期權(quán)基礎(chǔ)知識(shí)——期權(quán)定價(jià)PPT課件.ppt

期權(quán)定價(jià) 北京物資學(xué)院證券期貨教研室劉宏 劉宏liuhong393 1 可編輯 主要內(nèi)容 風(fēng)險(xiǎn)中性理論二叉樹定價(jià)模型Black Scholes模型三叉樹模型 2 一 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 例1 某股票當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格為100元 根據(jù)該股票的風(fēng)險(xiǎn)特征 其必要收益率為10 如果市場(chǎng)上的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為5 則1年后的股票價(jià)格應(yīng)該是110元還是105元 如果1年后股票的價(jià)格為110元 交易中以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入資金100元 買入該股票 與遠(yuǎn)期買入方約定按110元在1年后賣出 1年后 無(wú)論股票價(jià)格漲跌 該交易者均可將持有的股票按110元賣給遠(yuǎn)期買入者 然后將105遠(yuǎn)歸還資金貸出方 此策略可使交易者獲得5元的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利收益 所以 任何資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格應(yīng)該等于該資產(chǎn)的現(xiàn)值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益進(jìn)行投資的終值 或任何資產(chǎn)的現(xiàn)值等于該資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值 所以 用遠(yuǎn)期價(jià)格對(duì)資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)時(shí) 貼現(xiàn)率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 即定價(jià)中使用的貼現(xiàn)率與資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)無(wú)關(guān) 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理是指在對(duì)資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)時(shí) 資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)與其價(jià)格無(wú)關(guān) 或定價(jià)過(guò)程中不考慮資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn) 劉宏liuhong393 3 二 一 二叉樹模型的基本方法 1 標(biāo)的資產(chǎn)不支付紅利的歐式看漲期權(quán)的定價(jià) C c 已知標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)價(jià)為S和t時(shí)間后上升和下跌的價(jià)格Su和Sd 如圖1所示 期權(quán)價(jià)格關(guān)系如圖2所示 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r 求t時(shí)期到期 行權(quán)價(jià)格為K的該標(biāo)的的資產(chǎn)看漲期權(quán)的價(jià)格以及上漲概率 上漲和下跌因子u和d 或稱上升系數(shù)和下跌系數(shù)為 cu max Su k 0 cd max Sd k 0 T t 年后的遠(yuǎn)期價(jià)格應(yīng)該等于每一種遠(yuǎn)期價(jià)格可能性的加權(quán)平均 即期價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)的現(xiàn)值 劉宏liuhong393 4 標(biāo)的資產(chǎn)和期權(quán)價(jià)格上漲的概率P和看漲期權(quán)的價(jià)格 一 二 二叉樹模型的基本方法 1 標(biāo)的資產(chǎn)不支付紅利的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格 pu max k Su 0 pd max k Sd 0 U d Su sd 等指標(biāo)的計(jì)算與看漲期權(quán)相同 看跌期權(quán)的價(jià)格計(jì)算如下 劉宏liuhong393 5 二 三 二叉樹模型的基本方法 1 標(biāo)的資產(chǎn)支付紅利的歐式看漲期權(quán)的定價(jià) C c 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)收益率為q的紅利時(shí) 在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下 證券價(jià)格的增長(zhǎng)率應(yīng)該為r q 劉宏liuhong393 6 三 一 二叉樹模型的基本方法 2 標(biāo)的資產(chǎn)不支付紅利的歐式看漲和看跌期權(quán)的定價(jià) 策略A 購(gòu)買一張價(jià)格等于c的看漲期權(quán) 初始持倉(cāng)頭寸C 策略B 借入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)L 購(gòu)買 股價(jià)格等于S的股票 初始持倉(cāng)頭寸為L(zhǎng) S 到期時(shí) 無(wú)論價(jià)格漲跌 