節(jié)選張順燕主編的《心靈之花》.doc

節(jié)選張順燕主編的心靈之花面試中的數(shù)學(xué)歸納法論一道微軟面試題的數(shù)學(xué)思考 在微軟的一次面試中，面試官出了一道非常讓人意外、非常經(jīng)典的題目，就是“一個(gè)屋子里面有五十個(gè)人，每個(gè)人領(lǐng)著一條狗，而這些狗中有一部分病狗(不少于一條)。假定有如下條件：一、狗的病不會傳染，也不會不治而愈。也就是說病狗的數(shù)量一直不會改變；二、狗的主人不能看見自己的狗是否有病，但是狗的主人只有通過別人的狗是否有病才可以看出自己的狗生病了沒有；三、一旦主人發(fā)現(xiàn)自己的狗肯定是一只病狗，就會在當(dāng)天開槍打死這 條狗；四、狗必須由他的主人親自動手開槍殺死。如果他們在一起第一天沒有槍聲、第二天沒有槍聲、第三天發(fā)出了一片槍聲，問有幾條狗被打死?！?所有的人面面相覷，都啞然。這是一道什么樣的題目呢？幾乎都在思考，都在想這是一個(gè)什么樣的腦筋急轉(zhuǎn)彎?還是一個(gè)什么樣的智力游戲?很多人面對這個(gè)問題就是束手就擒，甚至就直接由此退出了面試。這時(shí)開始有人抱怨微軟竟然拿這道非常無聊的題目來刁難大家。也許是因?yàn)楫?dāng)時(shí)太緊張，也許是因?yàn)榇蠹业乃悸窙]有被打開，不自覺地大家開始了討論，但是于事無益。幾乎沒有幾個(gè)人答出了這道題。很多人都因?yàn)檫@道題目的怪異而思路主要在于想為什么會有這道題?為什么微軟的面試官會出這種題?為什么會在微軟的面試中出現(xiàn)這種幾乎是與微軟的世界不相關(guān)的把戲?大家惟獨(dú)沒有想清楚的是這道題與微軟到底有何干 系?為什么微軟出了這道讓大家頗為郁悶的題。這其實(shí)是一道數(shù)學(xué)題，一道非常標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)推斷題。有數(shù)學(xué)的頭腦，有明確的思路，解這道題其實(shí)是一件非常簡單的事情。 這道題本來是一個(gè)很簡單的數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。我們先來審題，將其題設(shè)變成我們的語言和思維，這是解題必須的步驟。題設(shè)條件解讀結(jié)果如下：一、肯定有狗生病，也就是說病狗的數(shù)量大于零；二、病狗的數(shù)量不會發(fā)生變化；三、狗的主人只有通過看別人的狗來確定自己的狗生病了沒有；四、如果主人發(fā)現(xiàn)自己的狗病了，絕對不會當(dāng)天不殺死它。 下面講解一下如何得出結(jié)果。第一天，大家都沒有開槍殺狗，說明一個(gè)問題，就是絕對不只一條狗有病。試假設(shè)只有一條狗有病，那么就會有一個(gè)人看不見病狗，他根據(jù)題設(shè)中說一定有病狗就可以推斷自己的狗是病的，于是第一天就該響起槍聲。第一天的結(jié)果已經(jīng)證明了不只一條狗有病，而且不難看出假設(shè)只有一條狗有病就一定可以在第一天響起槍聲，擊斃那一條生病的狗。此時(shí)我們不妨大膽猜測一下：第幾天開槍就有幾條狗是病的。 到了第二天，我們就可以開始驗(yàn)證我們的結(jié)論了。試想，如果只有兩條病狗，狗的主人必然看不見其他狗生病，于是發(fā)現(xiàn)自己的狗是生病的，那么第一天看到一條病狗的人就會在第二天根據(jù)如果有一條病狗，那么第一天就會響起槍聲，而第一天沒有人開槍，則有不少于一條狗有病。再看看發(fā)現(xiàn)自己只看見一條狗生病了，那么想來，自己的狗就是一條病狗。于是就會根據(jù)上面的方法推斷得到自己的狗病了。于是開槍，響起的槍聲應(yīng)該是兩聲。 但是到了第二天仍然沒有槍聲，于是到了第三天。第三天的時(shí)候響起槍聲了。前面已經(jīng)說了，絕對不是有三條以下的狗有病，否則槍聲早就響了。但是，如果是四條狗有病，他們可以判斷自己的狗是病的嗎？根據(jù)前面所講，每個(gè)病狗的主人都看見三條病狗，而每個(gè)人都想自己可以看見三條狗有病，由前面的推導(dǎo)誰也不能肯定自己的狗是病的，就不能判斷自己是否該開槍打死自己的狗，于是應(yīng)該不會響起槍聲。于是我們判斷出了應(yīng)該是三條狗有病。有人問了，如果第四十九天響起槍聲，你是不是也就這樣推導(dǎo) 四十九步？當(dāng)然不必要啊。其實(shí)根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的思想，我們只要開動腦筋，根據(jù)前面的三步推導(dǎo)的結(jié)果的特殊性很容易可以得到一個(gè)更加一般的推論只要是符合上述題目條件一到四假設(shè)的，無論總共是多少條狗或者無論是哪一天響起了槍聲，我們都可以得到是多少條狗倒下。前面已經(jīng)大膽猜測第幾天開槍對應(yīng)的打死的狗的數(shù)目就是幾?，F(xiàn)在這個(gè)答案似乎得到了更加充分的肯 定。但是有的朋友仍然要求我們的答案的絕對正確性，那么我們可以根據(jù)歸納總結(jié)的方法證明如下：證明： 1第一天的槍響了， 說明有一個(gè)人看不見病狗， 但是最少有一條狗有病， 于是得到病狗是自己的， 于是開槍殺死自己的狗。 根據(jù)這個(gè)結(jié)論，我們從數(shù)字上得到了規(guī)律，于是我們猜測規(guī)律，用來尋找方便的解決問題的辦法。不妨設(shè)第N天開槍，必然就是有N條狗倒下。 2假設(shè)，第N天槍響了， 有N條狗是有病的， 而如果第N天沒有槍聲， 根據(jù)小于或等于N的數(shù)字n變成n=N，直到n=l的論證，于是得到了答案是第N天沒有開槍不可能是少于或等于N條狗生病了， 就說明有多于N條狗有病。 3證明的重點(diǎn)在于第N+1天的情況： 假設(shè)第N+1天想起了槍聲， 根據(jù)第N天沒有槍聲， 得到了多于N條狗有病； 再假設(shè)有多于N+1條狗有病， 根據(jù)多于N條狗有病的時(shí)候，第N天所有人的人均不能判斷自己的狗一定生病， 現(xiàn)在多于N+1條狗生病，那么大家就無法在N+l天確認(rèn)自己的狗是否生病，無法決定自己是否應(yīng)該開槍。 我們得到了結(jié)論在N+1天也是無法響起槍聲的。 于是與題設(shè)以及我們的假設(shè)中N+1天響起了槍聲發(fā)生沖突， 沖突的原因在于我們假設(shè)了多于N+1條狗有病， 就說明不可能多于N+I條狗生病了， 于是得到證明有N+1條狗有病。 綜上，在第幾天開槍就會有幾條狗有病被殺得以證明。 在數(shù)學(xué)的世界里，我們有很多不同的思想方法，比如說，我們常常遇到的統(tǒng)籌的思想方法；我們也常常需要根據(jù)一些已知的東西推斷一些未知的東西，這就用到我們所講的總結(jié)法；而為了證明判斷的正確，我們又用到了歸納法來證明。數(shù)學(xué)的思想方法無處不在，很多的事物與規(guī)律都與數(shù)學(xué)的思想方法直接或者間接地相關(guān)。在未來，科技更加發(fā)達(dá)，我們的頭腦中必定需要有更多的數(shù)學(xué)的思維出現(xiàn)；為了在社會中生存，為了在競爭中取勝，綜合地培養(yǎng)自己的能力時(shí)也需要不斷地培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維。 我們的生活中，也常常會用到數(shù)學(xué)的思想方法，也常常會思考一些數(shù)學(xué)問題。我們在思考這些方法的同時(shí)，也得到了進(jìn)步。在我們的學(xué)習(xí)工作中，不僅要把數(shù)學(xué)學(xué)好，還要把數(shù)學(xué)的精髓學(xué)到手，這就是了解和掌握數(shù)學(xué)的思想方法。并且還要加強(qiáng)自己應(yīng)用的能力，因?yàn)槭炀毜膽?yīng)用，可以直接為我們的生活和學(xué)習(xí)工作帶來意想不到的好處和方便。甚至在一次重要的權(quán)威面試中，直接關(guān)系到自己一輩子的發(fā)展的，也就是這么一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)歸納法。 本文寫于匆忙之中，試想在一周之內(nèi)要上交七篇論文，且又多為資料眾多需要考查的類型，其質(zhì)量可想而知。但是接到張順燕教授的任務(wù)后的那個(gè)苦惱不已的晚上卻聽到了一個(gè)很不錯(cuò)的題材，就是微軟的面試官給出的這道題目。