期權(quán)定價(jià) (3).ppt

第九章 期權(quán)定價(jià) 2020 1 9 9 1期權(quán)價(jià)格的特性 一 期權(quán)價(jià)格的構(gòu)成期權(quán)價(jià)格等于期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值加上時(shí)間價(jià)值 內(nèi)在價(jià)值內(nèi)在價(jià)值是指期權(quán)持有者立即行使該期權(quán)合約所賦予的權(quán)利時(shí)所能獲得的總收益 看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為max S X 0 看跌期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為max X S 0 2020 1 9 按照有無內(nèi)在價(jià)值 期權(quán)可呈現(xiàn)三種狀態(tài) 實(shí)值期權(quán) 虛值期權(quán)和平價(jià)期權(quán) 把 S 時(shí)的看漲 跌 期權(quán)稱為虛值期權(quán) 2020 1 9 2 期權(quán)的時(shí)間價(jià)值 期權(quán)的時(shí)間價(jià)值 TimeValue 是指在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)為期權(quán)持有者帶來收益的可能性所隱含的價(jià)值 顯然 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率越高 期權(quán)的時(shí)間價(jià)值就越大 2020 1 9 3 期權(quán)價(jià)格與內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值間的關(guān)系 期權(quán)合約的價(jià)值是由期權(quán)價(jià)格決定的 即由內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值所決定 三者之間的關(guān)系如圖9 2所示 2020 1 9 圖9 2看漲期權(quán)的期權(quán)費(fèi) 內(nèi)在價(jià)值 時(shí)間價(jià)值的關(guān)系 2020 1 9 二 期權(quán)價(jià)格的影響因素 一 標(biāo)的資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格與期權(quán)的協(xié)議價(jià)格對(duì)于看漲期權(quán)而言 標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格越高 協(xié)議價(jià)格越低 看漲期權(quán)的價(jià)格就越高 對(duì)于看跌期權(quán)而言 標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格越低 協(xié)議價(jià)格越高 看跌期權(quán)的價(jià)格就越高 2020 1 9 二 期權(quán)的有效期對(duì)于美式期權(quán)而言 由于它可以在有效期內(nèi)任何時(shí)間執(zhí)行 有效期越長(zhǎng) 多頭獲利機(jī)會(huì)就越大 而且有效期長(zhǎng)的期權(quán)包含了有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行機(jī)會(huì) 因此有效期越長(zhǎng) 期權(quán)價(jià)格越高 對(duì)于歐式期權(quán)而言 由于它只能在期末執(zhí)行 有效期長(zhǎng)的期權(quán)就不一定包含有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行機(jī)會(huì) 這就使歐式期權(quán)的有效期與期權(quán)價(jià)格之間的關(guān)系顯得較為復(fù)雜 2020 1 9 但在一般情況下 即剔除標(biāo)的資產(chǎn)支付大量收益這一特殊情況 由于有效期越長(zhǎng) 標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)就越大 空頭虧損的風(fēng)險(xiǎn)也越大 因此即使是歐式期權(quán) 有效期越長(zhǎng) 其期權(quán)價(jià)格也越高 即期權(quán)的邊際時(shí)間價(jià)值 MarginalTimeValue 為正值 我們應(yīng)注意到 隨著時(shí)間的延長(zhǎng) 期權(quán)時(shí)間價(jià)值的增幅是遞減的 這就是期權(quán)的邊際時(shí)間價(jià)值遞減規(guī)律 2020 1 9 三 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率是用來衡量標(biāo)的資產(chǎn)未來價(jià)格變動(dòng)不確定性的指標(biāo) 由于期權(quán)多頭的最大虧損額僅限于期權(quán)價(jià)格 而最大盈利額則取決于執(zhí)行期權(quán)時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格與協(xié)議價(jià)格的差額 因此波動(dòng)率越大 對(duì)期權(quán)多頭越有利 期權(quán)價(jià)格也應(yīng)越高 在定價(jià)時(shí) 波動(dòng)性只能通過人們對(duì)未來的價(jià)格波動(dòng)程度的估計(jì)求得 主要有兩種方法 歷史波動(dòng)法和隱含波動(dòng)法 2020 1 9 四 