（江蘇專用）2018高考數(shù)學一輪復習 第七章 數(shù)列、推理與證明 熱點探究訓練4 數(shù)列與函數(shù)、不等式.doc

第七章 數(shù)列、推理與證明 熱點探究訓練4 數(shù)列與函數(shù)、不等式a組基礎過關1(2017蘇州期中)設數(shù)列an的前n項和為sn，滿足2snan12n11，且a1，a25，a3成等差數(shù)列(1)求a1，a2的值；(2)求證：數(shù)列an2n是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式解(1)由已知，得2a1a23，2(a1a2)a37，又因為a1，a25，a3成等差數(shù)列，所以a1a32a210，解，得a11，a254分(2)由已知，nn時，2(sn1sn)an2an12n22n1，即an23an12n1，即an13an2n(n2)，8分由(1)得，a23a12，an13an2n(nn)從而有an12n13an2n2n13an32n3(an2n)又a120，an2n0，3.數(shù)列an2n是等比數(shù)列，且公比為3.an2n(a12)3n13n，即an3n2n.14分2(2017泰州中學高三模底考試)已知數(shù)列an的前n項和sn滿足：snt(snan1)(t為常數(shù)，且t0，t1)(1)求an的通項公式；(2)設bnasnan，若數(shù)列bn為等比數(shù)列，求t的值；(3)在滿足條件(2)的情形下，設cn4an1，數(shù)列cn的前n項和為tn，若不等式2n7對任意的nn恒成立，求實數(shù)k的取值范圍. 【導學號：62172212】解(1)當n1時，s1t(s1a11)，得a1t.當n2時，由snt(snan1)，即(1t)sntant，得(1t)sn1tan1t，得(1t)antantan1，即antan1，t(n2)，an是等比數(shù)列，且公比是t，antn.4分(2)由(1)知，bn(tn)2tn，即bn，若數(shù)列bn為等比數(shù)列，則有bb1b3，而b12t2，b2t3(2t1)，b3t4(2t2t1)，故2(2t2)t4(2t2t1)，解得t，再將t代入bn，得bn，由，知bn為等比數(shù)列，t.8分(3)由t，知ann，cn4n1，tn4n4n，由不等式2n7恒成立，得3k恒成立，設dn，由dn1dn，當n4時，dn1dn，當n4時，dn1dn，而d4，d5，d4d5，3k，k.14分b組能力提升1(2017南通調研一)若數(shù)列an中存在三項，按一定次序排列構成等比數(shù)列，則稱an為“等比源數(shù)列”(1)已知數(shù)列an中，a12，an12an1.求數(shù)列an的通項公式；試判斷數(shù)列an是否為“等比源數(shù)列”，并證明你的結論(2)已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且a10，anz(nn)求證：an為“等比源數(shù)列”. 【導學號：62172213】解(1)由an12an1，得an112(an1)，且a111，所以數(shù)列an1是首項為1，公比為2的等比數(shù)列所以an12n1.所以，數(shù)列an的通項公式為an2n11.4分數(shù)列an不是“等比源數(shù)列”用反證法證明如下：假設數(shù)列an是“等比源數(shù)列”，則存在三項am，an，ak(mnk)按一定次序排列構成等比數(shù)列因為an2n11，所以amanak.所以aamak，得(2n11)2(2m11)(2k11)，即22nm12nm12k12km1.又mn0時，因為anz，則d1，且dz，所以數(shù)列an中必有一項an0.為了使得an為“等比源數(shù)列”，只需要an中存在第n項，第k項(mnk)，使得aamak成立，即am(nm)d2amam(km)d，即(nm)2am(nm)dam(km)成立當namm，k2amamdm時，上式成立所以an中存在am，an，ak成等比數(shù)列所以，數(shù)列an為“等比源數(shù)列”.16分2(2017南京模擬)已知等差數(shù)列an的前n項和為sn，且2a5a313，s416.(1)求數(shù)列an的前n項和sn；(2)設tn(1)iai，若對一切正整數(shù)n，不等式tnm2)，使得s2，sms2，snsm成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，說明理由解(1)設數(shù)列an的公差為d.因為2a5a313，s416，所以解得a11，d2，所以an2n1，snn2.4分(2)當n為偶數(shù)時，設n2k，kn，則t2k(a2a1)(a4a3)(a2ka2k1)2k.代入不等式tnan1(1)n1an2n1，得2k4k，從而0，所以f(k)是遞增的，所以f(k)min2，所以2.7分當n為奇數(shù)時，設n2k1，kn，則t2k1t2k(1)2ka2k2k(4k1)12k.代入不等式tnan1(1)n1an2n1，得(12k)4k.因為kn，所以4k的最大值為4，所以4.綜上，的取值范圍為4m2)，使得s2，sms2，snsm成等比數(shù)列，則(sms2)2s2(snsm)，即(m24)24(n2m2)，所以4n2(m22)212，即4n2(m22)212，即(2nm22)(2nm22)