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第十二章 隨機過程及其統(tǒng)計描述 1 利用拋擲一枚硬幣的試驗定義一隨機過程 X t cos t 出現(xiàn) H t 出現(xiàn) T t 假設(shè) P H P T 試確定 X t 的 一維分布函數(shù) F x F x 二維分布函數(shù) F x x 解 由 X t 的定義 X 出現(xiàn) H 出現(xiàn) T 這一離散型隨機變量的分布律為 X pk 其分布函數(shù)為 F x x x x 同理X 出現(xiàn) H 出現(xiàn) T 其分布律為 X pk 分布函數(shù)為 F x x x x 當 t t 時 X X 是一個二維離散型隨機變量 且當 硬幣出現(xiàn) H 時 它的取值為 當硬幣出現(xiàn) T 時 它的取值為 由于 硬幣出現(xiàn) H 出現(xiàn) T 的概率均為 因此 X 與 X 的聯(lián)合分布律為 X X 題 暢 圖 X X 的分布函數(shù)為 F x x P X x X x 由題 暢 圖知 當 x x 時 F x x 當 x x 時 F x x 當 x x 時 F x x PX X 當 x x 時 F x x PX X 當 x x 時 F x x PX X 502第十二章 隨機過程及其統(tǒng)計描述 PX X 所以分布函數(shù)為 F x x x x x x x x x x x x 2 給定隨機過程 X t t T x 是任一實數(shù) 定義另一個隨機過程 Y t X t x X t x t T 試將 Y t 的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)用隨機過程 X t 的一維和二維分布函數(shù)來 表示 解 設(shè)隨機過程 X t t T 的一維分布函數(shù)為 F x t 二維分布函數(shù)為 F x x t t 固定 t時 Y t 是服從 分布的隨機變量 其分布律為 Y t pkP X t x P X t x 于是 Y t 的均值為 Y t E Y t P X t x P X t x P X t x F x t 又隨機變量 Y t 和 Y t 的聯(lián)合分布律為 Y t Y t P X t x X t x P X t x X t x P X t x X t x P X t x X t x 由教材第四章 公式 及二維分布函數(shù)的定義 有 RY t t E Y t Y t 602概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題全解指南 P X t x X t x P X t x X t x P X t x X t x P X t x X t x P X t x X t x F x x t t 3 設(shè)隨機過程 X t e At t 其中 A 是在區(qū)間 a 上服從均勻分布的 隨機變量 試求 X t 的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù) 解 由關(guān)于隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定理知道 X t 的均值函數(shù)為 t E X t E e At a e ut a du at e at t 自相關(guān)函數(shù)為 RX t t E X t X t E e At e At E e t t A a e t t u a du a t t e a t t t t 4 設(shè)隨機過程 X t X 隨機變量 E X a D X 試求 X t 的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù) 解 X t E X t E X a CX t t E X t X t X t X t E X a D X 5 已知隨機過程 X t t T 的均值函數(shù) X t 和協(xié)方差函數(shù) CX t t t 是普通的函數(shù) 試求隨機過程 Y t X t t 的均值函數(shù)和協(xié)方差 函數(shù) 解 Y t E Y t E X t t E X t E t X t t CY t t E Y t Y t Y t Y t E X t t X t t X t t X t t E X t X t X t X t CX t t 6 給定一隨機過程 X t t T 和常數(shù) a 試以 X t 的自相關(guān)函數(shù)表出隨 機過程 Y t X t a X t t T 的自相關(guān)函數(shù) 解 設(shè) X t 的自相關(guān)函數(shù)為 RX t t t t T 按定義 Y t 的自相關(guān)函 702第十二章 隨機過程及其統(tǒng)計描述 數(shù)為 RY t t E Y t Y t E X t a X t X t a X t E X t a X t a E X t X t a E X t a X t E X t X t RX t a t a RX t t a RX t a t RX t t 7 設(shè) Z t X Yt t 若已知二維隨機變量 X Y 的協(xié)方差 矩陣為 試求 