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工程光學習題解答第十二章 光的衍射 1 波長為的平行光垂直照射在寬度為的單縫上，以焦距為的會聚透鏡將衍射光聚焦于焦面上進行觀察，求（1）衍射圖樣中央亮紋的半寬度；（2）第一亮紋和第二亮紋到中央亮紋的距離；（3）第一亮紋和第二亮紋的強度。 解：（1）零強度點有 中央亮紋的角半寬度為 亮紋半寬度（2）第一亮紋，有 同理（3）衍射光強，其中 當時為暗紋，為亮紋 對應 級數(shù) 0 0 1 1 4.493 0.04718 2 7.725 0.01694 . . . . . . . . .2 平行光斜入射到單縫上，證明：（1）單縫夫瑯和費衍射強度公式為 式中，是中央亮紋中心強度；是縫寬；是衍射角，是入射角（見圖12-50） （2）中央亮紋的角半寬度為 i 圖12-50 習題3圖 證明：(1)與垂直入射相比,只需將方向余弦變?yōu)榧纯?(2)令 對于中央亮斑 3 在不透明細絲的夫瑯和費衍射圖樣中，測得暗條紋的間距為，所用透鏡的焦距為，光波波長為。問細絲直徑是多少？解：設直徑為，則有4.利用第三節(jié)的結果導出外徑和內徑分別為和的圓環(huán)（見圖12-51）的夫瑯和費衍射強度公式，并求出當時，（1）圓環(huán)衍射與半徑為的圓孔衍射圖樣的中心強度之比；（2）圓環(huán)衍射圖樣第一個暗環(huán)的角半徑。ba圖12-51 習題6圖 解：已知半徑為的圓孔的衍射場振幅為同樣，圓屏使P點振幅減小 因此圓環(huán)在P點產(chǎn)生的振幅為 P點強度為 對于衍射場中心，有 當時，（1） （2）第一暗紋有 查表可有4 （1）一束直徑為的氦氖激光（）自地面射向月球，已知地面和月球相距，問在月球上得到的光斑有多大？（2）如果用望遠鏡用作為擴束器將該擴展成直徑為的光束，該用多大倍數(shù)的望遠鏡？將擴束后的光束再射向月球，在月球上的光斑為多大？解：（1）圓孔衍射角半寬度為 傳到月球上時光斑直徑為（2）若用望遠鏡擴束，則放大倍數(shù)為2000倍。直徑 5 若望遠鏡能分辨角距離為的兩顆星，它的物鏡的最小直徑是多少？同時為了充分利用望遠鏡的分辨率，望遠鏡應有多大的放大率？解：人眼分辨率為放大率6 若要使照相機感光膠片能分辨的線距，（1）感光膠片的分辨率至少是每毫米當時線；（2）照相機鏡頭的相對孔徑D/f至少有多大？（光波波長為）解： （1）膠片分辨率為線/毫米（2）7 一臺顯微鏡的數(shù)值孔徑為，問（1）它用于波長時的最小分辨距離是多少？（2）若利用油浸物鏡使數(shù)值孔徑增大到1.45，分辨率提高了多少倍？（3）顯微鏡的放大率應設計成多大？（設人眼的最小分辨率為）。解：（1）（2）提高（3）人眼在明視距離處能夠分辨的長度為 放大率至少為 8 在雙縫夫瑯和費衍射實驗中，所用光波波長，透鏡焦距，觀察到兩相鄰亮條紋之間的距離，并且第四級亮紋缺級。試求（1）雙縫的縫距和縫寬；（2）第1，2，3級亮紋的相對強度。解：（1）雙縫衍射亮紋條件為 取微分有 令，且，則 又 （2）衍射極小位置為取 （3）對于第一級亮紋有即又 第一級亮紋的相對強度同理9 在雙縫的一個縫前貼一塊厚，折射率為1.5的玻璃片。設雙縫間距為，縫寬為，用波長的平行光垂直入射。試分析該雙縫的夫瑯和費衍射圖樣。解：衍射圖樣不變，干涉位置變?yōu)?0 一塊光柵的寬度為，每毫米內有500條縫，光柵后面放置的透鏡焦距為。問（1）它產(chǎn)生的波長的單色光的1級和2級譜線的半寬度是多少？（2）若入射光是波長為和波長之相差的兩種單色光，它們的1級和2級譜線之間的距離是多少？解：（1）對于一級主極大有同理（2） 線色散 1，2級衍射線色散為 而 譜線間距 11 設計一塊光柵，要求（1）使波長的第2級譜線的衍射角，（2）色散盡可能大，（3）第3級譜線缺級，（4）在波長的2級譜線處能分辨的波長差。在選定光柵的參數(shù)后，問在透鏡的焦面上只可能看到波長的幾條譜線？解：為使的二級譜線的衍射角，則光柵常數(shù)應滿足 色散 越小色散越大 若第三級缺級，應有 由條件（4） 光柵總長度 可看到最高級條紋為 可看到級，級缺級，共5條條紋。