《線性代數(shù)考研資料》第四章 線性方程組.doc

專業(yè) 權(quán)威 輕松 快樂(lè) 華慧考研：/第四章 線性方程組一、齊次線性方程組1（98，十二題，5分）已知線性方程組 （）的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，試寫出線性方程組（）的通解，并說(shuō)明理由【分析】一般地，若AB0，就應(yīng)想到B的每一列均為Ax0的解，本題也可用向量形式證明A的行向量的轉(zhuǎn)置為（）的解，但相對(duì)較復(fù)雜一些【詳解】（）的通解為 ，其中為任意常數(shù)理由：方程組（），（）的系數(shù)矩陣分別記為A，B，則由題設(shè)可知，于是，可見(jiàn)A的n個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置向量為（）的n個(gè)解向量由于B的秩為n，故（）的解空間維數(shù)為2n-r(B)=2n-n=n.又A的秩為2n與（）的解空間維數(shù)之差，即為n，故A的n個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)，從而它們的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成（）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是得到（）的上述通解2（01，九題，6分）設(shè)為線性方程組Ax0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，其中為實(shí)常數(shù)。試問(wèn)滿足什么關(guān)系時(shí)，也為Ax0的一個(gè)基礎(chǔ)解系【分析】首先應(yīng)理解基礎(chǔ)解系的概念，是Ax0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，必須證明均為Ax0的解，而且是線性無(wú)關(guān)的，而基礎(chǔ)解系應(yīng)滿足兩個(gè)條件：解向量；線性無(wú)關(guān)且向量個(gè)數(shù)為Snr(A)【詳解】由于均為的線性組合，所以均為Ax0的解，下面證明線性無(wú)關(guān)，設(shè) 即 由于線性無(wú)關(guān)，因此其系數(shù)全為零，即 其系數(shù)行列式 可見(jiàn)，當(dāng)，即當(dāng)s為偶數(shù)，；s為奇數(shù)，時(shí)，上述方程組只有零解，因此向量組線性無(wú)關(guān)，從而也為Ax0的一個(gè)基礎(chǔ)解系3（03，選5題，4分）設(shè)有齊次線性方程組Ax0和Bx0，其中A，B均為mn矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題： 若Ax0的解均是Bx0的解，則秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，則Ax0的解均是Bx0的解； 若Ax0與Bx0同解，則秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，則Ax0與Bx0同解以上命題中正確的是 （A） （B） （C） （D） 【 】【答】應(yīng)選（B）【分析】本題可找反例用排除法進(jìn)行分析，但、兩個(gè)命題的反例比較復(fù)雜一些，關(guān)鍵是抓住與，迅速排除不正確的選項(xiàng)【詳解】若Ax0與Bx0同解，則n秩(A)=n-秩(B),即秩(A)秩(B),命題成立可排除（A），（C）；若秩(A)秩(B)，則不能推出Ax0與Bx0同解如，則秩(A)=秩(B)=1,但Ax0與Bx0不同解，由此，命題不成立，排除（D），所以答案選（B）4（04，20題，9分）設(shè)有齊次線性方程組試問(wèn)取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解【分析】本題是方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同的齊次線性方程組，可考慮對(duì)系數(shù)矩陣直接用初等行變換化為階梯形，再討論其秩是否小于n，進(jìn)而判斷是否有非零解；或直接計(jì)算系數(shù)矩陣的行列式，根據(jù)題設(shè)行列式的值必為零，由此對(duì)參數(shù)的可能取值進(jìn)行討論即可【詳解1】對(duì)方程組的參數(shù)矩陣A作初等行變換，有 