（江蘇專(zhuān)用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 理.doc

【步步高】（江蘇專(zhuān)用）2017版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 理 1二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，二元一次不等式axbyc0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線axbyc0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域我們把直線畫(huà)成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫(huà)不等式axbyc0所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫(huà)成實(shí)線(2)由于對(duì)直線axbyc0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入axbyc，所得的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的同一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)作為測(cè)試點(diǎn)，由ax0by0c的符號(hào)即可判斷axbyc0表示的直線是axbyc0哪一側(cè)的平面區(qū)域2線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱(chēng)意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題3.重要結(jié)論(1)畫(huà)二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點(diǎn)定域：直線定界：不等式中無(wú)等號(hào)時(shí)直線畫(huà)成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫(huà)成實(shí)線；特殊點(diǎn)定域：若直線不過(guò)原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選原點(diǎn)；若直線過(guò)原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選取(0,1)或(1,0)來(lái)驗(yàn)證(2)利用“同號(hào)上，異號(hào)下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域：對(duì)于axbyc0或axbyc0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€axbyc0的上方；當(dāng)b(axbyc)0表示的平面區(qū)域一定在直線axbyc0的上方()(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的()(3)目標(biāo)函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距()(4)不等式x2y20，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a_.答案解析作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分)易知直線z2xy過(guò)交點(diǎn)a時(shí)，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.思維升華(1)先準(zhǔn)確作出可行域，再借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值(2)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是非線性的函數(shù)時(shí)，常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義來(lái)解題，常見(jiàn)代數(shù)式的幾何意義有：表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的距離，表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)的距離；表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率，表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率(3)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足條件(1)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為，則t的值為_(kāi)(2) x，y滿足約束條件若zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)答案(1)1(2)2或1解析(1)不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示由解得交點(diǎn)b(t，t1)，在yx1中，令x0得y1，即直線yx1與y軸的交點(diǎn)為c(0,1)，由平面區(qū)域的面積s，得t22t30，解得t1或t3(不合題意，舍去)(2)如圖，由yaxz知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，故當(dāng)a0時(shí)，要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a2；當(dāng)a0時(shí)，要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a1.題型三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用例6某客運(yùn)公司用a、b兩種型號(hào)的車(chē)輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長(zhǎng)途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車(chē)每天往返一次a、b兩種車(chē)輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛，公司擬組建一個(gè)不超過(guò)21輛車(chē)的客運(yùn)車(chē)隊(duì)，并要求b型車(chē)不多于a型車(chē)7輛若每天運(yùn)送人數(shù)不少于900，且使公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備a型車(chē)、b型車(chē)各多少輛？解設(shè)a型、b型車(chē)輛分別為x、y輛，相應(yīng)營(yíng)運(yùn)成本為z元，則z1 600x2 400y.由題意，得x，y滿足約束條件作可行域如圖所示，可行域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為p(5，12)，q(7,14)，r(15,6)由圖可知，當(dāng)直線z1 600x2 400y經(jīng)過(guò)可行域的點(diǎn)p時(shí)，直線z1 600x2 400y在y軸上的截距最小，即z取得最小值故應(yīng)配備a型車(chē)5輛、b型車(chē)12輛，可以滿足公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最小思維升華解線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟：(1)分析題意，設(shè)出未知量；(2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；(4)作答(2015陜西改編)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用a，b兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為_(kāi)萬(wàn)元.