解析幾何與平面向量.doc

專題測試解析幾何與平面向量近幾年平面向量與解析幾何交匯試題考查方向為：（1）考查學(xué)生對平面向量的概念、加減運算、坐標運算、數(shù)量積及學(xué)生對平面向量知識的簡單運用，如向量共線、垂直、定比分點. （2）考查學(xué)生把向量作為工具的運用能力，如求軌跡方程，圓錐曲線的定義，標準方程和幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，故它是聯(lián)系多項知識的媒介，成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點，數(shù)學(xué)高考重視能力立意，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點上設(shè)計試題，因此，解析幾何與平面向量的融合交匯是今后高考命題改革的發(fā)展方向和創(chuàng)新的必然趨勢. 要注意以平面向量作為工具，綜合處理有關(guān)長度、角度、共線、平行、垂直射影等問題以及圓錐曲線中的軌跡、范圍、最值、定值對稱等典型問題.本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分. 滿分為150分，考試時間為120分鐘.第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1將橢圓x2+6y2-2x-12y-13=0按向量a平移，使中心與原點重合，則a的坐標是（ ）A（-1，1） B（1，-1） C（-1，-1） D（1，1）2平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（3，1），B（-1，3），若點C滿足，其中、R，且+=1，則點C的軌跡方程為（ ）A3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5C2x-y=0 Dx+2y-5=03（理）某拋物線形拱橋的跨度是20m，拱高是4m，在建橋時每隔4m需用一柱支撐，其中最長的支柱是（ ）A4m B3.84m C1.48m D2.92m（文）一拋物線型拱橋，當(dāng)水面離橋頂2m時，水面寬4m，若水面下降1m時，則水面寬為（ ）Am B2m C4.5m D9m4已知P是以F1、F2為焦點的橢圓（ab0）上一點，若，tanPF1F2=，則橢圓的離心率為（ ）A B C D5在ABC中，則ABC的面積最大值為（ ）A B C D6從坐標原點O引圓(x-m)2+(y-2)2=m2+1的切線y=kx，當(dāng)m變化時，則切點P的軌跡方程為（ ）Ax2-y2=3 Bx2+y2=3Cx2+y2=5 Dx+y=57若直線l：ax+y+2=0與連結(jié)點A（-2，3）和點B（3，2）的線段有公共點，則a的取值范圍為（ ）A BC D8已知直線y=(a+1)x-1與曲線y2=ax恰有一個公共點，則實數(shù)a的值為（ ）Aa=0或-1 B-1或Ca=0或 Da=0或-1或9已知向量（2，0），（2，2），=（cos，sin），則向量 與的夾角范圍為（ ）A BC D10（理）已知橢圓，則其內(nèi)接三角形面積的最大值為（ ）A B C D12（文）過點A（1，-1），B（-1，1），且圓心在直線上的圓方程是A BC D11M是拋物線上一點，N是圓上的動點，則|MN|的最小值是（ ）A B C D12已知曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ）A B C D第卷（非選擇題） 共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上.13已知雙曲線的右準線為x=4，右焦點F（10，0），離心率e=2，則雙曲線方程為 .14已知向量a=(2cos，2sin)，b=(3cos，3sin)，其向量a與b的夾角為60，則直線與圓的位置關(guān)系是 .15一個酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的方程是. 