當(dāng)時(shí)，r(A)=1n,故方程組有非零解，其同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為，于是方程組得通解為，其中為任意常數(shù)當(dāng)時(shí)，對(duì)矩陣B作初等行變換，有可知時(shí)，r(A)=n-1n故方程組也有非零解，其同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù)【詳解2】方程組的系數(shù)行列式為 當(dāng)，即或時(shí)，方程組有非零解當(dāng)時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 故方程組的同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 ，于是方程組的通解為，其中為任意常數(shù)當(dāng)時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 故方程組的通解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù)二、非齊次線性方程組1（00，填4題，3分）已知方程組無(wú)解，則【分析】首先明確方程組無(wú)解的充分必要條件是【詳解】化增廣矩陣為階梯形，有可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，系數(shù)矩陣的秩為2，而增廣矩陣的秩為3，因此方程組無(wú)解。注意，當(dāng)時(shí)，系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩均為2，方程組有無(wú)窮多解2（02，選4題，3分）設(shè)有三張不同平面的方程，它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣都為2，則這三張平面可能的位置關(guān)系為：則（A） （B） （C） （D）【答】應(yīng)選（B）【分析】由于系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等且為2，故得知方程組有解，而且解空間的維數(shù)321，即共同構(gòu)成一條直線，所以選（B）項(xiàng)。但錯(cuò)誤地選（C）或（D），其原因是誤認(rèn)為這兩種情形均有公共解，事實(shí)上，（C）僅是兩兩方程有公共解，（D）是某方程分別與另兩方程有公共解，都不是三個(gè)方程有公共解?！驹斀狻坑深}設(shè)，線性方程組 系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等且為2，由非齊次線性方程組解的判定定理知，此方程組有無(wú)窮多組解，即三平面有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，（A）只有一個(gè)交點(diǎn)，（C），（D）無(wú)交點(diǎn)，因此只有（B）符合要求。3（02，九題，6分）已知4階方陣均為4維列向量，其中線性無(wú)關(guān),如果,求方程組的通解【分析】對(duì)于詳解2，關(guān)鍵在于求線性方程組的通解，再由的秩，并對(duì)照以及，便可求得結(jié)果【詳解1】令，則由得，將代入上式，整理后得，由線性無(wú)關(guān)，知解此方程組得，其中k為任意常數(shù)【詳解2】由線性無(wú)關(guān)和知A的秩為3，因此的基礎(chǔ)解系中只包含一個(gè)向量。由，知為齊次線性方程組的一個(gè)解，所以其通解為，k為任意常數(shù)再由，知為非齊次線性方程組的一個(gè)特解于是的通解為，其中k為任意常數(shù)4（03，十題，8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為【分析】三條直線相交于一點(diǎn)，相當(dāng)于對(duì)應(yīng)線性方程組有惟一解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣于增廣矩陣的秩均為2，本題看似復(fù)雜，其實(shí)不難，計(jì)算量比較大，該題綜合考查了矩陣的秩的計(jì)算，行列式的計(jì)算，以及對(duì)解的判斷問(wèn)題【詳解1】必要性：設(shè)三條直線交于一點(diǎn)，則線性方程組有惟一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，于是由于但根據(jù)題設(shè)，故必要性：由，則從必要性的證明可知，故秩()3由于 