橢圓的第一定義.doc

橢圓的第一定義 tuyun 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F、F的距離的和等于常數(shù)2a(2a|FF|的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓。 即：PF+PF=2a 其中兩定點(diǎn)F、F叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離FF叫做橢圓的焦距。 橢圓的第二定義平面上到定點(diǎn)F距離與到定直線間距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的集合（定點(diǎn)F不在定直線上，該常數(shù)為小于1的正數(shù)） 其中定點(diǎn)F為橢圓的焦點(diǎn)，定直線稱為橢圓的準(zhǔn)線（該定直線的方程是X=a2/c)。 橢圓的其他定義根據(jù)橢圓的一條重要性質(zhì)也就是橢圓上的點(diǎn)與橢圓短軸兩端點(diǎn)連線的斜率之積是定值可以得出：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的連線的斜率之積是常數(shù)k的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，此時(shí)k應(yīng)滿足一定的條件，也就是排除斜率不存在的情況 標(biāo)準(zhǔn)方程高中課本在平面直角坐標(biāo)系中，用方程描述了橢圓，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“標(biāo)準(zhǔn)”指的是中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸。 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種，取決于焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸： 1）焦點(diǎn)在X軸時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2/a2+y2/b2=1 (ab0) 2）焦點(diǎn)在Y軸時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2/b2+y2/a2=1 (ab0) 其中a0，b0。a、b中較大者為橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，較短者為短半軸長(zhǎng)（橢圓有兩條對(duì)稱軸，對(duì)稱軸被橢圓所截，有兩條線段，它們的一半分別叫橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸或半長(zhǎng)軸和半短軸）當(dāng)ab時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2*(a2-b2)0.5，焦距與長(zhǎng).短半軸的關(guān)系:b2=a2-c2 ,準(zhǔn)線方程是x=a2/c和x=-a2/c 又及：如果中心在原點(diǎn)，但焦點(diǎn)的位置不明確在X軸或Y軸時(shí)，方程可設(shè)為mx2+ny2=1(m0，n0，mn)。既標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式。 橢圓的面積是ab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸，它的參數(shù)方程是：x=acos ， y=bsin 標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓在x0，y0點(diǎn)的切線就是 ： xx0/a2+yy0/b2=1 3公式橢圓的面積公式S=(圓周率)ab(其中a,b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸,短半軸的長(zhǎng)). 或S=(圓周率)AB/4(其中A,B分別是橢圓的長(zhǎng)軸,短軸的長(zhǎng)). 橢圓的周長(zhǎng)公式橢圓周長(zhǎng)沒(méi)有公式，有積分式或無(wú)限項(xiàng)展開(kāi)式。 橢圓周長(zhǎng)(L)的精確計(jì)算要用到積分或無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和。如 L = 0,/24a * sqrt(1-(e*cost)2)dt2(a2+b2)/2) 橢圓近似周長(zhǎng), 其中a為橢圓長(zhǎng)半軸,e為離心率 橢圓離心率的定義為橢圓上的點(diǎn)到某焦點(diǎn)的距離和該點(diǎn)到該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離之比，設(shè)橢圓上點(diǎn)P到某焦點(diǎn)距離為PF，到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離為PL，則 e=PF/PL 橢圓的準(zhǔn)線方程 x=a2/C 橢圓的離心率公式 e=c/a(e2c) 橢圓的焦準(zhǔn)距 ：橢圓的焦點(diǎn)與其相應(yīng)準(zhǔn)線(如焦點(diǎn)（c,0）與準(zhǔn)線x=+a2/C)的距離,數(shù)值=b2/c 橢圓焦半徑公式 PF1=a+ex0 PF2=a-ex0 橢圓過(guò)右焦點(diǎn)的半徑r=a-ex 過(guò)左焦點(diǎn)的半徑r=a+ex 橢圓的通徑：過(guò)焦點(diǎn)的垂直于x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩交點(diǎn)A,B之間的距離，數(shù)值= b2/a 