在杯內(nèi)放入一個玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃的半徑r的范圍為 .16設(shè)，M是雙曲線上位于第一象限的點，對于命題；以線段MP1為直徑的圓與圓相切；存在常數(shù)b，使得M到直線的距離等于. 其中所有正確命題的序號是 .三、解答題：本大題共6小題，共70分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（本小題滿分10分）如圖，四邊形MNPQ是C的內(nèi)接梯形，C是圓心，C在MN上，向量與的夾角為120，（1）求C的方程；（2）求以M、N為焦點且過點P、Q的橢圓的方程.18（本小題滿分12分）已知橢圓中心在原點，焦點在y軸上，焦距為4. 離心率為.（1）求橢圓方程；（2）設(shè)橢圓在y軸正半軸上的焦點為M，又點A和點B在橢圓上，且M分有向線段所成的比為2，求線段AB所在直線的方程.19（本小題滿分12分）（理）已知有三個居民小區(qū)A、B、C構(gòu)成ABC，AB=700m、BC=800m、AC=300m. 現(xiàn)計劃在與A、B、C三個小區(qū)距離相等處建造一個工廠，為不影響小區(qū)居民的正常生活和休息，需在廠房的四周安裝隔音窗或建造隔音墻. 據(jù)測算，從廠房發(fā)出的噪音是85分貝，而維持居民正常生活和休息時的噪音不得超過50分貝.每安裝一道隔音窗噪音降低3分貝，成本3萬元，隔音窗不能超過3道；每建造一堵隔音墻噪音降低15分貝，成本10萬元；距離廠房平均每25m噪音均勻降低1分貝.（1）求C的大小；（2）求加工廠與小區(qū)A的距離. （精確到1m）；（3）為了不影響小區(qū)居民的正常生活和休息且花費成本最低，需要安裝幾道隔音窗，建造幾堵隔音墻？（計算時廠房和小區(qū)的大小忽略不計）（文）根據(jù)我國汽車制造的現(xiàn)實情況，一般卡車高3m，寬1.6m. 現(xiàn)要設(shè)計橫斷面為拋物線型的雙向二車道的公路隧道，為保障雙向行駛安全，交通管理條例規(guī)定汽進入隧道后必須保持距離中線0.4m的距離行駛. 已知拱口AB寬恰好是拱高OC的4倍，若拱寬為a m.求能使卡車安全通過的a的最小整數(shù)值.20（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓，經(jīng)過橢圓C的右焦點F且斜率為k（k0）的直線l交橢圓C于A、B兩點，M為線段AB的中點，設(shè)O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點.（1）是否存在k，使對任意m0，總有成立？若存在，求出所有k的值；（2）若，求實數(shù)k的取值范圍.21（本小題滿分12分）（理）設(shè)拋物線的焦點為F，準線與x軸交點為Q，過Q點的直線l交拋物線于A、B兩點.（1）直線l的斜率為，求證：.（2）設(shè)直線FA、FB的斜率為、探究與之間的關(guān)系并說明理由.（文）若F1，F(xiàn)2為雙曲線的左、右焦點，O為坐標原點，P在雙曲線左支上，M在右準線上，且滿足（1）求此雙曲線的離心率；（2）若此雙曲線過點，求雙曲線的方程；（3）B1，B2（B1在y軸的正半軸上），過B2作直線AB與雙曲線交于A，B兩點，求時，直線的方程.22（本小題滿分12分）如圖，過拋物線的對稱軸上一點P（0，m）(m0)作直線l與拋物線交于A(x1，y1),B(x2，y2)兩點，點Q是P關(guān)于原點的對稱點，以P、Q為焦點的橢圓為C2.（1）求證：x1x2=-4m；（2）若l的方程為x-2y+4=0，且C1、C2以及直線l有公共點，求C2的方程；（3）設(shè)P分有向線段所成的比為，若，求證：.參考答案1C 橢圓方程變形為. 需按a=(-1，-1)平移，中心與原點重合.2D C點滿足且，A、B、C三點共線. C點的軌跡是直線AB.3（理）B 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼担O(shè)拋物線方程為，由題意知其過定點（10，-4），代入，得. . 當(dāng)x0=2時，最長支柱長為（m）.（文）B 建立適當(dāng)?shù)闹弊鴺讼?，設(shè)拋物線方程為，由題意知，拋物線過點（2，-2），. p=1. . 當(dāng)時，得. 水面寬為（m）.4D 設(shè)c為橢圓半焦距，又tan， ，解得：. 