無風(fēng)險(xiǎn)利率 從比較靜態(tài)的角度看 無風(fēng)險(xiǎn)利率越高 看跌期權(quán)的價(jià)值越低 而看漲期權(quán)的價(jià)值則越高 從動(dòng)態(tài)的角度看 當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率提高時(shí) 看漲期權(quán)價(jià)格下降 而看跌期權(quán)的價(jià)格卻上升 2020 1 9 五 標(biāo)的資產(chǎn)的收益 由于標(biāo)的資產(chǎn)分紅付息等將減少標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格 而協(xié)議價(jià)格并未進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整 因此在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生收益將使看漲期權(quán)價(jià)格下降 而使看跌期權(quán)價(jià)格上升 2020 1 9 期權(quán)價(jià)格的影響因素 注 互補(bǔ)關(guān)系 抵消關(guān)系 關(guān)系不明確 2020 1 9 我們首先將本章后面所用到的符號(hào)及其含義開列如下 X 期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格 T 期權(quán)的到期時(shí)刻 t 現(xiàn)在的時(shí)刻 S 標(biāo)的資產(chǎn)在t時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格 ST 標(biāo)的資產(chǎn)在T時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格 C 美式看漲期權(quán)的價(jià)格 c 歐式看漲期權(quán)的價(jià)格 P 美式看跌期權(quán)的價(jià)格 p 歐式看跌期權(quán)的價(jià)格 r t到T期間的市場(chǎng)無風(fēng)險(xiǎn)利率 連續(xù)復(fù)利 三 期權(quán)價(jià)格的上下限 標(biāo)的股票價(jià)格的波動(dòng)率 一般用標(biāo)的股票連續(xù)復(fù)利收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差表示 2020 1 9 一 期權(quán)價(jià)格的上限1 看漲期權(quán)價(jià)格的上限對(duì)于美式和歐式看漲期權(quán)來說 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格就是看漲期權(quán)價(jià)格的上限 其中 c代表歐式看漲期權(quán)價(jià)格 C代表美式看漲期權(quán)價(jià)格 S代表標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格 下同 9 1 2020 1 9 2 看跌期權(quán)價(jià)格的上限美式看跌期權(quán)價(jià)格 P 的上限為X 其中 r代表T時(shí)刻到期的無風(fēng)險(xiǎn)利率 t代表現(xiàn)在時(shí)刻 9 2 歐式看跌期權(quán)的上限為 9 3 2020 1 9 二 期權(quán)價(jià)格的下限 1 歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限 1 無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限我們考慮如下兩個(gè)組合 組合A 一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金 組合B 一單位標(biāo)的資產(chǎn) 2020 1 9 由于期權(quán)的價(jià)值一定為正 因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格下限為 在T時(shí)刻 組合A的價(jià)值為 由于 因此 在t時(shí)刻組合A的價(jià)值也應(yīng)大于等于組合B 即 或 組合B的價(jià)值為ST 9 4 2020 1 9 例題 考慮一個(gè)不付紅利股票的歐式看漲期權(quán) 此時(shí)股票價(jià)格為20元 執(zhí)行價(jià)格為18元 期權(quán)價(jià)格為3元 距離到期日還有1年 無風(fēng)險(xiǎn)年利率10 問此時(shí)市場(chǎng)存在套利機(jī)會(huì)嗎 如果存在 該如何套利 2 有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限 9 5 我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為 其中D為期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值 并經(jīng)過類似的推導(dǎo) 就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限為 2020 1 9 2 歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限 1 無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限考慮以下兩種組合 組合C 一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn) 在T時(shí)刻 組合C的價(jià)值為 