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文檔簡介
2013年河南科技大學數學建模選拔賽承 諾 書我們仔細閱讀了數學建模選拔賽的規(guī)則.我們完全明白,在做題期間不能以任何方式(包括電話、電子郵件、網上咨詢等)與隊外的任何人研究、討論與選拔題有關的問題。我們知道,抄襲別人的成果是違反選拔規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料(包括網上查到的資料),必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾,嚴格遵守選拔規(guī)則,以保證選拔的公正、公平性。如有違反選拔規(guī)則的行為,我們將受到嚴肅處理。我們選擇的題號是(從A/B/C中選擇一項填寫): B 隊員簽名 :1. 李拴拴 2. 楊鑫鑫 3. 王文東 日期: 2013 年 8 月 19 日2013年河南科技大學數學建模競賽選拔編 號 專 用 頁評閱編號(評閱前進行編號):評閱記錄(評閱時使用):評閱人評分備注3 液滴高度問題摘要本文針對理想固體平面上一定接觸角的液滴高度隨體積變化的規(guī)律問題,從物理化學、流體力學和軟體物理學相關知識入手,綜合考慮潤濕情況、液滴重力、親水性等不同情況下的形變,根據楊氏方程方程、鋪展系數、拉普拉斯方程,通過對接觸角、表面張力、液體密度的分析,對受到不同主導力的液體建立了沾附潤濕下的球冠模型和鋪展?jié)櫇裣碌囊簤|模型,從大量的數學推導中最終得到飽和高度和極限高度的方程,并通過幾何原理推導出液滴直徑及飽和體積的表達式,取接觸角從到每間隔計算出對應的結果。在完全不浸潤的的情況下接觸角為,此時液滴在理想情況下為球體,考慮到重力作用導致的液滴向自身的塌陷,模型借用量綱分析建立了符合條件的準球體模型,并使用數學軟件繪制出其正規(guī)輪廓圖。這個模型最大的特色在于其考慮到表面張力與重力相互影響的問題,針對具體情況建立不同模型。但是,本文對問題考慮的全面性有待加強,如果可以綜合考慮空氣溫度,液體純凈度,固體表面粗糙度,模型將更加精確,從而得出更接近實際情況的結果。關鍵詞:接觸角 表面張力 飽和高度 極限高度 拉普拉斯定律一、問題重述 在物理實驗中,將不同體積的液滴放在一種固體材料的水平平面上,由楊氏方程可知:液滴與固體表面的接觸角不變。在測量液滴靜態(tài)下的高度時,發(fā)現隨著液滴體積的遞增,液滴的高度隨之遞增,直到液滴體積達到某個體積時,液滴高度達到最大值,此時的液滴體積即為飽和體積,對應的高度最大值稱為飽和高度。當液滴體積從飽和體積開始繼續(xù)遞增時,液滴的高度開始隨之遞減,且隨體積的增大遞減量越來越小,直到趨于不變,此時的液滴高度稱為極限高度。針對上述現象,需要針對不同液體,對一般的接觸角建立數學模型,得出出飽和高度、極限高度、液滴直徑及飽和體積的表達式,取接觸角從到每間隔計算出對應的飽和高度與極限高度的比、液滴直徑及飽和體積,將最終計算的結果均舍入到四位有效數字列表表示。當接觸角為時,用上述模型得出液滴飽和體積、飽和高度及其他相關參數,畫出此時的正規(guī)輪廓圖。 二、問題分析對于水平固體平面上的液滴,其形態(tài)主要受表面張力與重力作用,表面張力使液滴有聚合趨勢,重力作用使其向周圍擴散,從而形成一個類似于凸平透鏡的液墊。當表面張力占主導地位時,由于液滴在張力作用下總是力圖使自己保持最小的表面積,結合幾何知識,可將液滴模型表面可簡化為球冠狀。對于一定種類的液體,其接觸角與表面張力是定值,需要對接觸角、表面張力、及球冠尺寸等量的力學關系和幾何關系進行深入分析,從而得出球缺高度與與已知量的關系。對于問題一,可分為兩個階段,根據具體情況討論。