第五屆啟智杯小學組參考答案與評分標準.doc

第5屆啟智杯數學思維及應用能力競賽(小學組)參考答案與評分標準1. 觀察如下幾個等式：（1）；（2）；（3）；你發(fā)現了什么規(guī)律？請據此寫出第100個式子。解：第n個式子的分母是前n個連續(xù)奇數之和，分子是第n+1至第2n個連續(xù)奇數之和，其等號右端都是3。6分第100個式子為 +4 = 10分2. 有一個2014位數，其從左到右第2、3位數字分別為2、3，第11、30、2014位數字分別為4、5、6. 如果其任何相鄰的五位數字之和全相等，請問該數的第一位數字是幾？全部2014位數字之和是多少？寫出結果，并說明分析過程。解：答案（4分）：第一位數字是4；全部2014位數字之和是8055. 4分分析過程（6分）：由于其任何相鄰的五位數字之和全相等，所以其中任何連續(xù)六位數 ，總有，因此，這說明，這2014位數每五位一循環(huán)。 +2 = 6分由于11、30、2014被5除余數分別為1、0、4，所以該數的第一位數字是4 （前五位分別是4、2、3、6、5） + 2 = 8分由于，所以這整個數為 + 2 = 10分3一個非零自然數，如果從左到右順讀和從右到左逆讀，都是一樣的，則這個數稱為“對稱數”，如4，55，171，4994，12321等都是對稱數，而332不是對稱數。那么全部非零自然數（從1開始）從小到大的第2014個對稱數是多少？寫出結果，并說明分析的過程。【參考答案】一位對稱數：有9個(19) ； 1分兩位對稱數：有9個(11，22，33，99)； + 1 = 2分三位對稱數：910=90個（11，22，99）： + 1 = 3分四位對稱數：910=90個（11，22，99）； +1 = 4分五位對稱數： 91010900個（11，22，99）； + 1= 5分六位對稱數：91010900個（11，22，99）.共有：9290290021998個。 + 1= 6分七位對稱數：前10個為1000001，1001001，1002001，1009001； + 1 = 7分接下來的是1010101，1011101，1012101，1013101，1014101，1015101， + 1 = 8分所以，第2014個對稱數為1015101. + 2 = 10分4把一張紙片裁剪成8份，稱第1次操作；取其中一張再把它裁剪成8份，稱第2次操作；如此繼續(xù)下去，能否經過若干次操作正好剪出2014張紙片？若不能，請說明理由；若能，則需要經過多少次操作？寫出結果，并說明分析的過程。解答：用表示第次操作后得到的紙片數。則，。 5分若能剪出2014張紙片，則，解得：不是整數，故不能經過若干次操作正好剪出2014張紙片。 + 5 = 10分 5. 有如下三組數： A組：，；B組：，；C組：，。從每一組中各取一個數，相乘得到一個乘積，求這140個乘積的總和是多少？寫出過程和結果?！緟⒖即鸢浮拷獯穑哼@140個乘積的總和 = （+）1+3+5+7+9）+） 4分=25 + 2 = 6分 = + 2 = 8分 =。 + 2 = 10分6如圖所示，五個圓中有部分的圓彼此相切（兩個圓有且只有唯一一個公共點稱兩個圓相切），且總共只有三種不同長度的直徑。若圖中陰影部分的面積和為7，求最大圓內空白處的總面積。第6題圖 【參考答案】解：由圖可知：這三種長度的不同的直徑從小圓到大圓的長度比為1:2:3. 2分即由小圓到大圓的面積之比為1:4:9. 設最小的圓的面積為，則另外2個圓的面積從小到大依次為，。 + 2 = 4分依題意圖中陰影部分的面積為：，。 + 3 = 7分則最大圓內空白處的總面積=（）。 + 3 = 10分7如圖所示，正方形和正方形邊長分別為和，：=2：5，若的面積是6，求的面積。第7題圖解答：由：=2：3， ， ， 2分如圖，連結BF，則,則，從而底為AC的三角形 與同底等高，從而面積相等，即：。 + 6 = 8分所以的面積=（）。 + 2 = 10分8通過折紙的手段將一個正方形的每邊兩等分（對折）、四等分（再對折）、八等分（再對折）等等，都是輕而易舉的（如圖，虛線為折痕）。請問，你能否在正方形的每邊四等分、八等分的基礎上，通過折紙將其每邊三等分、七等分？