數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)文化論文.doc

數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)文化論文本學(xué)期我選修了數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)文化這門選修課，通過(guò)對(duì)這門課的學(xué)習(xí)研究，雖然只有短短的十周左右，讓我對(duì)于數(shù)學(xué)思維在理論研究和實(shí)際生活中的應(yīng)用有了更深刻的認(rèn)識(shí)，同時(shí)我也了解了許多數(shù)學(xué)文化的知識(shí)，培養(yǎng)了我對(duì)于數(shù)學(xué)的認(rèn)知能力，特別加深了我對(duì)于高等數(shù)學(xué)這門原本有些陌生的課程的理解與認(rèn)識(shí)。下面結(jié)合本學(xué)期選修課所了解的內(nèi)容，就高等數(shù)學(xué)的思維方法與高等數(shù)學(xué)的文化做一個(gè)簡(jiǎn)單的論文報(bào)告。高等數(shù)學(xué)史以經(jīng)典微積分為主要內(nèi)容的。在選修課的前幾節(jié)，老師向我們介紹了微積分的一些數(shù)學(xué)歷史。微積分的思想萌芽，特別是積分學(xué)，部分可以追溯到古代。我們已經(jīng)知道，面積和體積的計(jì)算自古以來(lái)一直是數(shù)學(xué)家們感興趣的課題，在古代希臘、中國(guó)和印度數(shù)學(xué)家們的著述中，不乏用無(wú)限小過(guò)程計(jì)算特殊形狀的面積、體積和曲線長(zhǎng)的例子，這便是積分學(xué)最早的應(yīng)用。與積分學(xué)相比而言，微分學(xué)的起源則要晚得多。刺激微分學(xué)發(fā)展的主要科學(xué)問題是求曲線的切線、求瞬時(shí)變化率以及求函數(shù)的極大極小值等問題。古希臘學(xué)者曾進(jìn)行過(guò)作曲線切線的嘗試，如阿基米德論螺線中給出過(guò)確定螺線在給定點(diǎn)處的切線的方法；阿波羅尼奧斯圓錐曲線論中討論過(guò)圓錐曲線的切線，等等。但所有這些都是基于靜態(tài)的觀點(diǎn)，把切線看作是與曲線只在一點(diǎn)接觸且不穿過(guò)曲線的“切觸線”而與動(dòng)態(tài)變化無(wú)干。古代與中世紀(jì)中國(guó)學(xué)者在天文歷法研究中曾涉及到天體運(yùn)動(dòng)的不均勻性及有關(guān)的極大、極小值問題，如郭守敬授時(shí)歷中求“月離遲疾”(月亮運(yùn)行的最快點(diǎn)和最慢點(diǎn))、求月亮白赤道交點(diǎn)與黃赤道交點(diǎn)距離的極值(郭守敬甚至稱之為“極數(shù)”)等問題，但東方學(xué)者以慣用的數(shù)值手段(“招差術(shù)”，即有限差分計(jì)算)來(lái)處理，從而回避了連續(xù)變化率?？傊?，在17世紀(jì)以前，真正意義上的微分學(xué)研究的例子可以說(shuō)是很罕見的。提到微積分的發(fā)展，老師向我們著重介紹了牛頓，開普勒，笛卡爾，萊布尼茨，拉格朗日等人的生平事跡與他們當(dāng)時(shí)所處的社會(huì)環(huán)境，以及他們對(duì)于微積分的發(fā)展做出的不同貢獻(xiàn)。德國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒在1615年發(fā)表的測(cè)量酒桶的新立體幾何中，論述了其利用無(wú)限小元求旋轉(zhuǎn)體體積的積分法。他的無(wú)限小元法的要旨是用無(wú)數(shù)個(gè)同維無(wú)限小元素之和來(lái)確定曲邊形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積。意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里在其著作用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分量的幾何學(xué)(1635)中發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法笛卡兒的代數(shù)方法在推動(dòng)微積分的早期發(fā)展方圓有很大的影響，牛頓就是以笛卡兒圓法為起跑點(diǎn)而踏上研究微積分的道路的。17世紀(jì)上半葉一系列先驅(qū)性的工作，沿著不同的方向向微積分的大門逼近，但所有這些努力還不足以標(biāo)志微積分作為一門獨(dú)立科學(xué)的誕生。前驅(qū)者對(duì)于求解各類微積分問題確實(shí)做出了寶貴的貢獻(xiàn)，但他們的方法仍缺乏足夠的一般性。雖然有人注意到這些問題之間的某些聯(lián)系，但沒有人將這些聯(lián)系作為一般規(guī)律明確提出來(lái)，作為微積分基本特征的積分和微分的互逆關(guān)系也沒有引起足夠的重視。老師在上課時(shí)曾與我們研究討論過(guò)牛頓的一席話，牛頓說(shuō)他之所以會(huì)取得巨大的成就，是因?yàn)樗驹诰奕说募绨蛏?。其?shí)牛頓并不是謙虛，他的確是吸收了前輩們對(duì)于還未成形的微積分的研究成果。對(duì)牛頓的數(shù)學(xué)思想影響最深的要數(shù)笛卡兒的幾何學(xué)和沃利斯的無(wú)窮算術(shù)對(duì)他影響最深，正是這兩那著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路。在牛頓以前，面積總是被看成是無(wú)限小不可分量之和，牛頓則從確定面積的變化率入手通過(guò)反微分計(jì)算面積。