max ST X 組合D的價(jià)值為X 組合D 金額為的現(xiàn)金 2020 1 9 由于組合C的價(jià)值在T時(shí)刻大于等于組合D 因此組合C的價(jià)值在t時(shí)刻也應(yīng)大于等于組合D 即 由于期權(quán)價(jià)值一定為正 因此無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格下限為 9 6 2020 1 9 2 有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限 9 7 我們只要將上述組合D的現(xiàn)金改為就可得到有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限為 2020 1 9 四 提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性 一 提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性1 看漲期權(quán)由于現(xiàn)金會(huì)產(chǎn)生收益 而提前執(zhí)行看漲期權(quán)得到的標(biāo)的資產(chǎn)無收益 再加上美式期權(quán)的時(shí)間價(jià)值總是為正的 因此我們可以直觀地判斷提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)是不明智的 因此 C c 9 8 2020 1 9 根據(jù) 9 4 我們可以得到無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價(jià)格的下限 2020 1 9 是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán) 主要取決于期權(quán)的實(shí)值額 X S 無風(fēng)險(xiǎn)利率水平等因素 一般來說 只有當(dāng)S相對(duì)于X來說較低 或者r較高時(shí) 提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)才可能是有利的 美式看跌期權(quán)的下限為 2 看跌期權(quán) 2020 1 9 二 提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性 1 看漲期權(quán)由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)可較早獲得標(biāo)的資產(chǎn) 從而獲得現(xiàn)金收益 而現(xiàn)金收益可以派生利息 因此在一定條件下 提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)有可能是合理的 由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性 有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)價(jià)值大于等于歐式看漲期權(quán) 其下限為 2020 1 9 2 看跌期權(quán) 由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)意味著自己放棄收益權(quán) 因此收益使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性變小 但還不能排除提前執(zhí)行的可能性 由于美式看跌期權(quán)有提前執(zhí)行的可能性 因此其下限為 2020 1 9 所謂看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系是指看漲期權(quán)的價(jià)格與看跌期權(quán)的價(jià)格 必須維持在無套利機(jī)會(huì)的均衡水平的價(jià)格關(guān)系上 如果這一關(guān)系被打破 則在這兩種價(jià)格之間 就存在無風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì) 而套利者的套利行為又必將這種不正常的價(jià)格關(guān)系拉回到正常水平 下面我們?nèi)匀挥脽o套利均衡分析法來推導(dǎo)這一關(guān)系 五 看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 2020 1 9 一 歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系1 無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)考慮如下兩個(gè)組合 組合B 一份有效期和協(xié)議價(jià)格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn) 組合A 一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金 2020 1 9 在期權(quán)到期時(shí) 兩個(gè)組合的價(jià)值均為max ST X 由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行 因此兩組合在時(shí)刻t必須具有相等的價(jià)值 即 這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 Parity 如果式 9 10 不成立 則存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì) 套利活動(dòng)將最終促使式 9 10 成立 9 10 2020 1 9 套利機(jī)會(huì) 