忙乎差不多一個(gè)夜晚，整理了各種信息，與同學(xué)們分析了好一陣，終于執(zhí)筆將此文的雛形寫出，但是又因?yàn)闀r(shí)間關(guān)系，沒有修改，甚至錯(cuò)別字到處都是，也沒有按照數(shù)學(xué)模型的論文格式，甚至都沒有涉及到使用數(shù)學(xué)的語言，所以終究也不是一篇好論文。 但是，張教授卻選擇本文要出書，我確實(shí)興奮不已。也許確實(shí)此文寫得簡單易懂還頗有新味吧。修改前我想到要用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法和證明來將本文章論證等趨于完美，經(jīng)過提煉推導(dǎo)過程以標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言給予表達(dá)。但是又一想，反而不妥，此書系為所有愛好數(shù)學(xué)的朋友所編，讀書者不一定是我們數(shù)學(xué)界內(nèi)的人士，寫得滿是數(shù)學(xué)符號恐怕不如就這樣敘述性的討論。我榮幸可以有朋友讀到這篇文章，我也希望此文可以激起大家的思考，激發(fā)大家的數(shù)學(xué)靈感，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，但是我的推斷也有不明朗或不嚴(yán)密的地方甚至可能出現(xiàn)推導(dǎo)中的錯(cuò)誤和敘述上的紕漏，望各位友人批評指正。淺論數(shù)學(xué)、文學(xué)與音樂中復(fù)調(diào)形式美的一致性 數(shù)學(xué)、文學(xué)、音樂常常以某種形式的默契向人們昭示世界的對稱，宇宙的神秘與魅力。讓我們來看下面一串看似無法解釋，而實(shí)際上卻深刻暗示了我們要討論的數(shù)學(xué)、文學(xué)與音樂三者之間神秘關(guān)系的問題： 我寫完一篇小說，而恰恰其中的字詞、句法或者標(biāo)點(diǎn)的排列組合剛好適合于證明一道數(shù)學(xué)題，我是在計(jì)算還是在創(chuàng)作? 用所有表示聲音的字詞按照某種規(guī)律排列，并且配備合適的節(jié)奏，然后將它演奏，它是不是可以稱之為音樂?還僅僅是一篇文章？ 如果我們引用適當(dāng)?shù)囊粋€(gè)排列組合公式，而其中每個(gè)數(shù)字代表著一個(gè)不同的音符，然后我們加入另幾個(gè)數(shù)學(xué)公式的節(jié)奏進(jìn)行排列，然后進(jìn)行演奏，如果悅耳的話，這是不是音樂?或者我們卻恰恰是在做一個(gè)方程，我們是不是在編曲? 我們將標(biāo)點(diǎn)、文字、詞匯、句子通過某種數(shù)學(xué)方法進(jìn)行排列，而恰好講述了一個(gè)故事或者是一首詩。我們是不是在創(chuàng)作？ 文學(xué)的梁祝與音樂的梁祝中間的區(qū)別與共通性是什么?如果我有足夠優(yōu)秀的電腦能將音樂的某個(gè)最細(xì)微的顫動翻譯成文字或者將文字翻譯成音樂，我是在作文還是在譜曲？文字以同樣的可能在音符上體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)還是音樂？或者就按著數(shù)學(xué)的規(guī)則對音符進(jìn)行排列，這更接近現(xiàn)在的譜曲嗎？ 種種的問題，使得人們對宇宙的一致性產(chǎn)生了濃厚的興趣。眾多的研究在深入地開展，不同學(xué)科之間的神秘共性是研究所關(guān)心的問題。我們還不敢斷言，宇宙是否存在惟一的一條普遍真理，能夠用來解釋人們關(guān)于世界的所有疑問，使得任何學(xué)科的劃分都是多余的。那么，我們只能從現(xiàn)實(shí)的現(xiàn)象出發(fā)，去探詢這樣的問題。在這些現(xiàn)實(shí)存在的現(xiàn)象之中，最為明顯并且極具代表性的要屬數(shù)學(xué)、文學(xué)與音樂領(lǐng)域存在的一致性，特別是它們各自具有的復(fù)調(diào)形式美的一致性。 復(fù)調(diào)形式本是音樂領(lǐng)域中的一個(gè)基本概念，指的是兩個(gè)或幾個(gè)旋律的同時(shí)結(jié)合。運(yùn)用復(fù)調(diào)形式，可以豐富音樂形象，加強(qiáng)音樂發(fā)展的氣勢和聲部的獨(dú)立性，造成前呼后應(yīng)、此起彼落的效果。同樣，在數(shù)學(xué)與文學(xué)領(lǐng)域，也存在這種要素的多重組和，與音樂的復(fù)調(diào)有著異曲同工之妙。在這里，我們更為廣義地定義復(fù)調(diào)形式，即兩個(gè)或多個(gè)組成要素按照一定的邏輯與結(jié)構(gòu)構(gòu)成有規(guī)律的、彼此照應(yīng)的和諧的整體結(jié)構(gòu)。這種形式因其具有的呼應(yīng)性與和諧性而 成為一種美學(xué)形式。無論在音樂、文學(xué)、數(shù)學(xué)領(lǐng)域，我們都能感受到這種美的存在。數(shù)學(xué)家研究數(shù)的時(shí)候，同文學(xué)家創(chuàng)作詩歌、散文、小說，作曲家創(chuàng)作曲子時(shí)一樣，需要有自己的語言，一套表情達(dá)意的體系。如同文學(xué)需要文學(xué)語言，音樂需要音樂語言一樣，數(shù)學(xué)也需要數(shù)學(xué)語言。而無論在音樂語言、文學(xué)語言抑或數(shù)學(xué)語言中我們都可以找到這種具有復(fù)調(diào)形式的美的存在。 音樂中復(fù)調(diào)的例子不勝枚舉。古典意義上的音樂，只是典型的單一主旋律，音樂的美感來自和諧。但是，在現(xiàn)代的音樂美學(xué)中，和諧不再是美學(xué)的最高追求?，F(xiàn)代哲學(xué)打破了古典哲學(xué)的決定論的宏大結(jié)構(gòu)，而認(rèn)為，在工業(yè)時(shí)代和后工業(yè)時(shí)代，人的靈魂被撕裂開來，存在著人與人、人與自我、人與社會、人與自然的普遍分裂。人在自我意識和潛意識里，有著多重的構(gòu)造。所以古典美學(xué)中的單一的旋律就無法表現(xiàn)現(xiàn)代人的心靈深度。于是10世紀(jì)初出現(xiàn)了無調(diào)性音樂。用迷亂的音響組合表現(xiàn)人的復(fù)雜的靈魂世界。著名的作曲家巴赫的協(xié)奏曲比較接近于現(xiàn)代協(xié)奏曲，堪稱復(fù)調(diào)音樂的大師。如a小調(diào)小提琴協(xié)奏曲，共分三個(gè)樂章：第一樂章，a小調(diào)，24拍子，雖然沒有速度指示，但一般都以快板演奏；第二樂章，行板，C大調(diào)，44拍子，是本曲中最著名的樂章，體現(xiàn)出巴赫藝術(shù)特征中嚴(yán)肅的一面；第三樂章，甚快板，a小調(diào)，98拍子。我們從中可以感受到巴赫復(fù)調(diào)音樂的精致巧妙的手法。 同樣，文學(xué)藝術(shù)中也存在這種復(fù)調(diào)的美，而且形式多樣。例如，現(xiàn)代小說創(chuàng)作中流行一時(shí)的復(fù)調(diào)小說。一個(gè)作家，作為一個(gè)敘述者，也就是一個(gè)講故事的人，就不再是一個(gè)全知全能的上帝，可以把一個(gè)故事講述得非常完整，因?yàn)樗约旱撵`魂深處也可能是割裂的，在他的人物設(shè)計(jì)和情節(jié)講述中，無意識地把自己的內(nèi)心的矛盾在故事中流露出來，因此也就把自己表露得更加深刻。復(fù)調(diào)小說，其實(shí)，就是作者自己多個(gè)人格的對話。泡沫之戀可以被看作復(fù)調(diào)小說的代表。小說中愛不愛，自愛愛別人，漂泊安定，現(xiàn)實(shí)理想的旋律回環(huán)交錯(cuò)構(gòu)成了一種復(fù)調(diào)。而主人公的性格：超越年齡的滄桑感和冷靜與實(shí)際的歲數(shù)應(yīng)該具有的天真、純潔、浪漫、幻想，又構(gòu)成了一個(gè)多重的調(diào)性。 數(shù)學(xué)語言中的復(fù)調(diào)是我想重點(diǎn)討論的內(nèi)容。數(shù)學(xué)之所以可以成為一門足以指導(dǎo)人類行為以及其他一切學(xué)科的重要科學(xué)，與它貫通人類認(rèn)知的性質(zhì)是分不開的。