定積分的應(yīng)用.doc

第六章 定積分的應(yīng)用練習(xí)題1 選擇題（1）由曲線所圍成的平面圖形的面積為（ ） A B C D （2）由曲線與直線所圍成圖形的面積為（ ） A B C D （3）心形線相應(yīng)于的一段弧與極軸所圍成的平面圖形的面積為（ ） A B C D （4）由曲線和軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體的體積為（ ） A B C D （5）曲線與直線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體的體積為（ ） A B C D （6）曲線相應(yīng)于區(qū)間上的一段弧線的長(zhǎng)度為 （ ）A B C D（7）一汽船按做直線航行，水的阻力與速度平方成正比（比例系數(shù)為k），汽船從靜止開始向前航行2米，發(fā)動(dòng)機(jī)克服阻力所做的功為（ ） A k B 2k C 4k D8k（8）水下由一個(gè)矩形閘門，鉛直地浸沒在水中它的寬為2m，高為3m，水面超過門頂2m，則閘門上所受水的壓力為（ ） A 245kN B 245N C 2058N D 2058kN（9）一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，平面與地面的交角為，則平面截該圓柱體所得立體的體積為（ ）A B C D （10）一圓柱形水池，深為h，半徑為，則將其中盛滿的水抽出一半與全部抽出所需做的功之比為（ ） A B C D 2填空題（1）曲線圍成的平面圖形的面積為 （2）由拋物線與直線所圍成圖形的面積為 （3）橢圓所圍成的圖形的面積為 （4 ）雙紐線相應(yīng)于上的一段弧所圍成的圖形面積為 （5）由曲線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 （6）由雙曲線和直線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 （7）曲線相應(yīng)于區(qū)間1，3上的一段弧的長(zhǎng)度為 （8）一底為8cm，高為6cm的等腰三角形片，鉛直地浸沒在水中，頂在上、底在下則該三角形片的側(cè)面所受到的水的壓力為 3下列各圖中畫斜線部分的面積：4求由下列各組曲線所圍平面圖形的面積：（1） （2）（3） （4）（5） （6） （7） (較小的一塊) （8）5求由曲線與所圍成的平面圖形的面積6求拋物線及其在點(diǎn)（1，2）處的法線所圍成的圖形的面積7已知曲線與直線所圍圖形的面積為，試求k的值8求的值，使曲線與在點(diǎn)（-1，0）和（1，0）處的法線所圍成的平面圖形的面積最小9在第一象限內(nèi)求曲線上的一點(diǎn)，使該點(diǎn)處的切線及兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積最小，并求此最小面積10求 橢圓與所圍公共圖形的面積11求笛卡爾葉形線所圍成的平面圖形的面積為12求星形線 與坐標(biāo)軸在第一象限所圍成圖形的面積13求由下列各平面圖形的面積：（1） （2）與的公共部分（3） （4）與的公共部分14求對(duì)數(shù)螺線及射線所圍圖形的面積15求曲線與x軸之間位于第一象限的平面圖形的面積16證明：從拋物線上的一點(diǎn)P引拋物線的切線，該切線與所圍成的面積與P點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)17一物體，其底面是半徑為R的圓，用垂直于底圓某一直徑的平面截該物體，所得截面都是正方形，求該物體的體積18求拋物線與直線所圍圖形分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)所形成立體的體積19曲線圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積20求由雙曲線與直線所圍成平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體的體積21曲線和圍成一平面圖形求（1） 該平面圖形的面積（2） 將該平面分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積22利用定積分證明，下底半徑為R，高為h的正圓錐的體積為23求以圓為邊界線的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所形成立體的體積（）24求曲線的弧長(zhǎng)25求曲線相應(yīng)于上的一段弧長(zhǎng)26求曲線相應(yīng)于區(qū)間2，3得一段弧長(zhǎng)27求曲線的全長(zhǎng)28求心形線的全長(zhǎng)29利用定積分證明，半徑為R的圓周的周長(zhǎng)為2R30證明曲線一個(gè)周期的弧長(zhǎng)等于橢圓的周長(zhǎng)31由虎克定律可知，彈簧的伸長(zhǎng)與拉力成正比已知彈簧伸長(zhǎng)1cm時(shí)拉力為1N，求把彈簧拉長(zhǎng)10cm，拉力所做的功32一截面為等要梯形的貯水池，上底寬6m,下底寬4m，深2m，長(zhǎng)8m要把滿池水全部抽到距水池上方20m的水塔中，問需要做多少功？33設(shè)有一質(zhì)量為M，長(zhǎng)為L(zhǎng)的勻質(zhì)細(xì)棒，和一個(gè)位于細(xì)棒延長(zhǎng)線上相距細(xì)棒近端為的指點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m求細(xì)棒對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力（根據(jù)萬(wàn)有引力定律）34某下水道的橫截面時(shí)直徑為3m的圓，水平鋪設(shè)，下水道內(nèi)水深15m，求與下水道垂直的閘門所受的壓力35一底為8厘米，高為6厘米的等腰三角形片，鉛值地沉沒在水中，頂在上，底在下，且與水面平行，頂離水面3厘米，試求它側(cè)面所受的壓力36設(shè)有一半徑為R，圓心角為的圓弧形細(xì)棒，其線密度為常數(shù)在圓心處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，試求細(xì)棒對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力37若電量Q均勻地分布在長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)棒上，求棒的中垂線上離棒中心為處的電荷q所受的電場(chǎng)力38一物體以速度（米/秒）作直線運(yùn)動(dòng)，計(jì)算它在前3秒內(nèi)的平均速度39計(jì)算正弦交流電一個(gè)周期T（）內(nèi)，電流的平均值和有效值（即電流的均方根）40求下列函數(shù)在上的平均值 （1） （2）41血液在動(dòng)脈里流動(dòng)時(shí)，距離動(dòng)脈中心線處的血液流動(dòng)速度為，其中R是動(dòng)脈的半徑，k是常數(shù)，求血液流動(dòng)的平均速度42一密度均勻的薄片，其邊界由拋物線與直線圍成，求此薄片的重心坐標(biāo)43某廠每批生產(chǎn)某產(chǎn)品Q單位時(shí)，收益函數(shù)為（單位：元/單位），當(dāng)生產(chǎn)10單位時(shí)總成本為60元問此時(shí)生產(chǎn)利潤(rùn)是多大？