（同步輔導）高中數學《平面向量數量積的坐標表示》導學案 北師大版必修4(1).doc

第7課時平面向量數量積的坐標表示1.掌握數量積的坐標表達式,會進行平面向量數量積的運算.2.能運用數量積表示兩個向量的夾角,會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.3.揭示知識背景,創(chuàng)設問題情景,強化學生的參與意識.平面向量的表示方法有幾何法和坐標法,向量的表示形式不同,對其運算的表示方式也會改變.向量的坐標表示,為我們解決有關向量的加、減、數乘帶來了極大的方便.上一節(jié),我們學習了平面向量的數量積,那么向量的坐標表示,對平面向量的數量積的表示方式又會帶來哪些變化呢?問題1:設i是x軸上的單位向量,j是y軸上的單位向量,則有:ii=;ij=;ji=;jj=.問題2:已知兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=,即兩個向量的數量積等于.問題3:用坐標表示向量的模(1)若a=(x1,y1),則|a|=;(2)若a(x1,y1),b(x2,y2),則|ab|=.問題4:向量夾角公式、平行或垂直的坐標表示式(1)cos =ab|a|b|=;(2)ab;(3)ab.1.在平面直角坐標系xoy中,已知o(0,0),a(0,1),b(1,3),則oaab的值為()a.1b.3-1c.3d.3+12.向量a=(3,4),b=(x,2),若ab=|a|,則實數x的值為().a.-1b.-12c.-13d.13.若向量a=(1,1),b=(-1,2),則ab等于.4.已知a=(1,3),b=(3+1,3-1),求a與b的夾角.向量垂直的坐標運算已知a=(3,4),b=(4,3),求x,y的值使(xa+yb)a,且|xa+yb|=1.向量坐標運算中的最值問題已知o為原點,a(a,0),b(0,a),a為正常數,點p在線段ab上,且ap=tab(0t1),求oaop的最大值.向量垂直的坐標公式的運用在abc中,ab=(1,1),ac=(2,k),若abc為直角三角形,求實數k的值.平面向量a=(3,1),b=(12,-32),若存在不同時為0的實數k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且xy,試求函數關系式k=f(t).abc中,有abac, m是bc的中點.(1)若ab=ac,求向量ab+2ac與向量2ab+ac的夾角的余弦值;(2)若o是線段am上任意一點,且ab=ac=2,求oaob+ocoa的最小值.已知a、b、c是同一平面內的三個向量,其中a=(1,2). (1)若|c|=25,且ca,求c的坐標;(2)若|b|=52,且a+2b與2a-b垂直,求a與b的夾角.1.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a(2a-b)=0,則k=().a.-12b.-6c.6 d.122.已知a=1,b=6,a(b-a)=2,則向量a與b的夾角為().a.2b.3c.4d.63.已知a=(1,2),2a-b=(3,1),則ab=.4.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),a+b與a垂直,求的值.(2013年浙江卷)設e1,e2為單位向量,非零向量b=x e1+y e2,x,yr,若e1,e2的夾角為6,則|x|b|的最大值等于.考題變式(我來改編):答案第7課時平面向量數量積的坐標表示知識體系梳理問題1:1001問題2:x1x2+y1y2它們對應坐標的乘積的和問題3:(1)x12+y12(2)(x1-x2)2+(y1-y2)2問題4:(1)x1x2+y1y2x12+y12x22+y22(2)x1y2-x2y1=0(3)x1x2+y1y2=0基礎學習交流1.b由已知得oa=(0,1),ab=(1,3-1),oaab=01+1(3-1)=3-1.2.a由ab=|a|得,3x+42=32+42=5,即3x+8=5,解得x=-1.3.1a=(1,1),b=(-1,2),ab=(1,1)(-1,2)=-1+2=1.4.