數(shù)學(xué)是美的科學(xué)，對稱的科學(xué)。作為這樣一門學(xué)科，不容置疑地，復(fù)調(diào)美也廣泛存在著。代數(shù)與幾何的并存與互補(bǔ)，其實(shí)就是復(fù)調(diào)在數(shù)學(xué)中存在的一個(gè)有力證明。16世紀(jì)，著名的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)引進(jìn)了符號體系，代數(shù)與幾何開始結(jié)合起來，構(gòu)成了經(jīng)典的數(shù)學(xué)復(fù)調(diào)。雖然按照我們今天的標(biāo)準(zhǔn)， 這個(gè)體系是非常笨拙的，收效甚微，可是這個(gè)體系，恰恰被法國人費(fèi)馬和笛卡兒利用，作子把代數(shù)與幾何合為一體，即我們今天稱之為解析幾何的嘗試。笛卡兒改造了韋達(dá)的符號體系。韋達(dá)的體系有許多不必要的復(fù)雜規(guī)定和條件，笛卡兒把它們都刪除了：以求直接和簡便。自此，解析幾何學(xué)產(chǎn)生了。解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。在平面解析幾何中，除了研究直線的有關(guān)性質(zhì)外，主要是研究圓錐曲線(圓、橢圓、拋物線、雙曲線)的有關(guān)性質(zhì)。在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關(guān)性質(zhì)外，主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面。解析幾何的創(chuàng)立，引入了一系列新的數(shù)學(xué)概念，特別是將變量引入數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展時(shí)期，這就是變量數(shù)學(xué)的時(shí)期。解析幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展中起了推動作用。恩格斯對此曾經(jīng)作過評價(jià)“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，”解析幾何融合了代數(shù)與幾何的特點(diǎn)，代數(shù)與幾何以各自的優(yōu)勢，既獨(dú)立存在又相互補(bǔ)充，使得解析幾何以一種復(fù)調(diào)的形式發(fā)揮著完美的作用。 那么，音樂、文學(xué)、數(shù)學(xué)中的復(fù)調(diào)是否講的是性質(zhì)相同的一種美學(xué)形式呢？下面，我們以音樂中的對位，文學(xué)中的轉(zhuǎn)喻與數(shù)學(xué)中的高階的例子來看復(fù)調(diào)形式在三個(gè)領(lǐng)域中的一致性。在文學(xué)技巧里，轉(zhuǎn)喻這種將比喻再次比喻的方法是一種復(fù)調(diào)。比如：在“團(tuán)扇那好像月亮魚如甸玉般光澤的表皮似的紙面”中，一層喻是“團(tuán)扇那好像月亮魚表皮似的紙面”，二層喻嵌在里面：“如甸玉般光澤的”。可見，比喻是可以有階層累積的。同樣，在數(shù)學(xué)里，我們也可以發(fā)現(xiàn)，泛函也具備這種階層結(jié)構(gòu)，它通過對函數(shù)的函數(shù)進(jìn)行邏輯運(yùn)算，達(dá)到一階算術(shù)里許多無法達(dá)到的成果?；氐轿膶W(xué)中，假設(shè)當(dāng)n階層轉(zhuǎn)喻構(gòu)建出來后，為了語言閱讀上的流暢與節(jié)奏，我會很自然地把一些可有可無的喻詞及喻體等給抽取掉，因?yàn)楫?dāng)意象元素多了以后，有些意象之間是可以通過并置等空間關(guān)系給確定下來的，它們不一定非要通過嚴(yán)格的 謂詞結(jié)構(gòu)語法來表明彼此的先后順序，這也會導(dǎo)致閱讀時(shí)產(chǎn)生的審美快感不是單線的而是復(fù)調(diào)的。在數(shù)學(xué)中，計(jì)算n階層的泛函時(shí)，同一層的函數(shù)可以暫作一個(gè)整體，具體的函數(shù)也可以被暫時(shí)忽略。這就在數(shù)學(xué)中，形成了多層級的復(fù)調(diào)結(jié)構(gòu)。在音樂里，這叫對位。這就是文學(xué)、數(shù)學(xué)、音樂領(lǐng)域中復(fù)調(diào)形式的一致性。I生物學(xué)與數(shù)學(xué) 前 言 生物學(xué)與數(shù)學(xué)顯然是有聯(lián)系的，現(xiàn)在已沒人否認(rèn)這種觀點(diǎn)了。 物學(xué)的美在于復(fù)雜，它是用自然界中最簡單的原理形成的最復(fù)雜的表象。數(shù)學(xué)的美在于簡單，它是人類從復(fù)雜的自然現(xiàn)象中抽象出的最簡單的思維。這二者之間必然存在聯(lián)系。找到這種聯(lián)系對兩門學(xué)科來講意義重大。作者試圖從生物學(xué)的角度探討數(shù)學(xué)與生物學(xué)之間乃至各門學(xué)科之間的相互聯(lián)系。文章從數(shù)學(xué)在生物學(xué)中所做的工作寫起(一些生物學(xué)對數(shù)學(xué)的影響也附在這個(gè)部分)，對這些工作做出評價(jià)，并最終上升到哲學(xué)的高度去尋找聯(lián)系。 這篇文章有一定的開創(chuàng)性，如在此文之前還沒有人對生物數(shù)學(xué)各分支的產(chǎn)生、發(fā)展與研究方向做出過綜合闡述，至少作者沒有查到此類書籍。但鑒于作者僅是大學(xué)一年級的學(xué)生，對數(shù)學(xué)與生物學(xué)都存在認(rèn)識不足，某些觀點(diǎn)可能會有不周和矛盾之處。作者幾乎沒有進(jìn)行生物學(xué)研究的經(jīng)驗(yàn)，因此提出的設(shè)想和建議(如普遍建立模型的設(shè)想)很可能并不具有現(xiàn)實(shí)意義。但文中提出的觀點(diǎn)至少都是作者獨(dú)立思考的結(jié)果。 作者在準(zhǔn)備此文時(shí)進(jìn)行了大量的閱讀，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過文后開列的參考書目，鑒于部分參考書的觀點(diǎn)在文中并無體現(xiàn)，在此就不全部列出了。 以下便是作者對此題目的一點(diǎn)淺薄的認(rèn)識，望師長批評指正。 一、數(shù)學(xué)在生物學(xué)中做了哪些工作理論上講，我們應(yīng)該先討論世界觀的問題，因?yàn)榉椒ㄕ撌鞘苁澜缬^來指導(dǎo)的。但在科學(xué)發(fā)展的過程中，并不是先形成一個(gè)清晰的觀念而后才開始工作的。事實(shí)上，我們總是先做了什么，并在總結(jié)經(jīng)驗(yàn)的過程中形成認(rèn)識，再用這種認(rèn)識指導(dǎo)以后的工作，這才是科學(xué)發(fā)展的真實(shí)過程。因此我們不妨先看一看數(shù)學(xué)在生物學(xué)中做了哪些工作，有了一定的了解之后，再尋找它們之間的聯(lián)系。1數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的直接應(yīng)用非常有趣的是，雖然數(shù)學(xué)與生物學(xué)是自然科學(xué)中兩個(gè)最古老的分支，使它們結(jié)合在一起的卻是一門20世紀(jì)40年代才剛剛產(chǎn)生的新興學(xué)科。由于生命現(xiàn)象的復(fù)雜性和隨機(jī)性，把數(shù)學(xué)這種定量的邏輯的科學(xué)應(yīng)用其中，需要大量的隨機(jī)數(shù)字與工作量驚人的計(jì)算，眾多的數(shù)學(xué)家與生物學(xué)家做了種種嘗試，都沒能找到很好的解決辦法。直到60年前計(jì)算機(jī)的誕生，才在鴻溝上真正架起了一座交流與溝通的橋梁。隨著近幾十年計(jì)算機(jī)技術(shù)的廣泛應(yīng)用與蓬 勃發(fā)展，數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的應(yīng)用也進(jìn)入了一個(gè)前所未有的爆發(fā)式的增長階段。 