§3 柯西積分公式及其推廣.doc

第三章 復(fù)變函數(shù)的積分(II)3-3 柯西公式【教材P36-42】(一) 單連通區(qū)域中的柯西公式柯西公式： 設(shè)復(fù)變函數(shù)在閉單連通區(qū)域（）中解析(是區(qū)域的邊界線)， 則在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn) 的值可由沿邊界線的積分確定（積分路徑沿區(qū)域邊界線的正方向進(jìn)行）: ， ，柯西公式說(shuō)明： 解析函數(shù)在其解析區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值可由函數(shù)在該區(qū)域邊界上的值來(lái)確定。這是解析函數(shù)的重要性質(zhì)之一。證明： 對(duì)于任意固定的，由前面的例子知: 兩邊乘以，得: , 因此只要證明: ，即得: ，這就證得柯西積分公式。 作為的函數(shù)在內(nèi)除點(diǎn)外均解析。以為圓心，很小的為半徑，作圓周。由復(fù)連通區(qū)域的柯西定理，得: ，上式表明右邊的積分是與的半徑無(wú)關(guān)的，所以:而 當(dāng)時(shí)，（），由于是連續(xù)的，則: ，。從而 。，。 例1：利用柯西公式證明: ，為以為圓心，為半徑的圓周（積分的環(huán)繞方向?yàn)檠啬鏁r(shí)鐘方向）。證明：設(shè), 則例2：設(shè)代表圓周，計(jì)算積分。（為圓周內(nèi)的任意點(diǎn)， ）解： 由柯西積分公式： ， 得： 例3： 計(jì)算 (沿圓周正向)解： 由柯西公式, 得: 例4: 計(jì)算 (沿圓周正向)解： 由柯西積分公式 , 得： 例5: 設(shè)，證明積分a. 當(dāng)是圓周時(shí)，等于；b. 當(dāng)是圓周時(shí)，等于；c. 當(dāng)是圓周時(shí)，等于。證明：的奇點(diǎn)為及。a. 當(dāng)是圓周時(shí)，及均在圓外，在圓內(nèi)解析。由柯西定理: 。b. 當(dāng)是圓周時(shí)，僅在圓內(nèi)。由柯西積分公式得: 。c. 當(dāng)是圓周時(shí)，僅在圓內(nèi)。由柯西積分公式得：。(二) 復(fù)連通區(qū)域中的柯西公式 設(shè)函數(shù)在閉復(fù)連通區(qū)域中解析，的邊界由外邊界線和內(nèi)邊界線，組成。 則函數(shù)在閉復(fù)連通區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)的函數(shù)值可以用它在邊界上的值表示出來(lái)： ， 說(shuō)明：在上述積分公式中積分路徑包括復(fù)連通區(qū)域的全部邊界，全部積分均沿所有邊界線的正方向進(jìn)行。 （對(duì)外邊界線，其正方向?yàn)檠啬鏁r(shí)鐘方向； 對(duì)內(nèi)邊界線，其正方向?yàn)檠仨槙r(shí)鐘方向，用等表示.） (三) 無(wú)界區(qū)域中的柯西公式設(shè) f(z) 在某一閉合曲線C的外部解析，并且當(dāng)時(shí)f(z)一致地趨于零（即與幅角無(wú)關(guān)，f(z)隨模的增大而趨于零），則對(duì)于閉合曲線C的外部的任意一點(diǎn), 有：說(shuō)明：（1）在閉合曲線C的外部解析；（2）當(dāng)時(shí)一致地趨于零；（3）是閉合曲線C的外部的任意一點(diǎn)；（4）積分應(yīng)沿閉曲線C的順時(shí)鐘方向進(jìn)行（相對(duì)于閉曲線C外部的區(qū)域而言，依然為沿區(qū)域邊界線的正方向進(jìn)行積分）.3-4 復(fù)變解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)（推廣的柯西公式）由柯西公式: ，而，從而被積函數(shù)是處處連續(xù)的。因此可在積分號(hào)下對(duì)求導(dǎo)，得一階導(dǎo)數(shù)為（相對(duì)于來(lái)講）：，( )為表達(dá)清楚起見，積分變量以代替，以代替表示內(nèi)的任一點(diǎn)，則上式可表為： ， ，求次導(dǎo)數(shù)，得：，（），） 這就是推廣的柯西積分公式，它表明在區(qū)域內(nèi)解析的函數(shù)可以求導(dǎo)任意多次，其任意階導(dǎo)數(shù)均可以寫成沿區(qū)域邊界線的積分的形式。說(shuō)明： （1）解析函數(shù)在其解析的區(qū)域內(nèi)可以求導(dǎo)任意多次（即任意階導(dǎo)數(shù)都存在），這是解析函數(shù)的又一重要特點(diǎn)。（2）對(duì)復(fù)連通區(qū)域，高階導(dǎo)數(shù)公式依然成立（積分沿內(nèi)、外邊界線的正方向進(jìn)行）。（3）高階導(dǎo)數(shù)公式的作用，不在于通過積分來(lái)求導(dǎo)，而在于通過求導(dǎo)來(lái)求積分。（求導(dǎo)運(yùn)算比積分運(yùn)算要簡(jiǎn)單的多）。例1： 設(shè)代表圓周：. 計(jì)算積分。解：由推廣的柯西積分公式: ,得： ，令, ， , 得例2：計(jì)算積分，其中為包圍（為任意復(fù)數(shù)）的任意簡(jiǎn)單閉曲線。解：根據(jù)推廣的柯西積分公式: ， 令, , 得:例3: 計(jì)算 其中 為正向圓周: 解: 由公式： , 令, , 得: 例4: 由積分之值，證明，為單位圓周。解: 在單位圓周所圍區(qū)域內(nèi)解析。由柯西定理得：。 （1）另一方面，在上， （2）因?yàn)闉榈钠婧瘮?shù)，所以： 于是由（1）、（2）可得： 。 （3）又 的偶函數(shù)， 于是由（2）和（3）得：第三章 習(xí) 題1、不用計(jì)算，證明下列積分之值均為零，其中均為圓心在原點(diǎn)，半徑為的單位圓周： （1）； （2）。2、計(jì)算：（1）； （2）。3、 求積分（為單位圓周）， 從而證明。