能否五等分呢？若能，請在圖中用虛線畫出你的折痕(用字母標出折痕經過的點)；若不能，請說明理由。第8題圖【參考答案】答案不唯一，合理即可。（只要給出一邊的一個等分點，即認可可以做出相應的等分）三等分、七等分、五等分分別占3、3、4分典型參考做法一（C、F、I分別為底邊的三等分點、七等分點、五等分點）：ABCDEFGHI典型參考做法二（圖形右邊被等分）：9請將1,2,3,4，.，11,12共12個數填入下列“井”字圖形的12個內，要求：（1）每個數都用一次；（2）每個“口”字四個角上四個數之和均相等，四條直線上四個數之和也相等，且等于各“口”字四個角上四個數之和。解：填法不唯一，寫出滿足條件的一種填法即可。以下是兩種填法，由此旋轉、反射的結果也對。要點：四個數之和必然是26.（五個口占5分，四條線占5分;全對給10分）10425118712613993528111271641010 明明的QQ號是由五個不同的數字組成的五位數，他把號碼口頭告訴了A、B、C三位同學?？上麄兌紱]有記住。A記的是 “23865”，B記的是 “32856”，C記的是 “56328”.如果ABC三人每個人記的五位數中，位置和數字均正確的都只有兩位，而且位置不相鄰，請問明明的QQ號是多少？寫出結果，并說明分析的過程?！緟⒖即鸢浮拷猓捍鸢福?分）：明明的QQ號是36825分析過程（6分）：把ABC三人記的結果排列如下：A 23865B 32856C 56328由于每個人記對了兩個位置，三個人共記對六個位置，總共五位數，由抽屜原理，必然有一位是兩個人都記對了，在三人說記的數中，只有百位數出現了兩個相同的數字8，故8是AB二人共同記對的數字； 3分于是C記對的只能是十位數和千位數2、6； + 1 = 4分B除了百位8外，還應記住了萬位3或個位6，但由于6已經在千位出現，不能重復，故B記對的數是萬位3； + 1 = 5分最后，A記對的是百位8和個位5. + 1 =6分11張老師、王老師、李老師三人的年齡為三個連續(xù)的自然數，其中張老師28歲，他們三人分別教數學、語文和英語。已經知道：（1）李老師比英語教師年齡大；（2）張老師和語文教師不同歲；（3）語文教師比王老師年齡小。請判斷一下，數學、語文、英語教師分別是誰？他們的年齡各為多大？寫出結果，并說明分析的過程。解：答案（4分，身份和年齡各2分）：數學、語文、英語教師分別是王老師、李老師、張老師；他們的年齡分別為30、29、28歲。分析過程（6分）：由（2）（3），王老師、張老師都不是語文老師，所以李老師是語文老師。 3分再由此結合（1）（3），李老師比王老師小、比英語老師大，說明王老師不是英語老師，所以王老師是數學老師，從而張老師是英語老師。 + 2= 5分因此三位老師的年齡順序是：王老師 李老師 張老師。所以張老師28、李老師29、王老師30. + 1 = 6分12某療養(yǎng)院共有100個床位，床號為1、2、3、.、100，依次分布在三種不同類型的病房內：單人房、雙人房、三人房（每種類型至少有1間，前幾間是單人房，接下來幾間是雙人房，最后幾間為三人房）。（1）最少有多少間房？（2）最多有多少間房？（3）如果其中有13個單人房，并且52、53號床在同一個房間，58、59號床不在同一個房間，問這里共有多少個房間？ 寫出結果，并說明分析的過程。解：答案（3分）：（1）最少35個房間；（2）最多97個房間；（3）這時安排49個房間。分析過程（7分）：（1）要使房間數最少，必須盡可能多安排三人房。單人、雙人各保留1個，安排三張床，其余97張床可以安排32個三人房，一個單人房。所以房間數為35個； 1分（2）要使房間數最多，必須盡可能多安排單人房。三人、雙人各保留1個，安排五張床，其余95張床可以安排95個單人房。所以房間數為97個； + 1= 2分（3）如果其中有13個單人房，安排第113號床，之后為雙人間，雙人間結束的房號一定是奇數； + 1= 3分由于最后的房間全部是3人間，100號是3的倍數加1，所以雙人間的最后一個房號又必須是3的倍數加1。所以雙人間的最后一個房號既是奇數，又是3的倍數加1，只能是6的倍數加1. + 2= 5分由于58、59號床不在同一個房間，說明58是某個房間結