20世紀(jì)后20年中，數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的直接應(yīng)用從最早的、單一的生物統(tǒng)計(jì)學(xué)擴(kuò)展成為生物數(shù)學(xué)這樣一門較為成熟與完備的學(xué)科。它主要通過建立數(shù)學(xué)模型來描述與檢驗(yàn)生物學(xué)中的一些問題。從方法論的角度來看，它又包括了三個(gè)重要的分支學(xué)科：生物統(tǒng)計(jì)、生物動力系統(tǒng)和生物控制論。生物統(tǒng)計(jì)學(xué)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)在生物學(xué)研究中的應(yīng)用。它是用數(shù)理由統(tǒng)計(jì)的原理和方法來分析和解釋生物界各種現(xiàn)象和試驗(yàn)調(diào)查資料的科學(xué)。比起生物數(shù)學(xué)的另外兩個(gè)分支來，生物統(tǒng)計(jì)的產(chǎn)生要早得多。1870年英國遺傳學(xué)家Calton(18221911)在進(jìn)行人種特性研究，分析父母與子女變異，探索其遺傳規(guī)律時(shí)提出了相關(guān)與回歸的概念，生物統(tǒng)計(jì)學(xué)才真正誕生。從那時(shí)到現(xiàn)在已經(jīng)經(jīng)過了130多個(gè)年頭。這期間有許多科學(xué)家在這方面做出了突出的貢獻(xiàn)，如 PCMabeilinrobis對作物抽樣調(diào)查，AWatcl對序貫抽樣，F(xiàn)inney對毒理統(tǒng)計(jì)，KMather對生統(tǒng)遺傳學(xué)，F(xiàn)Yates對田間實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)等，都做出了不凡的成績。生物統(tǒng)計(jì)學(xué)在發(fā)展的過程中又產(chǎn)生更多的分支學(xué)科，包括生統(tǒng)遺傳學(xué)(群體遺傳學(xué))、生態(tài)統(tǒng)計(jì)學(xué)、生物分類統(tǒng)計(jì)學(xué)和毒理統(tǒng)計(jì)學(xué)。 20世紀(jì)20年代初，Lotla和Voterrla幾乎同時(shí)分別把動力學(xué)的方法用在分子化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)和海洋漁業(yè)生態(tài)系統(tǒng)上。而生物動力系統(tǒng)成為一門獨(dú)立的學(xué)科是在20世紀(jì)70年代中后期。它對生物學(xué)中數(shù)學(xué)模型的建立起了重大的作用。生物動力系統(tǒng)同樣產(chǎn)生了許多分支學(xué)科。細(xì)胞動力學(xué)研究細(xì)胞的相互作用和細(xì)胞的生長規(guī)律?；瘜W(xué)反應(yīng)動力學(xué)研究分子間的化學(xué)反應(yīng)。種群動力學(xué)研究生態(tài)學(xué)中種群與環(huán)境的相互作用，種群與種群相互作用的動力學(xué)規(guī)律。另外，微生物培養(yǎng)技術(shù)，種群遺傳基因頻率的變化，生物進(jìn)化論規(guī)律，人類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等均可用動力學(xué)方法來描述。 生物控制論是應(yīng)用控制論和信息論的原理，研究生物體活動的自動調(diào)整過程以及信息的傳遞、加工和儲存的學(xué)科?？刂普摦a(chǎn)生的標(biāo)志一般被認(rèn)為是1948年維納(NWiener)的著作控制論(Cybernetics)的發(fā)表。其應(yīng)用于生物學(xué)領(lǐng)域應(yīng)稍晚于這個(gè)時(shí)間。至今為止，控制論的概念與方法已廣泛滲透到生物學(xué)的許多方面，人們應(yīng)用電子計(jì)算機(jī)及各種自動化儀器設(shè)備研究生理生化過程，如血壓、體溫、呼吸調(diào)節(jié)系統(tǒng)；模擬神經(jīng)細(xì)胞，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，神經(jīng)系統(tǒng)以及內(nèi)分泌系統(tǒng)；分析視覺、聽覺信息處理過程；探討人腦的學(xué)習(xí)、記憶、聯(lián)想的功能；處理各種感受器官的信息傳遞與肌肉運(yùn)動系統(tǒng)的控制問題。生物控制論作用最突出的表現(xiàn)是在神經(jīng)控制系統(tǒng)，特別是生物反饋系統(tǒng)上。2數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的間接應(yīng)用 我們不難發(fā)現(xiàn)，生物數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的應(yīng)用已相當(dāng)廣泛，但仍有一定的局限性。無論是生物統(tǒng)計(jì)學(xué)，還是生物動力系統(tǒng)和生物控制論，生物數(shù)學(xué)所關(guān)注的問題總是集中在生物學(xué)中蘊(yùn)涵數(shù)量變化規(guī)律的方面，基本上沒有脫離開生態(tài)學(xué)、生理學(xué)和遺傳學(xué)的范疇。而這些問題本身某種程度上說就是數(shù)的問題。數(shù)學(xué)家們所做的只是從生物學(xué)家們積累的大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中找出規(guī)律，并把具有生物意義的現(xiàn)象抽象為數(shù)學(xué)模型。然而，并不是所有的生物學(xué)問題都具有明確的數(shù)量關(guān)系，對于那些不具有明確的數(shù)量關(guān)系或者并不是直接針對數(shù)量變化的問題，數(shù)學(xué)是否就束手無策了呢？我們知道生物學(xué)家非常關(guān)注的另一些問題，比如“酶的催化作用是怎樣達(dá)成的?”“高爾基體到底有怎樣的功能?”像這樣的問題聽起來與數(shù)學(xué)一點(diǎn)關(guān)系也沒有，是否數(shù)學(xué)陪伴我們前行的路程也就到此為止了呢?值得注意的是，數(shù)學(xué)不僅通過生物數(shù)學(xué)直接地來解決生物學(xué)中的問題，它還作為物理學(xué)與化學(xué)研究必不可少的工具間接地參與了生物學(xué)方面的工作。量子物理與量子化學(xué)的誕生給近代生物學(xué)的發(fā)展帶來了無法估量的巨大影響，可以說沒有量子理論的支持，分子生物學(xué)與近代細(xì)胞學(xué)根本就無從產(chǎn)生和發(fā)展。我的這種說法并非有意夸大其他學(xué)科在生物學(xué)中的作用，作為分子生物學(xué)誕生標(biāo)志的DNA分子雙螺旋結(jié)構(gòu)的建立就是很好的例證。有5位科學(xué)家在這個(gè)著名的模型的建立過程中做出了決定性的貢獻(xiàn)，他們是結(jié)構(gòu)化學(xué)家鮑林，物理學(xué)家威爾金斯，物理化學(xué)家弗蘭克林，物理學(xué)家克里克和生物學(xué)家沃森。我們注意到他們之中只有一位是真正的生物學(xué)家，而事實(shí)上沃森之所以會轉(zhuǎn)向研究DNA的結(jié)構(gòu)，還是受啟發(fā)于另一位物理學(xué)家薛定諤的著作生命是什么。我們必須承認(rèn)在分子生物學(xué)和近代細(xì)胞學(xué)發(fā)展的早期乃至現(xiàn)在，物理學(xué)家與化學(xué)家們做出了非常巨大的貢獻(xiàn)，他們構(gòu)建了許多物質(zhì)或機(jī)制的物理或化學(xué)模型，這些模型在生物學(xué)研究中意義重大，而他們在構(gòu)建這些模型的過程中無一沒有使用強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具。 3生物學(xué)對數(shù)學(xué)的影響 生物學(xué)在受惠于數(shù)學(xué)的同時(shí)，對數(shù)學(xué)也不是毫無回報(bào)的。 