兩種策略的持倉(cāng)應(yīng)該等價(jià) 否則存在套利機(jī)會(huì) T t 年后期權(quán)到期時(shí) 股票價(jià)格上漲至Su或下跌至Sd 交易者的持倉(cāng)頭寸分別為 L 1 r T t Su Cu 1 L 1 r T t Sd Cd 2 或者是構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和 單位標(biāo)的股票多頭以及金額為L(zhǎng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)負(fù)債的組合 該組合的初始投資為0 有 L S c 0 同樣的 如果不存在套利機(jī)會(huì)的話 期末時(shí)該組合應(yīng)滿足 1 和 2 式 劉宏liuhong393 7 解 1 2 式可得 Su Sd Cu Cd L Cu Su 1 r T t 或L Cd Sd 1 r T t 將 和L值帶入看公式C L S中 即可得到看漲期權(quán)的價(jià)格 看跌期權(quán)的分析和計(jì)算于此相同 劉宏liuhong393 8 三 二 使用二叉樹基本方法 2 對(duì)支付連續(xù)紅利率資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價(jià) 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)收益率為q的紅利 t時(shí)期后期權(quán)到期時(shí) 股票價(jià)格上漲至Su或下跌至Sd 交易者的持倉(cāng)頭寸分別為 Le r q T t Su Cu 1 Le r q T t Sd Cd 2 解 1 2 式可得 Su Sd Cu Cd L Cu Su e r q T t 或L Cd Sd e r q T t 看漲期權(quán)的價(jià)格C L S 劉宏liuhong393 9 假設(shè)一年期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r 3 某公司股票的當(dāng)前價(jià)格是每股S 80元 一年后其價(jià)格有且僅有兩種可能的走勢(shì) 或者上漲至S u 120元 或者是下跌至S d 80元 現(xiàn)有以此股票為標(biāo)的的歐式看漲期權(quán) 執(zhí)行價(jià)格K為75元 一年后到期 請(qǐng)計(jì)算一年以后該股票價(jià)格上漲至120元和下跌至80元的概率以及該歐式看漲期權(quán)的價(jià)格 例2 使用二叉樹模型對(duì)看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià) 首先 1年后Cu 120 75 45元 Cd 80 75 5元 劉宏liuhong393 10 使用方法 1 C S L 100 72 8155 27 1845 使用方法 2 L 5 80 1 3 72 8155 劉宏liuhong393 11 假設(shè)目前的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為2 股票的價(jià)格是30元 一個(gè)時(shí)期 假設(shè)是1年 后 股票不支付紅利 股票要么上升到45元 要么下跌到20元 概率分別是p和 1 p 如果標(biāo)的股票的歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格是40元 計(jì)算該期權(quán)的價(jià)格 例3 使用二叉樹模型對(duì)看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià) U 45 30 1 5 d 20 30 2 3 1年后Cu 45 40 5元 Cd為20 40或0中的最大值 所以Cd 0 使用方法 1 C S L 30 5 3 9216 2 0784 使用方法 2 L 5 45 5 1 2 3 9216 劉宏liuhong393 12 一年期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r 3 股票的當(dāng)前價(jià)格是每股S 90元 一年后其價(jià)格有且僅有兩種可能的走勢(shì) 或者上漲至120元 或者下跌至80元 請(qǐng)計(jì)算1年后到期的執(zhí)行價(jià)格為100元的該股票歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格 例4 使用二叉樹模型對(duì)看漲和看跌期權(quán)進(jìn)行定價(jià) U 120 90 1 3333 d 80 90 0 8889 使用方法 1 劉宏liuhong393 13 使用方法 2 對(duì)例4中看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格 C S c Lc 90 0 5 38 835 6 615 p S p Lp 90 0 5 58 2524 13 2524 劉宏liuhong393 14 四 證券價(jià)格的樹型結(jié)構(gòu) 例5 已知樹的各節(jié)點(diǎn)數(shù)值 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為5 求各支點(diǎn)的概率 劉宏liuhong393 15 由公式 劉宏liuhong393 16 2020 1 15 17 例5中各節(jié)點(diǎn)概率如下 劉宏liuhong393 18 證券價(jià)格的樹型結(jié)構(gòu) 劉宏liuhong393 19 得到每個(gè)結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價(jià)格之后 求出各時(shí)期上漲和下跌的概率 就可以在二叉樹模型中采用倒推法 從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端T時(shí)刻開始往回倒推 