市場(chǎng)情況 某投資者剛剛獲得如下股票歐式期權(quán)的報(bào)價(jià) 股票市場(chǎng)價(jià)格為31美元 3個(gè)月期無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10 看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格都是30美元 3個(gè)月后到期 3個(gè)月期歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價(jià)格分別為3美元和2 25美元 策略 1 購(gòu)買看漲期權(quán) 2 出售看跌期權(quán) 3 賣空一股股票 2020 1 9 結(jié)果 這個(gè)策略給出的初始現(xiàn)金流為 31 00 3 00 2 25 30 25美元 將這筆資金按無風(fēng)險(xiǎn)利率投資3個(gè)月 3個(gè)月末本息和為30 25e0 1 0 25 31 02美元 在3個(gè)月末 有如下兩種可能 1 如果股票價(jià)格大于30美元 該投資者執(zhí)行看漲期權(quán) 即按照30美元價(jià)格購(gòu)買一份股票 將空頭平倉(cāng) 則可獲利 31 02 30 1 02美元 2 如果股票價(jià)格小于30美元 該投資者的對(duì)手執(zhí)行看跌期權(quán) 即按照30美元價(jià)格購(gòu)買一份股票 將空頭平倉(cāng) 則可獲利 31 02 30 1 02美元 2020 1 9 練習(xí) 若同樣的市場(chǎng)條件 但3個(gè)月期歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價(jià)格分別為3美元和1美元 問是否有套利的機(jī)會(huì) 若有 如何構(gòu)筑套利策略 并分析套利結(jié)果 2020 1 9 2 有收益資產(chǎn)歐式期權(quán) 9 11 在標(biāo)的資產(chǎn)有收益的情況下 我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為 我們就可推導(dǎo)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系 2020 1 9 二 美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系 1 無收益資產(chǎn)情形 2 有收益資產(chǎn)情形 2020 1 9 9 2期權(quán)的定價(jià)原理 一 Black Scholes期權(quán)定價(jià)公式 一 Black Scholes模型的假設(shè)條件 1 期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)是股票 其現(xiàn)行價(jià)格為S 這種資產(chǎn)可以被自由買賣 2 期權(quán)是歐式看漲期權(quán) 在期權(quán)有效期內(nèi)其標(biāo)的資產(chǎn)不存在現(xiàn)金股利的支付 其協(xié)定價(jià)格為X 期權(quán)期限為T 以年表示 2020 1 9 3 市場(chǎng)不存在交易成本和稅收 所有證券均完全可以分割 4 市場(chǎng)不存在無風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì) 5 市場(chǎng)提供了連續(xù)交易的機(jī)會(huì) 6 存在著一個(gè)固定的 無風(fēng)險(xiǎn)的利率 投資者可以以此利率無限制地借入或貸出 7 期權(quán)的標(biāo)的股票的價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng) 呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布 2020 1 9 這就是著名的Black Scholes微分分程 它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià) 2020 1 9 二 Black Scholes歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式 2020 1 9 由歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系 我們很容易推算出具有相同標(biāo)的資產(chǎn) 相同到期日和相同執(zhí)行價(jià)格的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格 2020 1 9 例9 1 考慮一種期權(quán) 有效期為6個(gè)月 股票價(jià)格為42美元 期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為40美元 無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10 波動(dòng)率為每年20 即S 42 X 40 2020 1 9 并且 因此 若該期權(quán)為歐式看漲期權(quán) 它的價(jià)格為 又因?yàn)镹 0 7693 0 7791 N 0 6278 0 7349 所以c 4 76 2020 1 9 二 波動(dòng)率的確定方法 例9 2假設(shè)一只股票當(dāng)前的價(jià)格為30元 6個(gè)月期國(guó)債的年利率為3 一投資者購(gòu)買一份執(zhí)行價(jià)格為35元的6個(gè)月后到期的看漲期權(quán) 假設(shè)在6個(gè)月內(nèi)股票不派發(fā)紅利 問題 