我們習(xí)慣于從力學(xué)的角度理解數(shù)學(xué)中的抽象概念，當(dāng)我們換一個(gè)角度，從生物學(xué)的角度來思考數(shù)學(xué)概念的具體意義時(shí)，也許會收到意想不到的效果。當(dāng)我們從生態(tài)學(xué)中著名的自然生長方程的角度重新來理解自然對數(shù)的底e的時(shí)候，就會發(fā)現(xiàn)自然是何等的奇妙與偉大。也許我們還不能像物理學(xué)那樣為數(shù)學(xué)的公式與概念找到普遍的相應(yīng)解釋，但生物學(xué)至少提供了一種新的認(rèn)識的方法。 近半個(gè)世紀(jì)以來，生物學(xué)家開始更加關(guān)注生命現(xiàn)象中精確的量的問題，生物學(xué)也不再是只依靠實(shí)驗(yàn)的科學(xué)，它的作用被越來越多的其他科學(xué)家所認(rèn)識。生物學(xué)的飛速發(fā)展為數(shù)學(xué)帶來新的時(shí)代。數(shù)學(xué)家開始通過生物學(xué)家的眼睛看世界，從而其興趣由機(jī)械的靜止的現(xiàn)象轉(zhuǎn)向自然界中動態(tài)的微妙的過程。生物學(xué)中積累的大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為他們提供了豐富的研究材料，而未解決的難題更對他們提出了富有價(jià)值的挑戰(zhàn)。同數(shù)學(xué)家在生物領(lǐng)域取得成績一樣，也有生物學(xué)家在數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出了重大的貢獻(xiàn)。如澳大利亞生物學(xué)家RobertMMay于1976年在自然雜志上發(fā)表文章“具有極復(fù)雜的動力學(xué)的簡單數(shù)學(xué)模型”，文中得到“簡單確定論數(shù)學(xué)模型也可以產(chǎn)生看似隨機(jī)的行為”的結(jié)論，從而推動了混沌學(xué)的發(fā)展。生物學(xué)還在更深層的意義上影響過數(shù)學(xué)的發(fā)展，關(guān)于這種影響我將在文章的第三部分進(jìn)行討論。 二、應(yīng)該如何評價(jià)數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的作用 從文章的第一部分我們已經(jīng)看到，無論是直接的還是間接的，數(shù)學(xué)通過建立模型已在生物學(xué)領(lǐng)域做了大量的工作，現(xiàn)在是我們對這些工作做出評價(jià)的時(shí)候了。 1模型的重要意義 數(shù)學(xué)在生物學(xué)中最主要的任務(wù)就是建立模型，這些數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)模型的建立能夠解決生物學(xué)中的許多問題。生物學(xué)的很多理論是建立在假說的基礎(chǔ)上的，我們需要模型來描述我們的理論，當(dāng)一個(gè)模糊的概念被準(zhǔn)確的模型表達(dá)出來的時(shí)候，它才具有一個(gè)科學(xué)的假說必不可少的三條性質(zhì)。 首先，也是最重要的，是可預(yù)測性。我們研究生命現(xiàn)象并不是只要提出假說，解釋一些已知的事實(shí)就可以了，我們要從有限的經(jīng)驗(yàn)中總結(jié)出自然的規(guī)律來，從而去預(yù)測未知的世界。只有當(dāng)假說被表述為模型時(shí)，我們的預(yù)測才具有了確定的標(biāo)準(zhǔn)，才可能是科學(xué)的和準(zhǔn)確的。 其次是可檢驗(yàn)性。當(dāng)理論被表述為準(zhǔn)確的模型時(shí)，我們就可以做更多的實(shí)驗(yàn)，得到更多的數(shù)據(jù)，并把數(shù)據(jù)代回到模型中去，檢驗(yàn)理論的正確性。根據(jù)對代入結(jié)果的分析，我們可以推翻錯(cuò)誤的假說，修正不完善的假說，堅(jiān)定正確的假說。這對生物學(xué)理論體系的構(gòu)建有著深刻的意義。 最后是可統(tǒng)一性。生物學(xué)中的很多假說只是使用了不同的表述方法，它們事實(shí)上是可以統(tǒng)一的或至少在部分上是可以統(tǒng)一的。許多生物學(xué)家花很多的時(shí)間為看似相左的理論爭論，甚至爭吵，而事實(shí)上這些理論的本質(zhì)也許是一致的。如果我們能把理論表述為準(zhǔn)確的模型，那么，我們就可以從數(shù)學(xué)和邏輯上推證各種理論的內(nèi)在聯(lián)系，從而能省去許多浪費(fèi)在文字游戲與無謂的爭吵上的時(shí)間，這是大有益處的。 2模型建立過程中的三個(gè)問題 誠然，數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的作用是巨大的，但并不是無可懷疑的。我在為做這篇論文而進(jìn)行思考時(shí)便有過一些懷疑，相信別的人也會有類似的疑問。我沒有對各類疑問進(jìn)行調(diào)查，在此謹(jǐn)討論我本人提出的三個(gè)主要的問題以及我所做出的嘗試性的回答。 問題一：我們從模型中得到的結(jié)論是否是可靠的? 這是一個(gè)可怕的問題，如果答案是否定的，我們前面的一切討論將變得毫無意義。好在答案是肯定的。 我們的模型與自然界的真實(shí)之間確實(shí)存在差別，但如果我們的理論與推證過程本身是正確的話，由模型得到的結(jié)果也應(yīng)當(dāng)是正確的。這里“正確”的含義并不是點(diǎn)點(diǎn)吻合，實(shí)際上這是一個(gè)極限的過程，我們?nèi)個(gè)值與模型進(jìn)行比較，n越大綜合結(jié)論與模型越接近，當(dāng)時(shí)，我們的結(jié)論應(yīng)恰與模型相符。應(yīng)該承認(rèn)，生物學(xué)本身研究的就是偶然中的必然規(guī)律，想得到一個(gè)涵蓋一切可能的規(guī)律，我們能得到的結(jié)論將只有無序。 事實(shí)上，真正應(yīng)該提出的問題不是可靠性而是依賴性。我們剛才討論的大前提是假設(shè)已知理論是正確的，現(xiàn)實(shí)意義上講，這個(gè)大前提并不存在。我們無法肯定任何一個(gè)理論是絕對正確的，這就帶來一些麻煩，我們必須分析不符合模型的點(diǎn)到底是不規(guī)則點(diǎn)還是理論存在缺陷。通常人們更愿意把這些點(diǎn)當(dāng)作不規(guī)則點(diǎn)來處理，因?yàn)檫@樣更簡單，對較成熟的理論來講，這確實(shí)也是大多數(shù)的情況。但不能忘記的是我們得出理論與模型的過程，即我們是從少量的事實(shí)概括普遍的規(guī)律，我們的概括是不完全的。因此模型并不可以依賴，只有使模型逼近事實(shí)的道理，而沒有強(qiáng)使事實(shí)逼近模型的道理。 問題二：生命現(xiàn)象是復(fù)雜的，生物學(xué)問題更強(qiáng)調(diào)體系與環(huán)境的關(guān)系，模型的簡單化、理想化是否有悖生物學(xué)的基本屬性? 這仍是一個(gè)能推翻我們前面一切結(jié)論的問題。 確實(shí)，生命現(xiàn)象是復(fù)雜的，種群與環(huán)境，種群與種群，種群與個(gè)體，個(gè)體與個(gè)體，個(gè)體內(nèi)的各級系統(tǒng)、器官、組織、細(xì)胞乃至細(xì)胞內(nèi)的各級結(jié)構(gòu)之間都存在著相當(dāng)微妙的聯(lián)系。一個(gè)生命科學(xué)工作者如果割裂地看問題，他就犯了致命的錯(cuò)誤。而且，生命現(xiàn)象中存在著太多的偶然，這就像混沌學(xué)中的“蝴蝶效應(yīng)”，忽略了最微小的影響因素也會帶來結(jié)果的根本不同。但是我們別無選擇，我們必須把體系從環(huán)境中分離出來，假設(shè)一些條件是靜止不變的，否則，面對錯(cuò)綜復(fù)雜的現(xiàn)象我們將無從下手，而且我們所期待得到的結(jié)論本身就是簡單化和理想化的，像自然中的真實(shí)現(xiàn)象一樣復(fù)雜的理論對我們毫無用處。 這種傳統(tǒng)的和經(jīng)典的研究方法有它的消極作用，我們要做的是抵抗它的消極作用而不是放棄它。因此每一個(gè)結(jié)論都必須在環(huán)境中還原。