自測(cè)題（A）（一）選擇題1曲線與直線所圍成的平面圖形的面積為（ ）A B C D 2橢圓 與y軸所圍成圖形的面積為( )A B C D 3曲線與軸所圍成的圖形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成旋轉(zhuǎn)體的體積為（ ）A B C D4曲線所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為（ ） A B C D 5一物體沿x=3t2作直線運(yùn)動(dòng)，所受阻力與速度的平方成正比（比例系數(shù)為k），物體從x=0移到x=1時(shí)克服阻力所作的功為 A 4k B2k C6k D8k 6曲線具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則曲線上相應(yīng)于的一段弧長(zhǎng)為（ ） A B C D （二）填空題 1由曲線y=cosx和直線 所圍圖形的面積為 2對(duì)數(shù)螺線自到的一段弧所圍平面圖形的面積為 3由曲線圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 4曲線相應(yīng)于區(qū)間0，上的一段弧的長(zhǎng)度為 5曲線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 6函數(shù)在區(qū)間-2，4上的平均值為 （三）解答題1 求由曲線所圍圖形的面積2求c的值（c0），使兩曲線與所圍圖形的面積為3如圖627，設(shè)函數(shù)求：（1）t取何值時(shí)，圖中陰影部分的面積S1與S2之和最大？（2）t取何值時(shí)，圖中陰影部分的面積S1與S2之和最??？4設(shè)平面圖形式由及所圍成，求：（1） 此平面圖形的面積（2） 此平面圖形分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 5設(shè)有一直徑為8m的半球形水池，盛滿水，若將池中的水抽干，問至少需做多少功？6利用定積分證明，半徑為的球體的體積為自測(cè)題（B）（一）選擇題1 曲線與所圍成的圖形的面積為（ ） A B C D 2曲線及該曲線的過原點(diǎn)的切線和軸的負(fù)半軸所圍成的平面圖形的面積為（ ） A B C D 3曲線與軸所為圖形的面積可表示為（ ） A BC D4由和軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為（ ） A B C D 5擺線的一拱與軸圍成的平面圖形，繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為（ ） A B C D 6一個(gè)半圓形的水池半徑為R，池內(nèi)盛滿了水，則把池內(nèi)的水抽出所做的功與把水全部抽出所做的功之比為（ ） A B C D （二）填空題1由曲線圍成的平面圖形的面積為 2由所圍成的圖形，繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 3拋物線與直線圍成的平面圖形的面積為 4 曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 5曲線的全長(zhǎng)為 6由直線與拋物線包圍的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 （三）解答題1求由曲線和直線所圍圖形的面積2過拋物線上一點(diǎn)做切線，問為何值時(shí)所做的切線與拋物線所圍成的圖形面積最??？計(jì)算該最小值3試求拋物線在點(diǎn)（1，1）處的切線與拋物線自身及軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積4求曲線所圍成的圖形公共部分的面積5在橢圓繞長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)生成的橢球中，沿長(zhǎng)軸方向打一圓孔，如果剩余部分的體積是橢球體積的一半，則孔的直徑是多少？6邊長(zhǎng)為的矩形薄片，與液面成角沉于液體內(nèi)，長(zhǎng)邊平行于液面而位于深處，設(shè)，液體的比重為，試求薄片每面所受的壓力7如圖6-2-5所示，在曲線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A(1，c)處作其法線，今將由該法線及曲線與軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周證明時(shí)旋轉(zhuǎn)體體積最小參考答案練習(xí)題1（1）A （2）B （3）B （4）C （5）C （6）B （7）D （8）C （9）A （10）D2 （1） 2； （2）； （3） ； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）9408kN3 （1） ； （2） 1； （3） ； （4） 4 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5）； （6）； （7）； （8）1 52 6 7 8 910 11 12 13（1）； （2）； （3）； （4）14 151 16略 1718 19 20 21（1） ； （2） 22略 23 24 2526 27 28 29略30提示 ：將橢圓方程化為參數(shù)方程，分別導(dǎo)出兩條曲線的長(zhǎng)度，即可證明 31 05J 321641173kJ 33 342005kN3516464kN 36 37提示：建立以中垂線為y軸，細(xì)桿為x軸的平面直角坐標(biāo)系，將電荷受到的力分解為x軸和y軸方向的分力由對(duì)稱性，x軸