多邊形內(nèi)角和.doc

知識點(diǎn)一：多邊形及有關(guān)概念1、 多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形. （1）多邊形的一些要素： 邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊 頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn) 內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角。 外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。（2）在定義中應(yīng)注意： 一些線段（多邊形的邊數(shù)是大于等于3的正整數(shù)）； 首尾順次相連，二者缺一不可; 理解時(shí)要特別注意“在同一平面內(nèi)”這個(gè)條件,其目的是為了排除幾個(gè)點(diǎn)不共面的情況,即空間 多邊形. 2、多邊形的分類:(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這 條直線的同一側(cè)，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形（見圖1）.本章所講的多邊形都是指凸 多邊形. 凸多邊形 凹多邊形 圖1 (2)多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角 形是邊數(shù)最少的多邊形知識點(diǎn)二：正多邊形各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、正五邊形等。 正三角形 正方形 正五邊形 正六邊形 正十二邊形要點(diǎn)詮釋：各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可. 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個(gè)角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個(gè)角也都相等的四邊形才是正方形.知識點(diǎn)三：多邊形的對角線多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線. 如圖2，BD為四邊形ABCD的一條對角線。要點(diǎn)詮釋：(1)從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n3)條對角線，將多邊形分成(n2)個(gè)三角形。(2)n邊形共有條對角線。證明：過一個(gè)頂點(diǎn)有n3條對角線(n3的正整數(shù))，又共有n個(gè)頂點(diǎn)，共有n(n3)條對角線，但過兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的對角線重復(fù)了一次，凸n邊形，共有條對角線。知識點(diǎn)四：多邊形的內(nèi)角和公式1.公式：邊形的內(nèi)角和為.2.公式的證明：證法1：在邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，并把這點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)連接起來，共構(gòu)成個(gè)三角形，這個(gè)三角形的內(nèi)角和為，再減去一個(gè)周角，即得到邊形的內(nèi)角和為.證法2：從邊形一個(gè)頂點(diǎn)作對角線，可以作條對角線，并且邊形被分成個(gè)三角形，這個(gè)三角形內(nèi)角和恰好是邊形的內(nèi)角和，等于.證法3：在邊形的一邊上取一點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)相連，得個(gè)三角形，邊形內(nèi)角和等于這個(gè)三角形的內(nèi)角和減去所取的一點(diǎn)處的一個(gè)平角的度數(shù)，即.要點(diǎn)詮釋：(1)注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)出將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基礎(chǔ)思想。(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用： 已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和； 已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。 知識點(diǎn)五：多邊形的外角和公式1.公式：多邊形的外角和等于360. 2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個(gè)內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補(bǔ)角，所以邊形的內(nèi)角和加外角和為，外角和等于.注意：n邊形的外角和恒等于360，它與邊數(shù)的多少無關(guān)。要點(diǎn)詮釋：(1)外角和公式的應(yīng)用： 已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)； 已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù). (2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系： n邊形的內(nèi)角和等于(n2)180(n3，n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增加 1條邊，內(nèi)角和增加180。 多邊形的外角和等于360，與邊數(shù)的多少無關(guān)。知識點(diǎn)六：鑲嵌的概念和特征1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。2、實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360；相鄰的多邊形有公共邊。3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：(1)用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長相等；頂點(diǎn)公用；在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為360。(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面對于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個(gè)平面圖形，且不留一點(diǎn)空隙？解決問題的關(guān)鍵在于正多邊形的內(nèi)角特點(diǎn)。當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角360時(shí)，就能鋪成一個(gè)平面圖形。事實(shí)上，正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，要求k個(gè)正n邊形各有一個(gè)內(nèi)角拼于一點(diǎn)，恰好覆蓋地面，這樣360，由此導(dǎo)出k2，而k是正整數(shù)，所以n只能取3,4，6。因而，用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用。注意：任意四邊形的內(nèi)角和都等于360。所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪成無空隙的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿地面。(3)用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，關(guān)鍵是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個(gè)周角”的問題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見下圖： 又如，用一個(gè)正三角形、兩個(gè)正方形、一個(gè)正六邊形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿地面，因?yàn)樗鼈兊慕唤犹幐鹘侵颓『脼橐粋€(gè)周角360。規(guī)律方法指導(dǎo)1內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加；邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少. 每增加一條邊，內(nèi)角的和 就增加180（反過來也成立），且多邊形的內(nèi)角和必須是180的整數(shù)倍.2多邊形外角和恒等于360，與邊數(shù)的多少無關(guān).3多邊形最多有三個(gè)內(nèi)角為銳角，最少?zèng)]有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有三個(gè)鈍角，最少 沒有鈍角.4在運(yùn)用多邊形