這就像是我們在登一座高塔，我們逐級攀登并站在不同的層面上俯瞰，當(dāng)爬至最高層時(shí)，我們已經(jīng)把能影響一個(gè)基本問題的所有因素都包含進(jìn)去了，并從不同的高度認(rèn)識了這個(gè)問題在整體聯(lián)系中的地位和意義。這樣一來，每一個(gè)基本問題的研究都會產(chǎn)生一個(gè)理論體系，這需要大量的工作，卻能夠使我們更準(zhǔn)確和全面的認(rèn)識自然，因而決不是沒有意義的。 問題三：我們在構(gòu)建模型時(shí)更多考慮的是大多數(shù)，而忽略了少數(shù)的例外，對生命來說，任何個(gè)體的意義可以忽略嗎? 這與其說是一個(gè)科學(xué)問題還不如說是一個(gè)哲學(xué)問題，因?yàn)檫@個(gè)問題很難在科學(xué)上找到令人滿意的答案。假設(shè)一種治療肺炎的方法，有效率高達(dá)80(實(shí)在是很高了)，它通常對人是無害的，只有百萬分之一的可能性(實(shí)在是很低了)會害人，而危害的后果又十分嚴(yán)重。公平地說這簡直是一種絕妙的療法，妙到現(xiàn)實(shí)中并不存在，每個(gè)醫(yī)生都會毫不猶豫的選擇這種療法，而那可能受害的病者與家庭所要承受的痛苦會毫不猶豫的被忽略，不管這痛苦對個(gè)體來說是百萬分之一還是100。我們在把概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用于生命科學(xué)時(shí)總是遇到這樣的問題，問題的答案其實(shí)非常確定，也相當(dāng)科學(xué)，卻很令人難過。應(yīng)該說生命科學(xué)工作者不是上帝，既是不幸又是幸運(yùn)，他不能像上帝一樣找到完美的答案，卻也比高高云層中的上帝更貼近眾生的苦與樂，上帝只有創(chuàng)造完美的能力，而他有的是創(chuàng)造完美的欲望。 3總體評價(jià)總體來說模型的建立還不成熟，數(shù)學(xué)與生物學(xué)的融合還處在最初的階段，其中還有很多待解決的問題。生物學(xué)中應(yīng)用的還僅是數(shù)學(xué)中一些基本原理，并不能反映數(shù)學(xué)的最新進(jìn)展。數(shù)學(xué)家所了解的生物學(xué)也停留在一個(gè)比較淺顯的層面，還不了解生物學(xué)的最高成就。但兩個(gè)學(xué)科間的隔閡不能阻止它們越來越緊密的聯(lián)系在一起，我們必將看到科學(xué)家們更廣泛的合作，而兩個(gè)學(xué)科也將達(dá)到共同的新的繁榮。三、數(shù)學(xué)與生物學(xué)之間乃至各門科學(xué)之間的哲學(xué)聯(lián)系現(xiàn)在讓我們更上一層樓，從歷史與哲學(xué)的角度，看一看數(shù)學(xué)與生物學(xué)之間，乃至各個(gè)學(xué)科之間到底是怎樣的關(guān)系。在此我并不想記述整個(gè)科學(xué)史，我們只要關(guān)注一下20世紀(jì)初的重大變革，就會對各個(gè)學(xué)科在哲學(xué)上的相互作用有所了解。17世紀(jì)后半期，牛頓經(jīng)典力學(xué)的建立為自然哲學(xué)帶來了機(jī)械論。不可否認(rèn)，經(jīng)典力學(xué)的美曾經(jīng)打動了無數(shù)科學(xué)家，而它最初一二百年的飛速發(fā)展也給人留下了深刻的印象。17世紀(jì)末的變革成了科學(xué)輝煌的代表，機(jī)械論的觀點(diǎn)也被大多數(shù)科學(xué)家所接受。生物學(xué)家們也像數(shù)學(xué)與物理學(xué)家們一樣，非常希望用機(jī)械論的觀點(diǎn)來指導(dǎo)他們的研究，但機(jī)械論的觀點(diǎn)在生物學(xué)中并不像在數(shù)學(xué)與物理學(xué)中那樣有效。事實(shí)上，機(jī)械論的許多觀點(diǎn)是與生命現(xiàn)象相矛盾的，生物學(xué)界一直沒有完全接受機(jī)械論。在19世紀(jì)，細(xì)胞學(xué)說，達(dá)爾文的進(jìn)化論，孟德爾的遺傳定律相繼建立，生物學(xué)界逐漸形成了自己的一套世界觀。在此后的一段時(shí)間內(nèi)，我們提起自然哲學(xué)指的就是數(shù)學(xué)與物理學(xué)中的哲學(xué)，生物哲學(xué)被從整個(gè)的自然哲學(xué)體系中孤立了出來，只有生物學(xué)家應(yīng)用它并了解它的意義。 當(dāng)歷史時(shí)鐘的指針指到20世紀(jì)初，經(jīng)典力學(xué)的大廈開始動搖時(shí)，生物哲學(xué)突然站到了眾多科學(xué)家的面前，人們猛然意識到機(jī)械論與生命現(xiàn)象的矛盾。“重大的打擊來自以進(jìn)化論為代表的生命科學(xué)的進(jìn)展。無疑，以時(shí)間中的演進(jìn)為特點(diǎn)的生命有機(jī)體作為自然界的一部分無論在本體論、認(rèn)識論，還是方法論上都是機(jī)械論框架中難以容納的。”生物學(xué)以其蓬勃的發(fā)展與量子力學(xué)一起推動了我們對科學(xué)、對世界的從新認(rèn)識。這之中也包括了對數(shù)學(xué)的從新認(rèn)識。“歐氏幾何中的命題并非總是康德所謂的先驗(yàn)判斷，而是按照演繹方法應(yīng)用和檢驗(yàn)的歸納推理，因此，必須認(rèn)為形式科學(xué)(邏輯、數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、運(yùn)動學(xué))像物理科學(xué)和生物科學(xué)一樣，也是實(shí)驗(yàn)的和經(jīng)驗(yàn)的。就是演繹本身，也只是歸納過程的必要補(bǔ)充，事實(shí)上是歸納過程的必然部分。”我們對世界的認(rèn)識逐漸接近自然的真實(shí)，我們開始意識到自然界中的各種現(xiàn)象像生命現(xiàn)象一樣，是相關(guān)聯(lián)的，整體的，逐漸生成的，隨機(jī)的和不可逆的。新的自然哲學(xué)形成了，并被用來指導(dǎo)科學(xué)的發(fā)展，老的學(xué)科被注入新的活力，各學(xué)科逐漸融合，新的邊緣學(xué)科紛紛產(chǎn)生，科學(xué)界呈現(xiàn)出強(qiáng)大的生命力與全新的景象。在這次變革中，各學(xué)科的相互作用得到了極好的體現(xiàn)。 在文章的最后，我要用生物學(xué)的語言來總結(jié)數(shù)學(xué)與生物學(xué)之間乃至各門科學(xué)之間的相互關(guān)系。科學(xué)中的各門分支共同起源于人類對自然的最初的蒙昧認(rèn)識，它們沿著不同的進(jìn)化路線發(fā)展，各自產(chǎn)生更多的分支，并逐漸接近現(xiàn)象的本質(zhì)。這些進(jìn)化的過程絕不是平行進(jìn)化，互不干擾的關(guān)系，它們在自身完善的過程中不斷向外發(fā)出信號，并對外來信號的刺激進(jìn)行反饋和調(diào)整。隨著時(shí)間的發(fā)展，這些進(jìn)化主線之間形成了復(fù)雜的適應(yīng)關(guān)系，以至于我們想把任何一條線路獨(dú)自撿出都無法做到。這些線路中的任意一條發(fā)生微小的變化，都會給其他線路帶來深遠(yuǎn)的影響，而一條路線的快速演進(jìn)也會帶來其他各學(xué)科的大發(fā)展，從而構(gòu)成科學(xué)界的整體繁榮。數(shù)學(xué)與生物學(xué)的關(guān)系在這一點(diǎn)上并無例外。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí) 這個(gè)學(xué)期我選修了張順燕老師的“數(shù)學(xué)的精神、方法和應(yīng)用”這門課。通過一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)，收獲不小。不僅僅是在具體數(shù)學(xué)知識方面的增長，更重要的是對數(shù)學(xué)有了更深刻的理解。老師啟發(fā)我們在有限的課堂學(xué)習(xí)之外，進(jìn)行無限的思考。 數(shù)學(xué)真是一門奇妙的學(xué)科。她可以很高深，一道題叫幾代數(shù)學(xué)家熬白頭發(fā)；她可以很通俗，不識字的文盲也不至于是個(gè)“數(shù)盲”。