsinBCD= 22sin = . 由 PA 底面 ABCD，得 V 三棱錐 = S PA= 2 = 2. 由 PF =7FC，得三棱錐 F-BCD 的高為 PA，故 V 三棱錐 = S PA= 2 = . 所以 V 三棱錐 =V三棱錐 -V 三棱錐 =2- = . 小結(jié) 本題通過將三棱錐 P-BDF 拓展補(bǔ)為三棱錐 P-BCD，將原問題轉(zhuǎn)化為三棱錐 P-BCD 與三棱錐 F-BCD 的體積之差，然后利用間接法求得 最后結(jié)果 .與分割一樣，有時(shí)為了計(jì)算方便，我們可將已給的幾何體