甲乙原料限額a(噸)3212b(噸)128答案18解析設(shè)每天甲、乙的產(chǎn)量分別為x噸，y噸，由已知可得目標(biāo)函數(shù)z3x4y，線性約束條件表示的可行域如圖陰影部分所示：可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)a處取到最大值由得a(2,3)則zmax324318(萬(wàn)元)8含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)典例已知實(shí)數(shù)x，y滿足如果目標(biāo)函數(shù)zxy的最小值為1，則實(shí)數(shù)m_.易錯(cuò)分析題目給出的區(qū)域邊界“兩靜一動(dòng)”，可先畫(huà)出已知邊界表示的區(qū)域，分析動(dòng)直線的位置時(shí)容易出錯(cuò)，沒(méi)有抓住直線xym和直線yx平行這個(gè)特點(diǎn)；另外在尋找最優(yōu)點(diǎn)時(shí)也容易找錯(cuò)區(qū)域的頂點(diǎn)解析顯然，當(dāng)m2，此時(shí)不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示，平面區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)三角形區(qū)域，其頂點(diǎn)為a(1,1)，b(m1,1)，c(，)由圖可知，當(dāng)直線yxz經(jīng)過(guò)點(diǎn)c時(shí)，z取得最小值，最小值為.由題意，得1，解得m5.答案5溫馨提醒(1)當(dāng)約束條件含有參數(shù)時(shí)，要注意根據(jù)題目條件，畫(huà)出符合條件的可行域本題因含有變化的參數(shù)，可能導(dǎo)致可行域畫(huà)不出來(lái)(2)應(yīng)注意直線yxz經(jīng)過(guò)的特殊點(diǎn) 方法與技巧1平面區(qū)域的畫(huà)法：線定界、點(diǎn)定域(注意實(shí)虛線)2求最值：求二元一次函數(shù)zaxby (ab0)的最值，將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx，通過(guò)求直線的截距的最值間接求出z的最值最優(yōu)解在頂點(diǎn)或邊界取得3解線性規(guī)劃應(yīng)用題，可先找出各變量之間的關(guān)系，最好列成表格，然后用字母表示變量，列出線性約束條件；寫(xiě)出要研究的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問(wèn)題4利用線性規(guī)劃的思想結(jié)合代數(shù)式的幾何意義可以解決一些非線性規(guī)劃問(wèn)題失誤與防范1畫(huà)出平面區(qū)域避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化2在通過(guò)求直線的截距的最值間接求出z的最值時(shí)，要注意：當(dāng)b0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z也取最大值；截距取最小值時(shí)，z也取最小值；當(dāng)b0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z取最小值；截距取最小值時(shí)，z取最大值a組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：30分鐘)1直線2xy100與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有_個(gè)答案1解析由不等式組畫(huà)出平面區(qū)域如圖(陰影部分)直線2xy100恰過(guò)點(diǎn)a(5,0)，且其斜率k2kab，即直線2xy100與平面區(qū)域僅有一個(gè)公共點(diǎn)a(5,0)2設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)zx6y的最大值為_(kāi)答案18解析畫(huà)出約束條件的可行域如圖陰影，作直線l：x6y0，平移直線l可知，直線l過(guò)點(diǎn)a時(shí)，目標(biāo)函數(shù)zx6y取得最大值，易得a(0,3)，所以zmax06318.3設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)zx2y的最小值為_(kāi)答案3解析由線性約束條件畫(huà)出可行域(如圖所示)由zx2y，得yxz，z的幾何意義是直線yxz在y軸上的截距，要使z最小，需使z最小，易知當(dāng)直線yxz過(guò)點(diǎn)a(1,1)時(shí)，z最小，最小值為3.4若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是_答案(0,1解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖(陰影部分)，求得a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和(1,0)，若原不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a取值范圍是0a1或a.5某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗a原料1千克、b原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗a原料2千克、b原料1千克每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗a、b原料都不超過(guò)12千克通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是_元答案2 800解析設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶，乙種產(chǎn)品y桶，則根據(jù)題意得x、y的約束條件為設(shè)獲利z元，則z300x400y.畫(huà)出可行域如圖畫(huà)直線l：300x400y0，即3x4y0.平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)m時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值由解得即m的坐標(biāo)為(4,4)，zmax300440042 800(元)6若函數(shù)y2x圖象上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件則實(shí)數(shù)m的最大值為_(kāi)答案1解析在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y2x的圖象及所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示由圖可知，當(dāng)m1時(shí)，函數(shù)y2x的圖象上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件，故m的最大值為1.7已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值是_答案1解析作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)p(x，y)與定點(diǎn)a(0，1)所在直線的斜率，由圖象可知當(dāng)p位于點(diǎn)d(1,0)時(shí)，直線ap的斜率最小，此時(shí)的最小值為1.8已知實(shí)數(shù)x，y滿足則z2x2y1的取值范圍是_答案，5)解析畫(huà)出不等式組所表示的區(qū)域，如圖中陰影部分所示，可知221z0，b0)的最大值為10，則a2b2的最小值為_(kāi)答案解析因?yàn)閍0，b0，所以由可行域得，如圖，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)(4,6)時(shí)z取最大值，4a6b10.a2b2的幾何意義是直線4a6b10上任意一點(diǎn)到點(diǎn)(0,0)的距離的平方，那么其最小值是點(diǎn)(0,0)到直線4a6b10距離的平方，則a2b2的最小值是.b組專(zhuān)項(xiàng)能力提升(時(shí)間：20分鐘)11已知變量x，y滿足約束條件若zx2y的最大值與最小值分別為a，b，且方程x2kx10在區(qū)間(b，a)上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案(，2)解析作出可行域，如圖所示，則目標(biāo)函數(shù)zx2y在點(diǎn)(1,0)處取得最大值1，在點(diǎn)(1,1)處取得最小值3，a1，b3，從而可知方程x2kx10在區(qū)間(3,1)上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解令f(x)x2kx1，則k0，可行域如圖中陰影部分所示，()min，a1.16(2015浙江