小孩學(xué)會說話后，父母就開始教著數(shù)數(shù)了。那簡單的“1，2，3，”，如同數(shù)學(xué)的種子，被播種到孩子的頭腦中；而這顆種子日后是否能伴隨著孩子的成長逐漸生根、發(fā)芽、長葉，甚至開花結(jié)果，除了孩子自身的資質(zhì)，就要看孩子長大以后所接受的教育了。 也許，高等數(shù)學(xué)是否有必要在文科學(xué)生中普及，這個(gè)問題還存在爭議；但是初等數(shù)學(xué)的重要性想必已被普遍承認(rèn)，在學(xué)校接受教育的學(xué)生都必須學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)。初等數(shù)學(xué)比較簡單，是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。其教育目的之一是使學(xué)生掌握一些最基本的數(shù)學(xué)方法，學(xué)會在某些場合下應(yīng)用數(shù)學(xué)工具以解決生活或工作中遇到的實(shí)際問題。但是這些遠(yuǎn)非教授初等數(shù)學(xué)的全部目的。成功的初等數(shù)學(xué)將引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)殿堂，在學(xué)生面前展示數(shù)學(xué)的無窮魅力，激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和動力。 數(shù)學(xué)是如此有魅力，她迷住了世界上最智慧的頭腦去探索她無窮的奧秘；她惹得古往今來多少人為之憔悴，為之衣帶漸寬而悔意全無。當(dāng)深入數(shù)學(xué)的內(nèi)核，領(lǐng)略其中的神奇與精微，靈魂即被數(shù)學(xué)之美所攝，和數(shù)學(xué)融為一體；此時(shí)對數(shù)學(xué)的愛是最內(nèi)在、最持久，最堅(jiān)定的。而在普通的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，反復(fù)做題如同做智力游戲；孩子對玩具的喜愛是難以持久的。對數(shù)學(xué)的興趣在解開一道難題后可能增加，在一次失敗的考試之后又可能減少。 回顧自己接受的初等數(shù)學(xué)教育的過程，覺得初等數(shù)學(xué)教育中存在著缺陷，還停留在教授數(shù)學(xué)知識、介紹數(shù)學(xué)工具的階段。我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法越來越復(fù)雜，而對數(shù)學(xué)思想的了解卻至多只能算是“管中窺豹”。在上這門課的過程中，我才逐漸認(rèn)識到，方法可以很簡單，但其中卻可能蘊(yùn)涵極其深刻的思想。老師在授課過程中給了我們很多這方面的例子。如“百雞問題”、“一筆畫問題”，小學(xué)時(shí)就接觸了，但當(dāng)時(shí)只把它們當(dāng)作一般的智力題，做過就忘了。經(jīng)過老師的點(diǎn)播，真有醍醐灌頂之感?；仡欉^去的學(xué)習(xí)，猶如游寶山而空手歸，懊惱不已。過去眼中簡單的初等數(shù)學(xué)開始變得奧妙妙窮；離開的茅草屋經(jīng)老師的點(diǎn)金棒輕輕一觸，幻化成宮殿一闕。 埋在課本和習(xí)題之中，就如同埋頭走路，雖然一步步走得踏實(shí)，卻不知道道路通向何方。學(xué)習(xí)了一些數(shù)學(xué)定理公式之后反復(fù)做題，和工匠機(jī)械地使用工具做活無異。這樣做的結(jié)果，當(dāng)然能使學(xué)生牢記定理公式；但是只做到這一點(diǎn)卻有如“只見樹木，不見森林”。在我看來，定理公式還只是較表面的東西，是智慧的外化；而教育的終破目的應(yīng)該是引導(dǎo)學(xué)生通過定理公式的學(xué)習(xí)、透過這些表面的東西，看到前后更為深刻、更具內(nèi)涵的數(shù)學(xué)思想，亦即定理公式所折射出的數(shù)學(xué)家的智慧。方法是流，思想是源。推倒遮蔽視線蒙蔽心智的習(xí)題書堆，從書桌前站起身，去尋找數(shù)學(xué)之源發(fā)出的光輝。 數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛，越來越深入，甚至滲入到社會科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)。正所謂“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁”，數(shù)學(xué)無處不在。我認(rèn)為數(shù)學(xué)的應(yīng)用可以分為兩個(gè)層次：數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用和數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。方法的應(yīng)用層次較低，思想的應(yīng)用層次較高。數(shù)學(xué)思想的引入往往標(biāo)志著一個(gè)新學(xué)科的誕生或是學(xué)科發(fā)展的一個(gè)新階段；引入思想是本質(zhì)的進(jìn)步，之后才是具體數(shù)學(xué)方法上的操作。不是每個(gè)人都要成為數(shù)學(xué)家，這沒有必要，也不可能。社會需要各行各業(yè)的人才，人有各式各樣的興趣。但是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)卻無疑是必需的、不可或缺的。一個(gè)人掌握了數(shù)學(xué)工具，具備了數(shù)學(xué)思維，他的素質(zhì)才可能全面；一門學(xué)科，引入了數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想，才算得上是科學(xué)的學(xué)科。數(shù)學(xué)今論一、談流變：感性經(jīng)驗(yàn)主義與儒家文化雙重包圍下的古代數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)生，在我國首先出自先秦史官。金文的“史”在許慎的說文解字中釋為：“史，從又從中，中，無過也；又，手也?！蓖鯂S考據(jù)后，認(rèn)為“中”指的是簡冊。他們的見解雖有不同，但都表達(dá)了對史官職能的看法。上古的史掌天文、歷法、卜祝、修史，是文化的掌握者和致用者，卜辭、周易這兩部書的作者據(jù)推測應(yīng)該是他們，從中可以看出數(shù)學(xué)思想在周期循環(huán)及推算中的粗淺使用。隨著統(tǒng)一趨勢的不斷加強(qiáng)，以禮樂教化為核心的儒家文化漸趨上風(fēng)，數(shù)學(xué)與巫、醫(yī)、卜、筮一齊被歸入數(shù)術(shù)、方技之流，淪為陰陽家之專利與儒法壁壘分明；焚書坑儒后，在縱橫捭闔中吃盡苦頭的士人，被統(tǒng)治者的功利策略所引誘，一心只讀圣賢書。隋代創(chuàng)立的科舉制，各代沿襲，但重點(diǎn)科目只是時(shí)文策論(這與農(nóng)耕社會尚“同”不尚變的統(tǒng)治心態(tài)有關(guān))，數(shù)術(shù)更邊緣化，掌握的人寥寥可數(shù)，帶有明顯的工具性特征，數(shù)學(xué)在萌芽狀態(tài)長久徘徊，沒有向現(xiàn)代學(xué)科意識邁進(jìn)的征兆。數(shù)術(shù)處于那個(gè)倫理道德理論占絕對地位的社會，為何還能艱難存活呢？原因有三：一是農(nóng)耕社會對農(nóng)業(yè)的依賴性強(qiáng)，不可避免地要涉及天時(shí)、歷法、地利、人事，其中伴有數(shù)的運(yùn)算。二是卜筮之風(fēng)在人們精神生活中長期存在。儒家雖專注于人本，但還是相信鬼神于冥冥之中?？鬃与m不語“怪，力，亂，神”，但敬畏感還是有的。三是數(shù)術(shù)純系實(shí)用科學(xué)，在宗法制社會不參與權(quán)力斗爭，顯出中立調(diào)和的姿態(tài)。不過這也不可避免地造成了古代數(shù)學(xué)的弊端，即一，以農(nóng)耕社會的需求為發(fā)展導(dǎo)引，偏于實(shí)用主義，因而不具備自成體系發(fā)展的主動意識。