12 為在一塊每毫米1200條刻線的光柵的1級光譜中分辨波長為的一束氦氖激光的模結構（兩個模之間的頻率差為），光柵需要有多寬？解：對應的頻率為 光柵總條紋數(shù)為 長度為13 證明光束斜入射時，（1）光柵衍射強度分布公式為式中， 為衍射角；為入射角，見圖12-53，N為光柵縫數(shù)。（2）若光柵常數(shù)，光柵形成主級大的條件可以寫為 i 圖12-53 習題18圖證明：（1）與垂直入射相比，有同理（2）光柵形成主極大有 有14 有一多縫衍射屏如圖12-54所示，縫數(shù)為，縫寬為，縫間不透明部分的寬度依次為和。試求正入射情況下，這一衍射屏的夫瑯和費衍射強度分布公式。3aaa 圖12-54 習題19圖 解：相鄰兩個縫產(chǎn)生的相位差為，隔一縫相位差 或 單縫產(chǎn)生的復振幅為， 其中 多光束產(chǎn)生干涉有 設復數(shù) 則 透射光強 令 15 一塊閃耀光柵寬，每毫米有個刻槽，閃耀角為。（1）求光束垂直于槽面入射時，對于波長的光的分辨本領；（2）光柵的自由光譜范圍有多大？（3）試問空氣間隔為，精細度為25的法布里-珀羅標準具的分辨本領和自由光譜范圍作一比較。解：（1）光柵刻痕數(shù)為 閃耀級數(shù)為分辨本領為 （2）自由光譜范圍為 （3）F-P標準具的分辨為自由光譜范圍為 比光柵小得多16 一透射式階梯光柵由20塊折射率相同、厚度相等的玻璃平板平行呈階梯狀疊成，厚板，玻璃折射率，階梯高度。以波長的單色光垂直照射，試計算（1）入射光方向上干涉主極大的級次；（2）光柵的角色散和分辨本領（假定玻璃折射率不隨波長變化）。解：（1）由于階梯高度與相比極大，所以衍射角極小，此時相鄰兩階梯的光程差為對應處， （2） 設與相比變化很小，即 分辨本領17 設光柵的振幅透射系數(shù)為，這塊光柵的夫瑯和費衍射場中將出現(xiàn)幾個衍射斑？各斑的中心強度與零級的比值是多少？18 在寬度為的狹縫上放一折射率為、折射角為的小光楔，由平面單色波垂直照射（見圖12-55），求夫瑯和費衍射圖樣的光強分布以及中央零級極大和極小的方向。 ban圖12-55 習題23圖19 圖12-56為一透射型閃耀光柵，周期為，閃耀角為，由平面波垂直入射（1）求夫瑯和費衍射圖樣的光強分布。（2）求光柵對級光譜閃耀時應滿足的條件。（3）試分析對級閃耀時，光譜強度分布的特點。nad圖12-56 習題24圖20 如圖12-58所示，單色點光源（波長）安放在離光闌遠的地方，光闌上有一個內外半徑分別為和的通光圓環(huán)。考察點P離光闌（SP連線通過圓環(huán)中心并垂直于圓環(huán)平面），問在P點的光強和沒有光闌時的光強之比是多少？S圖12-58 習題28圖P 解：半徑為的圓孔包含波帶數(shù)為 半徑為的圓屏擋住的 圓環(huán)通過波帶數(shù)為3，由于相鄰波帶相消，所以只有一個波帶的光在P點產(chǎn)生振幅，無光闌時P點振幅為第一波帶產(chǎn)生振幅的，所以放置光闌前后光強變化4倍。21 波長的平行光正入射直徑的圓孔，與孔相距處放一屏幕。問（1）屏幕上正對圓孔中心的P點是亮點還是暗點？（2）要使P點變成與（1）相反的情況，至少要把屏幕向前（同時求出向后）移動多少距離？解：在P點包含的波帶數(shù)為 中心為亮點 令 22. 試寫出圖中雙狹縫衍射屏的復振幅透射系數(shù)的表達式(設縫寬為a，縫距為b，且b=4a)。(2)用單位振幅單色平面光波正入射照明時，試求在透鏡L后焦面內沿x軸的復振幅分布。(3)求在透鏡L后焦面內沿x軸的光強度分布。(4)指明光強度分布的特征(單縫衍射中央亮區(qū)的半角寬度；干涉主亮紋間距)。解 （1）雙狹縫衍射屏的復振幅透射系數(shù)為：或（2）復振幅分布為：（3）光強度分布為：23.簡要分析如圖2所示夫瑯和費衍射裝置如有以下變動時，衍射圖樣會發(fā)生怎樣的變化？1）增大透鏡L2的焦距；2）減小透鏡L2的口徑；3）衍射屏作垂直于光軸的移動（不超出入射光束照明范圍）。qL1L2P接收屏衍射屏光源圖2 夫瑯和