便可據(jù)此為期權(quán)定價(jià) 如果是美式期權(quán) 就要在樹型結(jié)構(gòu)的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)上 比較在本時(shí)刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有到下一個(gè)時(shí)刻再執(zhí)行期權(quán) 選擇其中較大者作為本結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值 劉宏liuhong393 20 五 證券的收益率E r 和方差 2 Er E r s pu 1 p d s s p u d d 1 2 E r P u P u d d 1 2 1 P d P u d d 1 2 P 1 p u d 1 2 1 P 1 P u d 2 p 1 P u d 2 如果按年計(jì)算的方差為 2 T t 時(shí)間段的方差為 2 T t 標(biāo)準(zhǔn)差為 T t 0 5 u 1 T t 0 5d 1 T t 0 5 連續(xù)復(fù)利表達(dá)式如下 證券價(jià)格未來(lái)有兩種可能的情況下 收益率和方差的表達(dá)式如下 劉宏liuhong393 21 例6 某股票當(dāng)前價(jià)格為100美元 該股票歷史年波動(dòng)率經(jīng)測(cè)算為20 年無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是5 該股票無(wú)股息 六個(gè)月以后到期 執(zhí)行價(jià)格為102美元的該股票的歐式看跌期權(quán) 請(qǐng)用二叉樹模型對(duì)該期權(quán)進(jìn)行定價(jià) 以復(fù)利計(jì)算 Su 100 1 1519 115 19 Sd 100 0 8681 86 81 pu 0 pd 102 86 81 15 19 使用方法 1 C S L 100 0 5352 60 1257 6 61 使用方法 2 L pu Su et rf 0 0 5352 115 19 1 0253 60 1257 劉宏liuhong393 22 例7 將例6按兩步二叉樹模型對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià) 以復(fù)利計(jì)算 Su1 100 1 1052 110 52 Sd1 100 0 9048 90 48 兩步二叉樹涵蓋六個(gè)月的時(shí)間 因此每個(gè)步進(jìn)是涵蓋三個(gè)月時(shí)間 首先計(jì)算股票每個(gè)步進(jìn) 三個(gè)月 上升系數(shù)和下降系數(shù) Su1u2 110 52 1 1052 122 15 Su1d2 110 53 0 9048 100 Sd1d2 90 48 0 9048 81 87 在以上數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上 先計(jì)算最后一個(gè)步進(jìn)期權(quán)的價(jià)格 然后逐級(jí)計(jì)算 最終計(jì)算出起點(diǎn)期權(quán)的價(jià)格 即期權(quán)的現(xiàn)價(jià) 由于波動(dòng)率和時(shí)間間隔不變 所以各步進(jìn)的u d 相同 劉宏liuhong393 23 pd1d2 102 81 87 20 13 各步進(jìn)期權(quán)價(jià)格 pu1d2 pd1u2 102 100 2 根據(jù)第一步進(jìn)的期權(quán)價(jià)格和概率 得 P 5 16 pu1u2 0 劉宏liuhong393 24 例8 如果例6的期權(quán)為美式期權(quán) 請(qǐng)將按兩步二叉樹模型對(duì)該期權(quán)進(jìn)行定價(jià) 以復(fù)利計(jì)算 前面的計(jì)算相同 計(jì)算各節(jié)點(diǎn)期權(quán)價(jià)格后 比較行權(quán)還是繼續(xù)持有期權(quán)哪種策略更為有利 按有利的情形確定期權(quán)價(jià)格 劉宏liuhong393 25 例8 假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票 其當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)為50元 波動(dòng)率為每年40 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10 該股票5個(gè)月期的美式看跌期權(quán)協(xié)議價(jià)格為50元 求該期權(quán)的價(jià)值 Su 50 1 2946 64 73 Sd 50 0 7724 38 62 Cu 64 73 50 14 73 Cd 38 62 50 0 0 使用方法 1 C Su L 50 0 5642 20 901 7 31 使用方法 2 L Cu Su e T t r 14 73 64 73 0 5642 1 043 20 901 劉宏liuhong393 26 例8的另一種解法 為了構(gòu)造二叉樹 我們把期權(quán)有效期分為五段 每段一個(gè)月 等于0 0833年 可以算出 1 p 0 4924 劉宏liuhong393 27 股票價(jià)格與看漲期權(quán)二叉樹結(jié)構(gòu)圖 劉宏liuhong393 28 Su1 S u 50 1 1224 56 12 Sd1 S d 50 0 8909 44 55 Su1u2 Su1 u 56 12 1 1224 62 99 Sd1d2 Sd1 d 44 55 0 8909 39 36 Su1d2 Sd1u2 Su1 d 56 12 0 8909 44 55 1 1224 50 Su1u2u3 Su1u2 u 62 99 1 1224 70 7 Su1u2d3 Su1d2u3 Su1u2 d 62 99 0 8909 56 12 Su1d2d3 Su1d2 d Sd1d2u3 39 69 0 1224 49 9