Z t 的協(xié)方差函數(shù) 解 根據(jù)第四章 協(xié)方差矩陣的定義及題設(shè)知 E X X E X X Y Y E Y Y 又 Z t E X Yt E X tE Y X t Y Z t Z t X tY X t Y X X t Y Y 所以 CZ t t E Z t Z t Z t Z t E X X t Y Y X X t Y Y t t t t 8 設(shè) X t At B t 式中 A B 是相互獨立 且都服從正態(tài) 分布 N 的隨機變量 試證明 X t 是一正態(tài)過程 并求出它的相關(guān)函數(shù) 協(xié) 方差函數(shù) 解 由題設(shè) A B 是相互獨立的正態(tài)變量 所以 A B 是二維正態(tài)變量 對 于任意一組實數(shù) t t tn T X ti Ati B i n 都是 A B 的線性組合 于是根據(jù)教材第四章 中 n 維正態(tài)變量的性質(zhì) 知 X t X t X tn 是 n維正態(tài)變量 再由 n ti的任意性 得知 X t 是正 態(tài)過程 而 RX t t E X t X t E At B At B t t E A t t E AB E B t t T 因 A N B N 且 A B 相互獨立 即有 E A E B E A E B E AB E A E B 故 RX t t t t 又因 X t E At B tE A E B 故 CX t t RX t t 802概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題全解指南 9 設(shè)隨機過程 X t 與 Y t t T 不相關(guān) 試用它們的均值函數(shù)與協(xié)方差 函數(shù)來表示隨機過程 Z t a t X t b t Y t c t t T 的均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù) 其中 a t b t c t 是普通的函數(shù) 解 Z t E Z t a t E X t b t E Y t c t a t X t b t Y t c t t T 從而 Z t Z t a t X t X t b t Y t Y t 注意到 X t 與 Y t 不相關(guān) 于是它們的互協(xié)方差函數(shù)為零 即 CXY t t Cov X t Y t E X t X t Y t Y t t t T 所以 Z t 的自協(xié)方差函數(shù) CZ t t Cov Z t Z t E Z t Z t Z t Z t a t a t E X t X t X t X t b t b t E Y t Y t Y t Y t a t a t CX t t b t b t CY t t t t T 10 設(shè) X t 和 Y t t 是兩個相互獨立的 分別具有強度 和 的泊松 過程 試證 S t X t Y t 是具有強度 的泊松過程 證 本題用另一種形式的定義來證明較為方便 需要證 i S t 是獨立增量 過程 ii 對于任意的 t t S t S t t t iii S 下面按 iii i ii 的次序論證 已知條件是 a X t Y t t 分別是強度為 的泊松過程 b 過程 X t t 與 Y t t 相互獨立 iii 因 X t Y t t 都是泊松過程 所以 X Y 今 S t X t Y t 從而得 S X Y i 在 t 上任取點 t t t tn 作 S t 的增量 S ti S ti X ti Y ti X ti Y ti 記成 Ui Vi 此處 Ui X ti X ti Vi Y ti Y ti i n 902第十二章 隨機過程及其統(tǒng)計描述 對于任意實數(shù) x x xn y y yn有 P U x U x Un x n V y V y Vn yn P U x U x Un xn P V y V y Vn yn 由 X t 與 Y t 相互獨立 P U x P U x P Un xn P V y P V y P Vn yn 由 X t Y t 是獨立增量過程 即知 U U Un V V Vn相互獨立 從而 U V U V Un Vn 相互獨立 因此 S t 是獨立增量過程 ii 由條件 a 知 對于任意 t t X t X t t t Y t Y t t t 由 X t Y t 的獨立性知 X t X t 與 Y t Y t 相互獨立 從而由第三章 習題 知 S t S t X t Y t X t Y t X t X t Y t Y t t t 11 設(shè) W t t 是以 為參數(shù)的維納過程 求下列過程的協(xié)方差 函數(shù) W t At A 為常數(shù) W t Xt X 為與 W t t 相互獨立的標準正態(tài)變量 aW t a a 為正常數(shù) 解 因 W t 是維納過程 故有 W t E W t CW s t E W s W t min s t s t 記 Z t W t At 則有 Z t E W t E At At 故 CZ s t E Z s Z s Z t Z t E W s W t min s t s t 記 Z t W t Xt 由題設(shè) W t 與 X 獨立 X N 知 E X E X E W t