他要支付多少期權(quán)費(fèi) 由題設(shè)知 S 30 X 35 但還需要知道一個(gè)無法直接得到的變量 波動(dòng)率 2020 1 9 解題步驟 1 波動(dòng)率的計(jì)算 方法一 從股票的歷史交易數(shù)據(jù)中計(jì)算波動(dòng)率 假設(shè)在過去n周里的第t周股票收盤價(jià)為St 第t 1周的收盤價(jià)為St 1 則第t周的股票復(fù)利收益率為 那么 周收益率的標(biāo)準(zhǔn)差可用下面的公式計(jì)算 其中 表示這n周里的股票收益率的均值 上式得到了周收益率的標(biāo)準(zhǔn)差作為周波動(dòng)率的估計(jì)值 由歷史的股價(jià)數(shù)據(jù) 設(shè)計(jì)算得到此股票的周波動(dòng)率為0 045 2020 1 9 我們?nèi) 50周 即1年的交易周數(shù) 可得年波動(dòng)率 或 方法二 把實(shí)際的市場(chǎng)期權(quán)價(jià)格代入B S公式而計(jì)算出的波動(dòng)率即隱含波動(dòng)率 交易員通常從交易活躍的期權(quán)中計(jì)算隱含波動(dòng)率 然后利用計(jì)算出的隱含波動(dòng)率來估算基于同樣股票的不太活躍的期權(quán)的價(jià)格 更常見的是 可以同時(shí)得到基于同樣股票的幾種不同期權(quán)的幾個(gè)隱含波動(dòng)率 然后對(duì)這些隱含波動(dòng)率進(jìn)行恰當(dāng)?shù)募訖?quán)平均就可以計(jì)算出該股票的綜合隱含波動(dòng)率 2020 1 9 投資者可以通過對(duì)比當(dāng)前市場(chǎng)的波動(dòng)率與期權(quán)的隱含波動(dòng)率的大小來進(jìn)行期權(quán)交易 如果認(rèn)為實(shí)際的市場(chǎng)波動(dòng)率高于隱含波動(dòng)率 那么當(dāng)前的期權(quán)價(jià)格被低估了 可以買進(jìn)期權(quán) 反之可以賣出期權(quán) 2 計(jì)算N d1 和N d2 先計(jì)算 2020 1 9 然后查正態(tài)分布累積概率表 得到 和 3 計(jì)算期權(quán)價(jià)格C 2020 1 9 三 B S公式的基本推廣 一 有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價(jià)公式 9 6 式是針對(duì)無收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的 對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)到期日之前產(chǎn)生收益的情況 我們下面分兩種情況給予簡(jiǎn)單分析 2020 1 9 1 標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益的情況 假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)將在時(shí)刻產(chǎn)生已知現(xiàn)值為I的收益 且 這時(shí) 標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值可分解為兩個(gè)部分 發(fā)生在時(shí)刻的已知收益的現(xiàn)值部分和產(chǎn)生收益后到T時(shí)刻時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值的現(xiàn)值部分 其中后一部分是有風(fēng)險(xiǎn)的 記為于是我們可以直接利用 9 6 式來定價(jià)了 只要用來代替S即可 2020 1 9 2 標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益率的情況 我們假定在任何時(shí)間段dt 標(biāo)的資產(chǎn)都產(chǎn)生收益qSdt 這等價(jià)于在每一刻都將剩余股票價(jià)值的比例為qdt的部分分走 以連續(xù)復(fù)利計(jì)算 意味著在期權(quán)到期日 還剩下原來資產(chǎn)價(jià)值的 所以 在現(xiàn)在時(shí)刻t 標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值由兩部分組成 比例為的部分作為收益在到期日T之前發(fā)放 剩下比例為的部分是一單位標(biāo)的資產(chǎn)在到期日T的價(jià)值的現(xiàn)值 2020 1 9 我們可用來代替S 得到Black Scholes偏微分方程的解 2020 1 9 二 期貨看漲期權(quán)的定價(jià)公式如果標(biāo)的資產(chǎn)為各種期貨合約的話 上述期權(quán)定價(jià)公式必須做相應(yīng)修正 因?yàn)楝F(xiàn)貨期權(quán)與期貨期權(quán)有著不同的交易規(guī)則 為此 我們?cè)O(shè)F為期貨價(jià)格 表示期貨價(jià)格的波動(dòng)率 其他符號(hào)與上述相同 則只要期貨價(jià)格和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格一樣遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)的話 就有 2020 1 9 三 美式期權(quán)價(jià)格的近似解假定標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)刻t1有收益 這里t t1 T 美式看漲期權(quán)的多頭要么在臨近時(shí)刻t1執(zhí)行期權(quán) 要么在到期日時(shí)刻T執(zhí)行期權(quán) 因此 