解:由a=(1,3),b=(3+1,3-1)得,ab=3+1+3(3-1)=4,|a|=2,|b|=22.記a與b的夾角為,則cos =ab|a|b|=22.又0,=4.重點難點探究探究一:【解析】由a=(3,4),b=(4,3)得,xa+yb=(3x+4y,4x+3y).又(xa+yb)a,所以(xa+yb)a=0,即3(3x+4y)+4(4x+3y)=0,即25x+24y=0.又|xa+yb|=1,所以|xa+yb|2=1,即(3x+4y)2+(4x+3y)2=1,整理得25x2+48xy+25y2=1,即x(25x+24y)+24xy+25y2=1.由有24xy+25y2=1,將變形代入可得y=57,再代回得,x=2435,y=-57或x=-2435,y=57.【小結】根據向量垂直和向量模的坐標表示求解即可,注意仔細計算.探究二:【解析】設p(x,y),則ap=(x-a,y),ab=(-a,a),由ap=tab得,x-a=-at,y=at,解得x=a-at,y=at,op=(a-at,at),又oa=(a,0),oaop=a2-a2t,a0,可得-a20,又0t1,當t=0時,oaop=a2-a2t有最大值a2.【小結】將oaop的最值問題轉化為求有關函數的最值問題是解決本題的關鍵.探究三:【解析】abc為直角三角形,a=90,abac=0,又ab=(1,1),ac=(2,k),12+1k=0,即k=-2,當k=-2時,abc為直角三角形.問題b、c不能是直角嗎?結論本題在解答過程中,應考慮abc三個內角都可能為直角的情況.因此,正確解答如下:abc為直角三角形,a=90或b=90或c=90,若a=90,則abac=0,又ab=(1,1),ac=(2,k),12+1k=0,即k=-2.若b=90,則abbc=0,又bc=ac-ab=(2,k)-(1,1)=(1,k-1),即得1+(k-1)=0,k=0.若c=90,則acbc=0,即2+k(k-1)=0,而k2-k+2=0無實根,所以不存在實數k使c=90.綜上所述,當k=-2或k=0時,abc是直角三角形.【小結】對abc三個內角中哪個角為直角進行分類討論是解決本題的關鍵.思維拓展應用應用一:由a=(3,1),b=(12,-32)得,ab=0,|a|=2,|b|=1,由xy得,a+(t2-3)b(-ka+tb)=0,即-ka2+tab-k(t2-3)ab+t(t2-3)b2=0,整理得,-4k+t3-3t=0,k=14(t3-3t),f(t)=14(t3-3t).應用二:(1)設向量ab+2ac與向量2ab+ac的夾角為,ab=ac=a,abac,ab=ac,(ab+2ac)(2ab+ac)=2ab2+5abac+2ac2=4a2,|ab+2ac|=(ab+2ac)2=ab2+4abac+4ac2=5a,同理可得2ab+ac=5a,cos =(ab+2ac)(2ab+ac)|ab+2ac|2ab+ac=4a25a2=45.(2)ab=ac=2,am=1.設oa=x(0x1),則om=1-x,而ob+oc=2om,oa(ob+oc)=2oaom=2oaomcos =-2x(1-x)=2x2-2x=2(x-12)2-12,當且僅當x=12時,oa(ob+oc)取最小值,最小值為-12.應用三:(1)設c=(x,y),|c|=25,即x2+y2=20, ca,a=(1,2),2x-y=0,即y=2x.聯(lián)立得,x=2,y=4或x=-2,y=-4.c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)(a+2b)(2a-b),(a+2b)(2a-b)=0,即2a2+3ab-2b2=0.a2=5,b2=54,代入式得ab=-52,cos =abab=-52552=-1.又0,=.基礎智能檢測1.d因為a(2a-b)=0,所以(2,1)(5,2-k)=0,即10+2-k=0,即k=12.2.b設a與b的夾角為,a=1,b=6,a(b-a)=2,ab=2+a2=3,則cos =abab=316=12,=3.3.5b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3),所以ab=1(-1)+23=5.4.解:a+b=(+