全國高中數(shù)學聯(lián)賽天津賽區(qū)預賽試題.doc

內(nèi)裝訂線學校:_姓名：_班級：_考號：_外裝訂線絕密啟用前2016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽天津賽區(qū)預賽試題試卷副標題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號一二三總分得分注意事項：1答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1函數(shù)fx=sin2x+cos2x的最小正周期為( )A 2 B C 2 D 42方程2x-5+3x-7+5x-11=20152016共有( )個實數(shù)根A 0 B 1 C 2 D 大于或等于33設0ay B x=y C xy的情形,也有x0.則所有滿足上述要求的a組成的集合為( )A (-,5 B 1,4C 1,7 D 1,56設函數(shù)fx的定義域是(,+)對于下列四個命題:(1)若fx為奇函數(shù),則ffx也為奇函數(shù);(2)若fx為周期函數(shù),則ffx也為周期函數(shù);(3)若fx為單調(diào)遞減函數(shù),則ffx為單調(diào)遞增函數(shù);(4)若方程ffx=x有實根,則方程fx=x也有實根,其中,正確的命題共有( )個A 1 B 2 C 3 D 4第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題7橢圓x2+ky2=1與雙曲線x24-y25=1有相同的準線.則k=_.8已知正三棱錐的側(cè)面是面積為1的直角三角形則該正三棱錐的體積為_.9已知ABC的周長為20,內(nèi)切圓的半徑為3,BC=7.則tanA的值為_.10甲、乙兩名學生在五門課程中進行選修,他們共同選修的課程恰為一門且甲選修課程的數(shù)量多于乙.則甲、乙滿足上述條件的選課方式的種數(shù)為_.11已知凸n邊形n個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)并且互不相等,最大內(nèi)角的度數(shù)為最小內(nèi)角的度數(shù)的3倍.則n可以取到的最大值為_.12設向量a1=1,5,a2=4,-1,a3=2,1, 1、2、3均為非負實數(shù),入+22+33=1.那么,1a1+2a2+3a3的最小值為_.評卷人得分三、解答題13已知正三棱錐P-ABC的體積為93,側(cè)面PAB與底面ABC所成二面角的平面角為60,D為線段AB上一點, AD=16AB,E為線段AC上一點, AE=16AC,F為線段PC的中點,平面DEF與線段PB交于點G.求四邊形DEFG的面積.14設a為實數(shù),兩條拋物線y=x2+x+a與x=4y2+3y+a有四個交點(1)求a的取值范圍;(2)證明這四個交點共圓,并求該圓圓心的坐標.15設fx=xx+1,令a1=12,a2=34,an+2=fan+fan+1n=1,2,.，證明:對任何正整數(shù)n,有f(32n-1)a2nf(322n-2).試卷第1頁，總2頁參考答案1C【解析】【詳解】注意到,fx=sin2x+cos2xfx=2sin2x+4.由函數(shù)圖像之間的關(guān)系,可知fx與gx=sin2x有相同的最小正周期.因為sinx的最小正周期為,所以, gx的最小正周期為2.2A【解析】【詳解】注意到,2x-5+3x-7+5x-112x-5+3x-7+11-5x=1 20152016故方程無解.3A【解析】【詳解】設公比q1.則b=aq3,u=aq,v=aq2,s=2a+b3=2+q3a3, t=a+2b3=1+2q3a3.由a1+q3-aq+q2=aq-1q2-10，s+t=a+bu+v，由2+2q3a31+2q3a3-q3a2=2a2q3-190.故sts+tuvu+vxy.4B【解析】【詳解】易知,PX=1=136,PX=2=436-136=336，PX=3=936-436=536，PX=4=1636-936=736，PX=5=2536-1636=936，PX=6=1-2536=1136，故EX=1136+2336+3536+ 4736+5936+61136 =16136=41736,與412最接近.5D【解析】【詳解】令fx=x2-2a-2x+a，下面分兩種情形討論：(1)fx沒有零點，此時,fx恒大于0,顯然滿足要求，由=4a-22-4a0a1,4.(2)fx有零點.此時,由函數(shù)圖像知fx滿足要求當且僅當：f10,f50,1a-25,且fa-20.由f10,f50a5;由1a-253a7;由fa-20a1或a4.取交集得a4,5.綜上,a1,44,5=1,5.6C【解析】【詳解】若fx)為奇函數(shù),則ff-x=f-fx=-ffx.故ffx也為奇函數(shù).因此,命題(1)正確.若fx為周期函數(shù),設T為fx的一個周期,則ffx+T=ffx.故ffx也為周期函數(shù)，因此,命題(2)正確.