點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系 點(diǎn)M（x0，y0） 橢圓 x2/a2+y2/b2=1 點(diǎn)在圓內(nèi)： x02/a2+y02/b21 點(diǎn)在圓上： x02/a2+y02/b2=1 點(diǎn)在圓外： x02/a2+y02/b21 直線與橢圓位置關(guān)系 y=kx+m x2/a2+y2/b2=1 由可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1 相切=0 相離0無(wú)交點(diǎn) 相交0 可利用弦長(zhǎng)公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = (1+k2)|x1-x2| = (1+k2)(x1-x2)2 = (1+1/k2)|y1-y2| = (1+1/k2)(y1-y2)2 橢圓通徑（定義：圓錐曲線（除圓外）中，過(guò)焦點(diǎn)并垂直于軸的弦）公式：2b2/a 相關(guān)性質(zhì) 由于平面截圓錐（或圓柱）得到的圖形有可能是橢圓，所以它屬于一種圓錐截線。 例如：有一個(gè)圓柱，被截得到一個(gè)截面，下面證明它是一個(gè)橢圓（用上面的第一定義）： 將兩個(gè)半徑與圓柱半徑相等的半球從圓柱兩端向中間擠壓，它們碰到截面的時(shí)候停止，那么會(huì)得到兩個(gè)公共點(diǎn)，顯然他們是截面與球的切點(diǎn)。 設(shè)兩點(diǎn)為F1、F2 對(duì)于截面上任意一點(diǎn)P，過(guò)P做圓柱的母線Q1、Q2，與球、圓柱相切的大圓分別交于Q1、Q2 則PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2 由定義1知：截面是一個(gè)橢圓，且以F1、F2為焦點(diǎn) 用同樣的方法，也可以證明圓錐的斜截面（不通過(guò)底面）為一個(gè)橢圓 橢圓有一些光學(xué)性質(zhì)：橢圓的面鏡（以橢圓的長(zhǎng)軸為軸，把橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)180度形成的立體圖形，其外表面全部做成反射面，中空）可以將某個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線全部反射到另一個(gè)焦點(diǎn)處；橢圓的透鏡（某些截面為橢圓）有匯聚光線的作用（也叫凸透鏡），老花眼鏡、放大鏡和遠(yuǎn)視眼鏡都是這種鏡片（這些光學(xué)性質(zhì)可以通過(guò)反證法證明）。 -關(guān)于圓錐截線的某些歷史：圓錐截缐的發(fā)現(xiàn)和研究起始于古希臘。 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等幾何學(xué)大師都熱衷于圓錐截缐的研究，而且都有專著論述其幾何性質(zhì)，其中以 Apollonius 所著的八冊(cè)圓錐截缐論集其大成，可以說(shuō)是古希臘幾何學(xué)一個(gè)登峰造極的精擘之作。當(dāng)時(shí)對(duì)于這種既簡(jiǎn)樸又完美的曲缐的研究，乃是純粹從幾何學(xué)的觀點(diǎn)，研討和圓密切相關(guān)的這種曲缐；它們的幾何乃是圓的幾何的自然推廣，在當(dāng)年這是一種純理念的探索，并不寄望也無(wú)從預(yù)期它們會(huì)真的在大自然的基本結(jié)構(gòu)中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世紀(jì)之交，Kepler 行星運(yùn)行三定律的發(fā)現(xiàn)才知道行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道，乃是一種以太陽(yáng)為其一焦點(diǎn)的橢圓。Kepler 三定律乃是近代科學(xué)開(kāi)天劈地的重大突破，它不但開(kāi)創(chuàng)了天文學(xué)的新紀(jì)元，也是牛頓萬(wàn)有引力定律的根源所在。由此可見(jiàn)，圓錐截缐不單單是幾何學(xué)家所愛(ài)好的精簡(jiǎn)事物，它們也是大自然的基本規(guī)律中所自然選用的精要之一。 5歷史橢圓有一些光學(xué)性質(zhì)：橢圓的面鏡（以橢圓的長(zhǎng)軸為軸，把橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)180度形成的立體圖形，其外表面全部做成反射面，中空）可以將某個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線全部反射到另一個(gè)焦點(diǎn)處；橢圓的透鏡（某些截面為橢圓）有匯聚光線的作用（也叫凸透鏡），老花眼鏡、放大鏡和遠(yuǎn)視眼鏡都是這種鏡片（這些光學(xué)性質(zhì)可以通過(guò)反證法證明） 關(guān)于圓錐截線的某些歷史：圓錐截線的發(fā)現(xiàn)和研究起始于古希臘。 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等幾何學(xué)大師都熱衷于圓錐截線的研究，而且都有專著論述其幾何性質(zhì)，其中以 Apollonius 所著的八冊(cè)圓錐截線論集其大成，可以說(shuō)是古希臘幾何學(xué)一個(gè)登峰造極的精擘之作。當(dāng)時(shí)對(duì)于這種既簡(jiǎn)樸又完美的曲線的研究，乃是純粹從幾何學(xué)的觀點(diǎn)，研討和圓密切相關(guān)的這種曲線；它們的幾何乃是圓的幾何的自然推廣，在當(dāng)年這是一種純理念的探索，并不寄望也無(wú)從預(yù)期它們會(huì)真的在大自然的基本結(jié)構(gòu)中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世紀(jì)之交，Kepler