這個(gè)美式看漲期權(quán)的價(jià)值可以近似地看作兩個(gè)歐式看漲期權(quán)中較大的那一個(gè) 這兩個(gè)歐式看漲期權(quán)是1 時(shí)刻t1到期的歐式看漲期權(quán) 標(biāo)的資產(chǎn)無收益 2 時(shí)刻T到期的歐式看漲期權(quán) 標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)刻t1產(chǎn)生現(xiàn)值為I的收益 2020 1 9 9 3期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法 二叉樹定價(jià)法 在很多情形中 我們無法得到期權(quán)價(jià)格的解析解 這時(shí) 人們經(jīng)常采用數(shù)值方法為期權(quán)定價(jià) 其中包括二叉樹方法 蒙特卡羅模擬和有限差分方法 蒙特卡羅方法的實(shí)質(zhì)是模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的隨機(jī)運(yùn)動(dòng) 預(yù)測(cè)期權(quán)的平均回報(bào) 并由此得到期權(quán)價(jià)格的一個(gè)概率解 有限差分方法將標(biāo)的變量滿足的偏微分方程轉(zhuǎn)化成差分方程來求解 具體的方法包括隱性有限差分法 顯性有限差分法等 2020 1 9 一 單步二叉樹定價(jià)法 一 一個(gè)簡(jiǎn)單案例例9 3假設(shè)某只股票當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格為20元 投資者預(yù)期3個(gè)月后股價(jià)有可能是22元 也有可能是18元 再假設(shè)該股票不分紅利且無風(fēng)險(xiǎn)利率為10 投資者打算對(duì)3個(gè)月后以21元執(zhí)行價(jià)格買入股票的歐式看漲期權(quán)進(jìn)行估值 我們知道 若到期時(shí)股票價(jià)格為22元 期權(quán)的價(jià)值為1元 若股票價(jià)格為18元 期權(quán)的價(jià)值將是0 如圖9 3所示 2020 1 9 圖9 3股票價(jià)格與期權(quán)價(jià)格變動(dòng)示意圖 在無套利假設(shè)下 二叉樹期權(quán)定價(jià)法的基本思路是 首先 以某種方式構(gòu)造一個(gè)只包含股票和期權(quán)的無風(fēng)險(xiǎn)證券組合 其次 根據(jù)到期日的股票和期權(quán)價(jià)格得出組合的價(jià)值 再次 利用無風(fēng)險(xiǎn)組合的收益率只能是無風(fēng)險(xiǎn)收益率 得出構(gòu)造該組合的初始成本 于是得出該期權(quán)的價(jià)格 2020 1 9 我們首先假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)證券組合里包含一個(gè)股股票多頭頭寸和一單位看漲期權(quán)的空頭頭寸 根據(jù)假設(shè) 3個(gè)月后市場(chǎng)只會(huì)出現(xiàn)兩種可能結(jié)果 股票價(jià)格要么上升到22元要么下降到18元 如果股票價(jià)格上升到22元 期權(quán)的價(jià)值為1元 則組合的總價(jià)值為 如果股票價(jià)格下降到18元 期權(quán)的價(jià)值為0 則組合的總價(jià)值為 因?yàn)榻M合為無風(fēng)險(xiǎn)證券組合 到期日的價(jià)值是確定的 這意味著 即 2020 1 9 因此 0 25股股票多頭和一單位看漲期權(quán)空頭就組成一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的證券組合 在期權(quán)到期日 組合的價(jià)值總是 4 5元 根據(jù)無套利均衡原理 由于當(dāng)前的股價(jià)已知為20元 假設(shè)期權(quán)的價(jià)格為 則該組合當(dāng)前的價(jià)值為 2020 1 9 二 一般結(jié)論設(shè)看漲期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)行價(jià)格為S 在期權(quán)到期日 標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格要么上漲至現(xiàn)價(jià)的u倍 要么下跌至現(xiàn)價(jià)的d倍 這里u 1 d 1 如圖9 4所示 再設(shè)當(dāng)前歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為C 執(zhí)行價(jià)格為X 在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的上述兩種變化下 其價(jià)值分別為 如圖9 5所示 2020 1 9 顯然 2020 1 9 為確定唯一的未知量C 我們構(gòu)造如下的一個(gè)投資組合 a 以價(jià)格C賣出一份看漲期權(quán) b 買入h份標(biāo)的資產(chǎn) 其中h為套期保值比率 其大小是要保證該投資組合成為一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的投資組合 也就是說 不管市場(chǎng)如何變化 該投資組合在到期日是的價(jià)值是確定的 建立組合的初始成本是購(gòu)買股票的成本hS減去賣出期權(quán)收到的期權(quán)費(fèi) 即 而標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上漲時(shí) 該投資組合的最終價(jià)值為 當(dāng)價(jià)格下跌時(shí) 