若fx為單調(diào)遞減函數(shù),則對任何xfy=ffxx,而f0=1,f1=0,知方程fx=x沒有實根.7167【解析】【詳解】雙曲線的準線方程為x=44+5=43,橢圓的準線方程為x=11-1k則11-1k=431-1k=916k=167823【解析】【詳解】記正三棱錐為P-ABC,其中, ABC為底面,因為正三棱錐的側(cè)面是面積為1的等腰直角三角形,所以, PA=PB=PC=2,且PC與側(cè)面PAB垂直.從而,該正三棱錐的體積為V=13SPABPC=23.93【解析】【詳解】設AB=x,AC=y由已知得x+y=13,SABC=103.由三角形面積公式及余弦定理得12xysinA=103,x2+y2-2xycosA=49.由x+y=13,得x2+y2=169-2xy代人式得：xy1+cosA=60.得sinA1+cosA=33tanA2=33tanA=2tanA21-tan2A2=3.10155【解析】【詳解】甲、乙共同選修的課程有C51種選法,其余的每一門課程甲、乙兩人至多只有一人選修.用a,b表示其余四門課程中甲選a門、乙選b門的情形.則由ab,知共有4,0,3,0,3,1,2,0,2,1,1,0六種情形.于是,甲、乙滿足上述條件的選課方式的種數(shù)為C51C44+C43+C43+C42+C42C21+C41=155.1120【解析】【詳解】設n個內(nèi)角的度數(shù)按從大到小的次序為：12n，則k=1nk=180n-2.由n個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)知1801=3n1177,n59.再由n個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)且互不相等知.k178-kk=1,2,.,n-1.故180n-2=k=1nk59+k=1n-1178-k=59+178n-1-12n-1n，n2+3n-4820，n-3+9+44822，結(jié)合n為正整數(shù),知n20.因為當n=20時,59+k=1n-1178-k=3251,180n-2=3240,所以,n個內(nèi)角的度數(shù)為177,176,160,148,59滿足要求.綜上,n可取到的最大值為20.1232【解析】【詳解】令b1=a1=1,5,b2=2a2=(8,-2)b3=3a3=6,3,P1=11,P2=22,P3=33，則1a1+2a2+3a3=p1b1+p2b2+p3b3.于是,問題轉(zhuǎn)化為在p1、p2、p3均為非負實數(shù),且p1+p2+p3=1的條件下,求p1b1+p2b2+p3b3的最小值.記O0,0,A1,5,B8,-2,C6,3, OP=p1b1+p2b2+p3b3.則p1、p2、p3均為非負實數(shù), p1+p2+p3=1的條件就對應于P為ABC內(nèi)(含邊界)一點.由圖形,知當P為線段AB上3,3這一點時, OPAB,此時,OP=p1b1+p2b2+p3b3取得最小值32.1357【解析】【詳解】設正ABC的邊長為x,中心為O,線段BC的中點為M,聯(lián)結(jié)AM、PM、PO.由AMBC,PMBC,知AMP為正三棱錐P-ABC的側(cè)面與底面所成二面角的平面角.于是,AMP=60.故PO=OMtanAMP=13AMtan60=1332x3=x2，V=13SABCPO=1334x2x2=324x2=93x=6.因為ADAB=AEAC=16,所以,DE/BD,DE=16BC=1.由DE/BC,知BC/平面DEF，從而,BC/FG，再由F為線段PC的中點,知G為PB的中點, FG=12BC=3.由BD=CE,BG=CF,ABP=ACP，BDgCEFDG=EF，由DE/BC/FG,知四邊形DEFG為等腰梯形,其底邊長分別為DE=1,FG=3.設DE的中點為K,FG的中點為L.則KL為等腰梯形DEFG的高.于是,點K在AM上,且AK=16AM,有KM=56AM=5633=532;點L在PM上,且PL=12PM,有LM=12PM=OM=13AM=1333=3.在KLM中,由余弦定理得：KL=KM2+LM2-2KMLMcos60=754+3-152=572.故S梯形DEFG=DE+FGKL2=57.14（1）-,-12-12-716；（2）證明見解析，圓心坐標為-38,18【解析】【詳解】(1)已知兩式相減整理得：x-2yx+2y+2=0x-2y=0或x+2y+2=0.由此知題中兩條拋物線有四個交點當且僅當方程組y=x+x+a,x-2y=0與y=x2+x+a,x+2y+2=0共有四組不同的實數(shù)解.這又等價于兩個方程組各有兩組不同的實數(shù)解且沒有公共解.由前一個方程組得2x2+x+2a=0,其判別式大于0,即1-16a0a0a-716因此,兩個方程組各有兩組不同的實數(shù)解當且僅當a-716.注意到,兩個方程組有公共解當且僅當：y=x2+x+a,x-2y=0,x+2y+2=0x=-1,y=-12,a=-12. 因此,a-,-12-12-716(2)由y=x2+x+a,得：4y=4x2+4x+4a.與x=4y2+3y+a相加并整理得：x+382+y-182=5a4+532.上式表明,這四個交點共圓,其圓心坐標為-38,18.15見解析【解析】【詳解】先用數(shù)學歸納法證明:對任何正整數(shù)n,有anan+1當n=1時,a1=1234=a2,命題成立.當n=2時,a2=341)時命題成立.則n=k+1時,由歸納假設知ak-1ak,akak+1，由fx=xx+1