七巧板能拼出多少種凸多邊形.doc

七巧板能拼出多少種凸多邊形奉化市大堰初中 董孟雄一、問題的提出問題： 對正方形ABCD按如圖1分劃,其中E,F分別是BC,AB的中點,M,N,G分別是OA,OC,EF的中點,沿分劃線可以剪出一副由七塊部件組成的“七巧板”.設正方形OGFM的邊長為1.請用這幅七巧板既不留下一絲空隙,又不相互重疊,各拼出1種周長最大與最小的凸多邊形,畫在下面,計算最大周長與最小周長各是多少？參考答案：如圖2,周長最大；如圖3,周長最小.圖2中的多邊形周長為什么是最大的？圖3中的多邊形周長為什么又是最小的？筆者亦是百思不得其解,只能換個角度思考：七巧板到底能拼出多少種凸多邊形？二、問題的分析1. 剪出的七塊部件如下圖4所示,出現(xiàn)了1,2,四類線段共23條,其中長度為1的線段10條,長度為的線段6條,長度為2的線段5條,長度為的線段2條.2. 七塊部件的內(nèi)角總和1620,其中9個直角,12個45角,2個135角.3. 不論拼成哪種多邊形,其面積為常量8.4. 可以從凸多邊形的邊數(shù)分類討論.三、問題的解決1. 拼成三角形三角形的內(nèi)角和等于180,由七巧板角的特征,只有180=90+45+45.所以拼成的三角形必為等腰直角三角形（唯一）.因為面積為8,所以直角三角形的直角邊長為4,如圖5.2. 拼成四邊形.四邊形的內(nèi)角和等于360,由七巧板角的特征,有360= 904= 902+451+1351=1352+452.2.1 360= 904拼成的四邊形為正方形或長方形.若為正方形,則圖形唯一確定,如圖6.若是長方形,因為面積是8,所以長,寬分別為4,2或.長,寬分別的矩形拼不出來.理由如下：邊長為的矩形其周長為,而七巧板中含的線段總和也只有,即所有長度含的線段都應成為矩形邊的一部分.平行四邊形的那塊不可能做到.所以,長,寬分別的矩形拼不出來.長,寬分別為4,2的矩形如圖7.2.2 360=902+451+1351若兩個直角相鄰,則拼成的四邊形為直角梯形.直角梯形的高不可能為4,若高為4,則一腰長為,不存在這類線段.直角若梯形的高為,則上下底和為,如圖8.若梯形的高為4,則上下底和為8,如圖9.若兩個直角不相鄰,則所得四邊形如圖10-1所示.過點A作AECD與E,過點B作BFAE于F,連結BD,如圖10-2.設CE=n,ED=m,則AB=,AD=,BC=m-n,(nm)因為四邊形面積為8,所以SABD+SDBC=mn+(m+n)(m-n)=8 m2-n2+2mn=16 nm 16=m2-n2+2mnm2-n2+2n2 2n2 n28,n=2或n=1.當n=2或n=1時,m都不是整數(shù).所以拼不出如圖10-1所示的四邊形.2.3 360=1352+452若兩個135角相鄰,則拼成的四邊形是等腰梯形,如圖11所示.若兩個135角相對,則拼成的四邊形是平行四邊形,如圖12所示.3. 拼成五邊形五邊形的內(nèi)角和等于540,由七巧板角的特征,有540= 1353+901+451 =1352+903 3.1 540= 1353+901+451若三個135角相鄰,則能構成這類五邊形的最小面積為6.5,如圖13.比它略大的五邊形面積必超過8,所以這類五邊形也不能拼成.若三個135角中的一個與其余兩個不相鄰,則拼成的五邊形如圖14所示.3.2 若540=1352+903 若三個90角相鄰,如圖15.假若m,n是整數(shù),則x也是整數(shù),且mx,nx.由,得x是偶數(shù) x4,又x是偶數(shù) x=2當x=2時,mn=10,不存在大于2的整數(shù)解；假若m,n是的整數(shù)倍,則x也是的整數(shù)倍.設,(a,b,t均為整數(shù),且at,bt,).由,得2ab-t2=8,t為偶數(shù) 2ab-t2=8 8=2ab-t2 t2 t=2,當t=2時,ab=6,不存在大于2 的整數(shù)解.所以,不存在這樣的五邊形.若三個90角中的一個與其余兩個不相鄰,則拼成的五邊形如圖16所示.4. 拼成六邊形六邊形的內(nèi)角和等于720,由七巧板角的特征,有720=1355+901= 1354+9024.1 若720=1355+901拼出的四邊形面積至少為9.5,如圖17.所以這類六邊形不能拼成.4.2 若720= 1354+902若兩個直角相鄰,則拼成的六邊形如圖18所示.若兩個直角不相鄰,則拼成的六邊形如圖19、20、21所示.5. 不能拼成七邊形,八邊形.七邊形的內(nèi)角和等于900,由七巧板角的特征,有900=1356+901,這樣的七邊形最小面積為7.5,稍大些則必超過8.所以不能拼成七邊形.同理,也不能拼成八邊形.6. 不能拼成邊數(shù)大于8的多邊形因為七巧板能提供的最大內(nèi)角為135.對于n邊形,有135n180(n-2),得n8.所以不能拼成邊數(shù)大于8的多邊形.至此,七巧板能拼出13中不同形狀的凸多邊形.四、問題的反思1. 本題周長的最大值或最小值,很難（幾乎