該投資組合的最終價(jià)值為 2020 1 9 因?yàn)樵撏顿Y組合為無風(fēng)險(xiǎn)投資組合 從而有 即 9 12 如果期權(quán)的有效期限里的無風(fēng)險(xiǎn)利率為r 則以該組合的當(dāng)前價(jià)值進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)投資到期權(quán)到期日的收益應(yīng)和該投資組合的最終價(jià)值相等 即有 2020 1 9 從而 再將h代入 得 9 13 其中 9 14 在市場(chǎng)無套利機(jī)會(huì)存在的前提下 一定有d 1 r u 從而 另外 還可以看出 只與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的上漲或下跌幅度有關(guān) 而與某一時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的大小無關(guān) 2020 1 9 例9 4接著例9 3 如圖9 3所示 已知u 1 1 d 0 9 r 0 1 T t 0 25 Cu 1 Cd 0 由 9 14 式 我們得出 由 9 13 式 我們得出 2020 1 9 三 風(fēng)險(xiǎn)中性概率如果我們將 9 14 式中的p解釋為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升的概率 于是1 p就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下降的概率 則標(biāo)的資產(chǎn)在T時(shí)刻的預(yù)期值由下式給出 再將 9 14 式中的p代入上式 化簡(jiǎn)得 2020 1 9 9 14 式的p就是的風(fēng)險(xiǎn)中性概率 而 9 13 式可以表述為 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里 期權(quán)的價(jià)值就是其未來預(yù)期值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值 根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè) 風(fēng)險(xiǎn)中性世界里的無套利均衡價(jià)格也是真實(shí)世界里的均衡價(jià)格 因而 上述的二叉樹定價(jià)法就等價(jià)于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法 在二叉樹定價(jià)中也沒有用到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升和下降的概率 當(dāng)然 這并不意味期權(quán)定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升和下降的概率無關(guān) 事實(shí)上 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格未來上升和下降的概率已經(jīng)包含在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格中了 2020 1 9 我們可以把一年分成4個(gè)3個(gè)月 或者12個(gè)1個(gè)月 或者365天 每一個(gè)時(shí)點(diǎn)上都對(duì)應(yīng)一個(gè)單步二叉樹 然后做和單步二叉樹定價(jià)法相同的工作 建立不同的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合或利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法求不同狀態(tài)下期權(quán)的收益 再?gòu)淖罱K的結(jié)點(diǎn)一步一步逆推 最后計(jì)算出初始狀態(tài)下期權(quán)的價(jià)格 二 多步二叉樹定價(jià)法 2020 1 9 我們先將二叉樹從單步推廣到兩步 然后再推廣到多步情形 設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)價(jià)為S 每一期間均可能上漲至原來的u倍 或下跌至原來的d倍 這樣 在期權(quán)的有效期限內(nèi) 看漲期限的價(jià)值及其變動(dòng)如圖9 6所示 一 兩步二叉樹定價(jià)法 2020 1 9 2020 1 9 由圖很容易得到 我們將期權(quán)到期時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的三種可能價(jià)位與看漲期權(quán)的三種可能價(jià)值對(duì)應(yīng)起來 由前面同樣的方法 可以求出 2020 1 9 在求出Cu和Cd之后 我們可用相同的方法求出C 即 9 15 這就是兩步二叉樹定價(jià)公式 例9 5假設(shè)一只不分紅股票 其當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格為20元 在二叉樹中的任一步之間 股價(jià)要么上漲10 要么下跌10 我們假設(shè)二叉樹中每一步的時(shí)間長(zhǎng)度為3個(gè)月 市場(chǎng)的無風(fēng)險(xiǎn)利率為10 現(xiàn)在我們對(duì)執(zhí)行價(jià)格為21元的歐式看漲期權(quán)估值 2020 1 9 圖9 7標(biāo)的股票價(jià)格與期權(quán)價(jià)格變動(dòng)示意圖 2020 1 9 由題設(shè)知 u 1 1 d 0 9 r 0 1 由 9 14 式 我們得出 將上述所有參數(shù)代入 9 15 式