故秩(A)=2，于是，秩(A)= 秩()=2因此方程組（*）有惟一解，即三直線交于一點(diǎn)【詳解2】必要性：設(shè)三直線交于一點(diǎn)，則為的非零解，其中于是但根據(jù)題設(shè)，故充分性：考慮線性方程組 將方程組(*)的三個(gè)方程相加，并由可知，方程組(*)等價(jià)于方程組 因?yàn)楣史匠探M(*)有惟一解所以方程組(*)有惟一解，即三直線交于一點(diǎn)5（05，21題，9分）已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣B（k為常數(shù)），且AB0，求線性方程組Ax0的通解【分析】AB0，相當(dāng)于告之B的每一列均為Ax0的解，關(guān)鍵問(wèn)題是Ax0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為多少，而這又轉(zhuǎn)化為確定系數(shù)矩陣A的秩【詳解1】由AB0知r(A)+r(B)3,又 (1) 若r(A)=2,必有r(B)=1,此時(shí)k=9方程組Ax0的通解是，其中t為任意實(shí)數(shù)(2)若r(A)=1,則Ax0的通解方程是且滿足，如果 ，方程組的通解是，其中為任意實(shí)數(shù)；如果，方程組的通解是，其中為任意實(shí)數(shù)【詳解2】（1）如果，則秩r(B)=2,由AB0知，因此，所以Ax0的通解是，其中為任意實(shí)數(shù)（2）如果k=9，則秩r(B)=1,那么，r(A)=1或2若r(A)=2,則Ax0的通解是，其中t為任意實(shí)數(shù)若r(A)=1,對(duì)，設(shè)，則方程組的通解是 6（06，（20）題，9分）已知非齊次線性方程組 有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解（）證明方程組系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2（）求的值及方程組的通解【分析】本題討論帶參數(shù)的取值與解的關(guān)系，根據(jù)已知條件，必須利用非齊次線性方程組與其導(dǎo)出組的關(guān)系以及基礎(chǔ)解系與系數(shù)矩陣秩的關(guān)系來(lái)求解【詳解】（）設(shè)是非齊次方程組三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，令 則是導(dǎo)出的齊次方程組的兩個(gè)解由可得 因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以必有 即由此得線性無(wú)關(guān)因?yàn)閷?dǎo)出組至少有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，所以其基礎(chǔ)解系至少包含兩個(gè)解，故，由此得，另一方面，導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣 存在2階不等于零的子式 所以，綜上所述，即得r(A)=2（）因?yàn)榉驱R次方程組有解，故其增廣矩陣與系數(shù)矩陣A的秩相等，由（）得r(A)=2,故增廣矩陣 的秩也為2，用初等行變換把上述矩陣化為階梯形 由此得即利用上述階梯形矩陣，可得同解方程組 確定自由未知數(shù) 由此得通解為 其中為自由未知數(shù)2011年考研英語(yǔ)遠(yuǎn)程輔導(dǎo)全程班考研考什么？考的就是英語(yǔ)！每年考研英語(yǔ)超過(guò)60分的考生占總報(bào)考人數(shù)的比例不足15%，國(guó)家最高控制分?jǐn)?shù)線從沒(méi)超過(guò)58分。專業(yè)課再優(yōu)秀，如果英語(yǔ)不過(guò)關(guān)，也與碩士無(wú)緣?？墒?，英語(yǔ)基礎(chǔ)本來(lái)就不怎么樣，學(xué)起來(lái)又枯燥；備考時(shí)間不多，又苦于沒(méi)有有效的復(fù)習(xí)方法；自學(xué)的效果非常差，怎樣才能在短時(shí)間內(nèi)突破考研英語(yǔ)瓶頸呢？詞匯記不?。菏俏覀兊挠洃浻袉?wèn)題，還是學(xué)習(xí)方法不對(duì)？閱讀看不懂：是依靠大辭典，還是有更好的辦法？寫作、翻譯無(wú)從下手：自認(rèn)為構(gòu)思還可以，可就是表達(dá)不出來(lái)，有什么玄機(jī)呢？