選D.5A ，又，. 故ABC的面積（當(dāng)且僅當(dāng)=2時取等號）.ABC的面積的最大值是，故選A.6B 根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)圓心為C，切點P的坐標為P(x，y)，則發(fā)現(xiàn)圖中隱含條件.，故點P的軌跡方程為7C 由方程可知直線恒過定點C(0，-2)，又A(-2，3)，B(3，2)，如圖連結(jié)AC、BC，則，故直線l的斜率應(yīng)滿足，即或8D 聯(lián)立方程，（1）當(dāng)a=0時，此方程組恰有一組解. （2）當(dāng)時，消去x得，若，即a=-1時，方程變?yōu)橐辉淮畏匠? 此時方程組恰有一組解，若，即時，令，解之得. 此時直線與曲線相切，只有一個公共點. 綜上所述，當(dāng)時，直線與曲線只有一個公共點.9D ，B（2，0），C（2，2）， 點A的軌跡是以C（2，2）為圓心，為半徑的圓. 過原點O作此圓的切線，切點分別為M，N，連結(jié)CM、CN（MOB3通過解不等式，結(jié)合問題的實際意義和要求得到a的值，值得注意的是這種思路在與最佳方案有關(guān)的應(yīng)用題中是常用的.20（1）橢圓，即c=m.F(m，0)，直線，即，設(shè)，則，設(shè)，則.若存在k，使，M為ON的中點，即N點坐標為，由N點在橢圓上，則，即，（舍去），故存在.（2）由，得，即思路點撥 本題考查了直線和橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系以及向量的運算和不等式、方程的知識，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法和方程的思想方法. 解（1）時關(guān)鍵在對M點的使用，從而建立O、N兩點與A、B兩點的關(guān)系，解（2）時要注意分離變量及消元的思想方法.命題動向 本題借用平面向量的語言敘述解析幾何的背景，利用平面向量的知識將問題（1）得到簡捷的解題途徑，這些正是體現(xiàn)考試大綱所強調(diào)“在知識網(wǎng)絡(luò)匯設(shè)計試題”的命題要求. 問題（2）是一道探索性的開放題目，這類以向量為背景的解析幾何題目是每年高考的熱點問題，體現(xiàn)了考試大綱對能力的要示，因此我們必須熟悉掌握解答這類題目的方法技巧（利用平行、垂直、點乘或點與直線的關(guān)系等）.21（理）（1），直線l的方程為：，由消去x得：，解得：，而.故，.（2）.因直線l與拋物線交于A、B兩點，故直線l方程：，由消去x得，設(shè)，則，.命題動向 本題考查了拋物線的方程和性質(zhì)、直線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查運算能力、分析推理能力.（文）（1）由知四邊形是平行四邊形，又由知OP平分，四邊形PF1OM上菱形，設(shè)焦半距為c，則有，由雙曲線第二定義可知，e=2（e=-1舍去）.（2），又雙曲線過點，即，所求雙曲線的方程為（3）由題意知，則設(shè)直線AB的方程為，則由可得雙曲線的漸近線為，當(dāng)時，AB與雙曲線只有一個交點，即，又，即，直線AB的方程為.方法探究 平面向量兼有代數(shù)和幾何特性，是數(shù)學(xué)應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)工具之一，解析幾何是高中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)重點內(nèi)容，是高考中的重頭戲，而平面向量與解析幾何交匯命題是近三年來新高考的一個新亮點. 這類綜合問題大致可分三類：（1）平面向量與圓錐曲線符號層面上的整合問題：這類題目是平面向量和圓錐曲線的簡單拼盤；（2）平面向量與圓錐曲線知識層面上的整合問題：用平面向量語言包裝解析幾何中元素的關(guān)系，試題情境新穎，結(jié)合點選取恰到好處，命題手法日趨成熟，如本例求解過程中，明確向量式“”與“”的含義，還原幾何元素“菱形PF1OM”是求解關(guān)鍵；（3）平面向量與圓錐曲線應(yīng)用層面上的整合問題：以平面向量作為工具，綜合處理有關(guān)長度、角度、垂直、射影等問題以及