面積計(jì)算與求切線問題的互逆關(guān)系，以往雖然也曾被少數(shù)人在特殊場(chǎng)合模糊地指出，但牛頓卻能以足夠的敏銳的能力將這種互逆關(guān)系明確地作為一般規(guī)律揭示出來(lái)，并將其作為建立微積分普遍算法的基礎(chǔ)正如牛頓本人在流數(shù)簡(jiǎn)論中所說(shuō)：一旦反微分問題可解，許多問題都將迎刃而解。這樣，牛頓就將自古希臘以來(lái)求解無(wú)限小問題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分，并證明了二者的互逆關(guān)系而將這兩類運(yùn)算進(jìn)一步統(tǒng)一成整體。這是他超越前人的功績(jī)，正是在這樣的意義下，我們才可說(shuō)牛頓發(fā)明了微積分。然而，在了解了牛頓對(duì)于微積分做出的重大貢獻(xiàn)的同時(shí)，老師還向我們提到，牛頓和萊布尼茨的微積分是不嚴(yán)格的，特別在使用無(wú)限小概念上的隨意與混亂，這使他們的學(xué)說(shuō)從一開始就受到懷疑和批評(píng)。牛頓因此一生都沒發(fā)表過(guò)論文，因?yàn)樵缜爸灰话l(fā)表論文就會(huì)招來(lái)許多的批評(píng)。歐洲大陸的數(shù)學(xué)家們則力圖以代數(shù)化的途徑來(lái)克服微積分基礎(chǔ)的困難。在18世紀(jì)，這方面的代表人物是達(dá)朗貝爾、歐拉和拉格朗日。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們一方面努力探索在微積分中注入嚴(yán)密性的途徑，一方面又不顧基礎(chǔ)問題的困難而大膽前進(jìn)，極大地?cái)U(kuò)展了微積分的應(yīng)用范圍，尤其是與力學(xué)的有機(jī)結(jié)合，其緊密程度是數(shù)學(xué)史上任何時(shí)期都無(wú)法比擬的，它已成為18世紀(jì)數(shù)學(xué)的鮮明特征之一。微積分的這種廣泛應(yīng)用成為新思想的源泉，從而也使數(shù)學(xué)本身大大受益，一系列新的數(shù)學(xué)分支在18世紀(jì)逐漸成長(zhǎng)了起來(lái)。選修課上老師的一句話曾給我了些許的困惑，就是數(shù)學(xué)家一般都是哲學(xué)家，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人比學(xué)習(xí)哲學(xué)的人要更嚴(yán)謹(jǐn)更有邏輯。但隨著時(shí)間的推移，通過(guò)選修課對(duì)于數(shù)學(xué)思維文化的一些了解，我逐漸釋然起來(lái)。我了解到，數(shù)學(xué)和哲學(xué)同為兩門最古老的學(xué)科。從古代常量數(shù)學(xué),到近代變量數(shù)學(xué)及現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的形成過(guò)程中,哲學(xué)在推動(dòng)其發(fā)展、揭示其內(nèi)涵方面起到了重要作用。而數(shù)學(xué)也以其高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性為哲學(xué)的發(fā)展提供依據(jù)和論證?？梢哉f(shuō),在人們不斷地對(duì)自我和大自然的認(rèn)識(shí)過(guò)程中,數(shù)學(xué)和哲學(xué)都得到了很大的發(fā)展。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，當(dāng)我們同學(xué)進(jìn)行微積分運(yùn)算時(shí),實(shí)際上實(shí)現(xiàn)了事物從一個(gè)數(shù)量層次到另一個(gè)數(shù)量層次的質(zhì)變。這種質(zhì)變是經(jīng)歷了一個(gè)無(wú)限的變化過(guò)程才發(fā)生的。在大學(xué)課程中學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，有許多量用代數(shù)或幾何方法是不可求的,但運(yùn)用極限,我們就可以讓不可求變?yōu)榭汕?不易求變?yōu)橐浊?這在哲學(xué)上就是極限的思想。在現(xiàn)生活中,由于人的能力的局限,我們對(duì)事物的研究不可能窮其所有,亦不可能面面俱到,我們所看到、聽到的僅僅是事物的一部分。,我們可以將對(duì)一個(gè)事物局部的個(gè)別的認(rèn)識(shí)上升為對(duì)整體的具有一般規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，哲學(xué)上的方法叫“歸納”,與微分相對(duì)應(yīng),數(shù)學(xué)上叫積分。由此相應(yīng)地我們就可以“由點(diǎn)到線”、“由線到面”、“由面到體”因此，哲學(xué)與數(shù)學(xué)相互促進(jìn)相互照應(yīng)，哲學(xué)對(duì)于高數(shù)的學(xué)習(xí)有指導(dǎo)作用，二者相輔相成。選修課的學(xué)時(shí)雖然不多，但是通過(guò)對(duì)于數(shù)學(xué)思維文化的學(xué)習(xí)我對(duì)于高等數(shù)學(xué)有了更深的理解與認(rèn)識(shí)，我感受到我們大學(xué)生若能充分調(diào)動(dòng)求知的欲望，回報(bào)社會(huì)的愿望來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就可以激發(fā)智