針對(duì)廣大考生存在的問(wèn)題，華慧考研英語(yǔ)專業(yè)輔導(dǎo)團(tuán)隊(duì)集多年考研輔導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，精確把握歷年考研英語(yǔ)的命題思路，針對(duì)學(xué)員的英語(yǔ)基礎(chǔ)開(kāi)設(shè)不同層次的輔導(dǎo)班。 免費(fèi)試聽(tīng)網(wǎng)址：/free/index.asp?zt=kaoyan復(fù)試指導(dǎo)班（報(bào)班300元即贈(zèng)送此課程）個(gè)性化指導(dǎo) 100元基礎(chǔ)學(xué)習(xí)班( 詞匯+語(yǔ)法)40課時(shí) 原價(jià)400元，優(yōu)惠價(jià)350元模塊突破班(完型+翻譯+閱讀+寫作)90課時(shí) 原價(jià)700元，優(yōu)惠價(jià)550元專項(xiàng)突破班(基礎(chǔ)學(xué)習(xí)班+模塊突破班)130課時(shí) 原價(jià)1100元，優(yōu)惠價(jià)780元系統(tǒng)全程班(專項(xiàng)突破班+串講沖刺班)160課時(shí) 原價(jià)1600元，優(yōu)惠價(jià)980元 專項(xiàng)突破班結(jié)合考試規(guī)律，全面提煉課程知識(shí)精華，側(cè)重講解重點(diǎn)、難點(diǎn)和考點(diǎn)。在較短時(shí)間內(nèi)，強(qiáng)化學(xué)員對(duì)課程內(nèi)容的掌握，提高學(xué)員駕馭和應(yīng)用所學(xué)知識(shí)的能力，使學(xué)員真正做到舉一反三、觸類旁通。同時(shí)，通過(guò)對(duì)大量極具代表性的綜合習(xí)題解題思路及過(guò)程的深入剖析，指明未來(lái)考題中可能出現(xiàn)的“誤區(qū)”、“陷阱”所在，幫助學(xué)員提高答題技巧，減少答題錯(cuò)誤，熟悉考試題型、掌握命題規(guī)律、提高解題能力，以達(dá)到事半功倍的復(fù)習(xí)效果。 串講沖刺班全面串講、?？嫉仁侄?，強(qiáng)化應(yīng)試能力和技巧，結(jié)合歷年考試特點(diǎn)，預(yù)測(cè)考試方向，逐一講解重要考點(diǎn)，分析考點(diǎn)出題形式，講解答題思路，傳授應(yīng)試技巧，對(duì)考試題型進(jìn)行歸納講評(píng)，使學(xué)員適應(yīng)考試氛圍，以最佳狀態(tài)面對(duì)考試。 咨詢時(shí)間早上10：00晚上24：00（周六、周日及節(jié)假日期間不休息）24小時(shí)服務(wù)電話電話607在線咨詢QQ: 987403892、531060683華慧輔導(dǎo)特色1、頂級(jí)師資陣容首師大、北外、北大、清華、人大等國(guó)內(nèi)著名大學(xué)的頂級(jí)名師親自授課，精準(zhǔn)把握考研英語(yǔ)的命題思路，講課通俗易懂、條理清晰、重點(diǎn)突出，歷年通過(guò)率不斷攀升，深受學(xué)生好評(píng)。2、因材施教先對(duì)學(xué)員進(jìn)行摸底測(cè)試，為學(xué)員量身定做個(gè)性化的復(fù)習(xí)計(jì)劃，真正做到“因材施教”。3、一流的輔導(dǎo)團(tuán)隊(duì)具有豐富經(jīng)驗(yàn)的專業(yè)化輔導(dǎo)團(tuán)隊(duì)為學(xué)員提供系統(tǒng)、專業(yè)、高效的全程服務(wù)。輔導(dǎo)團(tuán)隊(duì)通過(guò)摸底考試、章節(jié)訓(xùn)練等方式考核學(xué)員，根據(jù)測(cè)評(píng)結(jié)果制定個(gè)性化的備考策略和各階段復(fù)習(xí)計(jì)劃，并有針對(duì)性的調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，讓每一位學(xué)員的弱項(xiàng)得到彌補(bǔ)，強(qiáng)項(xiàng)得到鞏固、提高，從而奠定堅(jiān)實(shí)的備考能力，確保學(xué)員輕松掌握重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)。4、零距離互動(dòng)名師、輔導(dǎo)老師與學(xué)員零距離接觸，進(jìn)行水乳交融式的交流，全面解決單調(diào)、枯燥的學(xué)習(xí)環(huán)境，學(xué)習(xí)效果自然獨(dú)樹(shù)一幟！5、在線考場(chǎng)與錯(cuò)題庫(kù)全真在線模擬考場(chǎng)、個(gè)人錯(cuò)題庫(kù)，精準(zhǔn)把握考試時(shí)間，規(guī)避出現(xiàn)考題會(huì)做而沒(méi)有時(shí)間去做的考場(chǎng)通?。