二，專注于一時(shí)一事的解決，多為經(jīng)驗(yàn)影響的結(jié)果，零散而具象。三，沒有出現(xiàn)專門的學(xué)科術(shù)語、符號，更不具備完整意義上的演繹推理。四，縱觀祖沖之，劉徽等人，他們都不是專職的數(shù)學(xué)研究者，致仕隱退后才將對數(shù)學(xué)的愛好落實(shí)，本身對數(shù)術(shù)價(jià)值有所懷疑。再一方面，政府給予的重視不夠，造成數(shù)學(xué)發(fā)展人才匱乏。當(dāng)時(shí)的權(quán)威人士對數(shù)學(xué)的貶損引起了普遍的鄙視，數(shù)學(xué)的周遭環(huán)境、人文關(guān)懷不足，始終處于孤立與相對自足的狀態(tài)，哲學(xué)終極關(guān)懷、美學(xué)情韻、文學(xué)想象都未參與數(shù)學(xué)的研究，旨趣因之低下，除附麗于簡單的農(nóng)事商貿(mào)上，數(shù)學(xué)的影響面很小。二、現(xiàn)實(shí)困境 歷史回溯至19世紀(jì)六七十年代，一場轟轟烈烈的洋務(wù)運(yùn)動給沉寂的中國帶來了文明之學(xué)，數(shù)學(xué)也作為一門獨(dú)立學(xué)科在各學(xué)堂安營扎寨。一個(gè)多世紀(jì)以來，我們在西學(xué)基礎(chǔ)上演進(jìn)創(chuàng)新，取得了豐碩的成果，但這僅是“用”的層面，中學(xué)之“體”還扎根于大腦。一方面，西方數(shù)學(xué)龐大的運(yùn)算體系和五花八門的符號嚇走了慣于頓悟式思維的國人，但樸素?cái)?shù)學(xué)觀并未轉(zhuǎn)變。另一方面，數(shù)學(xué)教育中“術(shù)數(shù)致用”的遺毒還在蔓延，數(shù)學(xué)即學(xué)即拋，成為升學(xué)考試的敲門磚。再之，象牙塔式的專職研究所獲得的濃縮理論不能轉(zhuǎn)化為實(shí)際效益，僅作為科研、成果見諸報(bào)端，其與知識經(jīng)濟(jì)的隔膜造成自身資金周轉(zhuǎn)不暢，人員紛紛跳槽，學(xué)科內(nèi)部研究方向日益失衡，出現(xiàn)純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)孰優(yōu)孰劣的紛爭。它的發(fā)展和存在嚴(yán)重依賴于外界政策導(dǎo)向、財(cái)物支援，致使無法掌握自己的命運(yùn)。最后，便是數(shù)學(xué)與生物、信息等新興科學(xué)日益緊密結(jié)合，它自身的科學(xué)特色和人文內(nèi)蘊(yùn)完全被遮蔽，數(shù)學(xué)的“感染力”、“表現(xiàn)力”不足，常讓人疑心基礎(chǔ)學(xué)科本身只能作為供人攀登的梯子，不能自動升級。 循著以上一條數(shù)學(xué)發(fā)展在中國的不太穩(wěn)健的路，我的憂思迭起，數(shù)學(xué)要發(fā)展，自力更生是關(guān)鍵，還需要經(jīng)濟(jì)政策的多向調(diào)節(jié)，面對實(shí)際來解決問題。三、數(shù)學(xué)的魅力在哪里? 有人贊譽(yù)它是科學(xué)王冠上的明珠，有人說它是理性與智慧的完美結(jié)合，人類思想之精粹。數(shù)學(xué)以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿?，詳?shí)的推理，牢固地站在真理的大舞臺之上，不因時(shí)光流轉(zhuǎn)，世事變遷而搖擺。它用符號化的語言來闡述自然規(guī)律，這本身也是一種對宇宙人生的獨(dú)特領(lǐng)悟，既有總攬全局式高瞻遠(yuǎn)矚，也有向細(xì)節(jié)深處進(jìn)軍的不屈不撓。從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的劃時(shí)代演進(jìn)，也是應(yīng)人文科學(xué)對“恒?！焙汀白兓钡捻憫?yīng)，數(shù)學(xué)家們的艱辛探索，充滿了與宗教、愚昧、世俗偏見的抗?fàn)?，也昭顯了浩然正氣，而學(xué)界的一次次論爭及數(shù)學(xué)危機(jī)的爆發(fā)，也都經(jīng)歷了情理和裁決的劇痛，才能在不斷否定原來的基礎(chǔ)上前進(jìn)。同時(shí)，數(shù)學(xué)證明的形式美催生了邏輯(后者也直也相應(yīng)指導(dǎo)了數(shù)學(xué))，它的凝煉客觀與文學(xué)語言的浮華絢麗形成了鮮明的對比。數(shù)學(xué)美學(xué)著眼處不僅限于形式問題，還有它的神韻，因?yàn)樗鴮θ祟愋撵`史的塑造具有不可磨滅的貢獻(xiàn)，它使人類理性精神不斷加強(qiáng)，對自身的能力不斷覺悟。 在此強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的內(nèi)蘊(yùn)，并不意味著忽視它的外在功用，古希臘人掌握了這門神奇的技藝，具有了對自身存在的強(qiáng)大信心，從而引發(fā)了對宿命的抗?fàn)?，偉大的悲劇意識和悲劇作品如普羅米修斯、安提戈涅正是在這種情形下誕生的，也因之成就了“崇高”的美學(xué)。西方第二、三次工業(yè)革命也是在數(shù)學(xué)的技術(shù)支持與理性感召下誕生的，可惜當(dāng)今國人對數(shù)學(xué)的認(rèn)識不夠，非但意識不到其基礎(chǔ)作用，更談不上數(shù)學(xué)背后的人文精神滲透。 回顧歷史，文藝復(fù)興這一重大史實(shí)，是自然科學(xué)(數(shù)學(xué))與宗教人文的互動引發(fā)的，古希臘、古羅馬的理性精神(亞里士多德為代表的)被提倡，人們才不憚于羅馬教廷的神權(quán)威懾，以己之力叩問宇宙。試想如果單憑數(shù)學(xué)獨(dú)當(dāng)一面，“文藝復(fù)興”是否能名副其實(shí)？各門學(xué)科在互相支援中發(fā)現(xiàn)了彼此的親和力，也找出了不同的意趣，因而在文藝復(fù)興后，有了較為清晰明確的學(xué)科劃分，但遺憾的是我們在引進(jìn)西方數(shù)學(xué)理論時(shí)僅著眼于這一學(xué)科界限，看不到數(shù)學(xué)背后其他學(xué)科的合力作用，簡單地視數(shù)學(xué)為一門工具課，或是鍛煉思維的智力游戲，脫離了高尚的認(rèn)知追求，數(shù)學(xué)形式成為枯燥、冗繁的象征，使得我們平常人對數(shù)學(xué)敬而遠(yuǎn)之，研究者或是得不到“底氣”支持，或是囿于狹隘的研究范疇，無法施展才華，惟恐越出數(shù)學(xué)學(xué)科范圍的“禁門”。而近年來數(shù)學(xué)的研究再次表明，數(shù)學(xué)是人腦對客觀世界的一種認(rèn)識，既是認(rèn)識，就不能全然摒棄一切感性的方面，畢竟我們的數(shù)學(xué)家還是憑著人類的正常情感去從事研究的；感情亦包括想象力、預(yù)見性，一個(gè)就事論事，沒有超越實(shí)證膽識的數(shù)學(xué)家，很難說其有什么大的創(chuàng)見。相應(yīng)地，一門過于自戀的學(xué)科，沒有“雅”“俗”整合的勇氣，單沉溺于人為設(shè)置的陳套中，逍遙于學(xué)科交叉這股既成趨勢之外，在其前進(jìn)過程中，必然會缺乏靈感及競爭互動的觀念。四、數(shù)學(xué)融藝術(shù)氣質(zhì)與科學(xué)效用于一身 2000年第一季度世界經(jīng)濟(jì)觀察報(bào)告指出：“作為科技主要素之一，科學(xué)環(huán)境反映一國對基礎(chǔ)科學(xué)研究的重視和由此帶來的重大科學(xué)突破，崇尚科學(xué)的社會氛圍對國際競爭力有長遠(yuǎn)、穩(wěn)定、起基礎(chǔ)性的推進(jìn)作用，其內(nèi)在機(jī)理概括為在基礎(chǔ)科學(xué)技術(shù)科學(xué)應(yīng)用開發(fā)生產(chǎn)推廣，以各國科技史看，基礎(chǔ)與應(yīng)用研究應(yīng)據(jù)各國自身情況取得最佳平衡，片面強(qiáng)調(diào)應(yīng)用將不利于長遠(yuǎn)技術(shù)的進(jìn)步、應(yīng)用與推廣，使之成為無源之水，是急功近利的短期行為， 相反片面強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)研究也將影響科