痪珳?zhǔn)做到對(duì)知識(shí)點(diǎn)的查漏補(bǔ)缺，把有限的時(shí)間花在學(xué)不會(huì)的知識(shí)點(diǎn)上；讓學(xué)與練通過(guò)在線考場(chǎng)融會(huì)貫通，真正實(shí)現(xiàn)事半功倍的學(xué)習(xí)效果！6、在線及時(shí)答疑依托華慧智能化的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，專業(yè)輔導(dǎo)團(tuán)隊(duì)為您提供及時(shí)準(zhǔn)確的網(wǎng)上答疑，解決您在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的一切學(xué)習(xí)問(wèn)題。7、個(gè)性化動(dòng)態(tài)跟蹤輔導(dǎo)。依托華慧智能化的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，輔導(dǎo)老師為學(xué)員建立個(gè)性化的學(xué)習(xí)檔案，隨時(shí)與學(xué)員進(jìn)行溝通，及時(shí)了解學(xué)員的需求，督促學(xué)員學(xué)習(xí)，動(dòng)態(tài)跟蹤和記錄每位學(xué)員的學(xué)習(xí)進(jìn)度，并對(duì)學(xué)習(xí)效果進(jìn)行測(cè)評(píng)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)員學(xué)習(xí)的積極性，確保學(xué)員處于最佳的復(fù)習(xí)狀態(tài)。8、在線及時(shí)答疑依托華慧智能化的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，專業(yè)輔導(dǎo)團(tuán)隊(duì)為您提供及時(shí)準(zhǔn)確的網(wǎng)上答疑，解決您在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的一切學(xué)習(xí)問(wèn)題。9、小班教學(xué)，精品服務(wù)，限額招生，確保給每位學(xué)員最貼心的服務(wù)。華慧考研英語(yǔ)大逆轉(zhuǎn)系列叢書(shū)介紹考研英語(yǔ)難嗎？答案顯而易見(jiàn)，名校的考研英語(yǔ)分?jǐn)?shù)線也才50多分，普通院校40多分?？佳杏⒄Z(yǔ)的難度可見(jiàn)一斑?？佳杏⒄Z(yǔ)苦?。〔还茉瓉?lái)的英語(yǔ)基礎(chǔ)如何，很多考生夜以繼日緊張備考，最后還是兵敗英語(yǔ)，苦無(wú)成效，心有不甘。不考嗎？人生難得幾回搏，要改變現(xiàn)狀，非考研不可?？紗?？有點(diǎn)膽怯呢。學(xué)了十幾年英語(yǔ)，還是門外漢，一直沒(méi)有找到很好的方法，要考研了，最怕的還是英語(yǔ)，最擔(dān)心的也是英語(yǔ)，一拿起英語(yǔ)書(shū)就頭痛。很多考生的案頭堆滿了考研英語(yǔ)書(shū)，可就是找不到適合自己的，很多書(shū)到考完了還是新的。可以說(shuō)，目前充斥各個(gè)書(shū)店的考研英語(yǔ)資料都是針對(duì)英語(yǔ)基礎(chǔ)相對(duì)比較好的，要靠自己去歸納、總結(jié)、糾正學(xué)習(xí)方法，有些甚至就是題海戰(zhàn)術(shù)，備考心力憔悴、效果不甚了了。這些資料對(duì)英語(yǔ)基礎(chǔ)比較弱或者對(duì)英語(yǔ)一直懷有“敵意”的考生來(lái)說(shuō)，有如雞肋，沒(méi)有任何意義。針對(duì)考研英語(yǔ)資料存在的問(wèn)題，從考生的實(shí)際需要出發(fā)，華慧考研網(wǎng)總結(jié)多年考研輔導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)辟蹊徑，精心編著出考研英語(yǔ)大逆轉(zhuǎn)系列叢書(shū)，旨在幫助考生能有效的突破英語(yǔ)學(xué)習(xí)的瓶頸，實(shí)現(xiàn)從低分到高分的逆轉(zhuǎn)。該叢書(shū)分為詞匯篇、閱讀篇、翻譯寫作篇，專為或者對(duì)英語(yǔ)一直懷有“敵意”或有畏懼感、英語(yǔ)基礎(chǔ)比較弱的考生而設(shè)計(jì)?？佳杏⒄Z(yǔ)大逆轉(zhuǎn)-詞匯篇英語(yǔ)詞匯對(duì)英語(yǔ)學(xué)習(xí)的重要行不言而喻，妄圖