第一階段分兩種情況:1、根據對問題的分析和生活常識的理解,得出當液體密度越大時(如水銀),分子間距越小,分子間作用力越強,表面張力和液滴內部凝聚力越強,越容易形成球缺,因此在達到飽和體積前將其視為球缺,建立模型求解。此外,由于氫鍵存在,水和低濃度水溶液溶液分子間作用力較大,也使用該模型求解。2、當液體密度較小時,相對應表面張力較小,重力作用起主導作用,此時液滴由于重力作用向下塌陷形成液墊,可以根據勢能關系、鋪展系數等建立模型。第二階段:液體達到飽和體積后,可以從拉普拉斯定律入手考慮,結合熱力學和流體力學相關知識建立模型,求得極限高度。對于問題二、三,在問題一建立三個模型的基礎上,得出直徑與飽和體積的表達式,用matlab寫出運算程序,將接觸角從到每間隔代入計算,并驗證可行性與特殊角度的準確性。并以此計算為時的相關參數,從而畫出此時飽和體積下液滴的正規(guī)輪廓圖。三、條件假設 1、固體材料表面為理想表面。 2、固體材料表面絕對水平,與海平面重合。 3、液滴絕對純凈。 4、溫度始終保持室溫20攝氏度。 5、壓力始終保持一個標準大氣壓。 6、重力加速度取9.78m/s。 7、實驗環(huán)境絕對純凈且無風。4、 符號說明 : 接觸角 : 潤濕功 S : 鋪展系數 : 固氣界面自由能 : 液氣界面自由能 : 固液界面自由能 : 表面張力 A : 接觸面積 G : 表面吉布斯自由能 R : 球缺半徑 : 標準大氣壓 : 液滴內部壓強 : 壓強差 E : 能量 : 飽和高度 : 極限高度 W : 重力勢能 e : 液墊厚度(飽和高度) : 液體密度 5、 模型建立對于放在理想固體材料水平面上的液滴,當液滴種類一定時,由楊氏方程可知:液滴與固體表面的接觸角不變。這種固體與氣體接觸面被液體與固體接觸面取代的現象叫潤濕。根據接觸角不同,潤濕效果不同,一般可分為三類:即沾附潤濕、浸濕與鋪展?jié)櫇?,其沾附功、浸濕功、鋪展系數與液滴的各項屬性息息相關。其中沾附功:鋪展系數,分別是固氣、液氣、固液界面自由能,其意義是液體增加單位表面積時所需的能量。根據功能關系,界面張力在單位距離所做的功與界面能量變化量相等,因此液體界面張力與界面自由能在數值上相等。當液滴達到最大高度時處于平衡狀態(tài),接觸角一定,滿足楊氏方程:液滴表面張力及接觸角示意圖增加液體體積,由于張力作用相對于重力起主要作用,液滴高度隨之增加,直到液滴達到飽和體積,高度隨之達到最高,即飽和高度。體積繼續(xù)遞增,重力開始起主要作用,液滴高度開始遞減,且遞減量越來越少,直到達到極限高度。根據液滴高度變化的實際情況和基本公理,結合潤濕概念,考慮到重力與張力相互影響作用,需要建立三個模型。在液滴達到飽和體積前,若張力起主導作用,將液滴表面視為球冠建立模型一,即球冠模型;若重力起主導作用,將液滴視為液墊建立模型二,即液墊模型;在液滴達到飽和體積后根據拉普拉斯方程建立模型三。模型一(球冠模型):對于體積較小,密度較大的液滴,張力起主導作用。根據熱力學第二定律,定溫定壓下自發(fā)過程的方向使吉布斯函數趨于減?。?,表面吉布斯函數,故 (1-1);由(1)式可知:在一定溫度T、壓強P下,當恒定時,表面積A趨于自動縮小。因此,在通常情況下,液體總是趨向于使自己保持最小的表面積。根據幾何學原理,當物體體積一定時,球體的表面積最小,因此在沒有外力影響的情況下,液體總是是趨向于形成球體。 考慮一個半徑為R的球缺,由于整個表面都受到表面張力的作用,使得液體輕微地向自身塌縮以控制液滴內部的壓強,大于大氣壓強,這涉及描述壓強與張力的平衡關系,為了在這種幾何狀態(tài)下計算表面張力,假設液滴半徑增加量為,那么液滴表面積將增加,于是表面能的增量為,它相應于表面張力所做的功,由此可推得,界面受到兩個力的作用:一個是作用于其表面上的內外壓差;另一個是表面張力。此二力的平衡導致了對于球狀液滴的拉普拉斯定律:;由圖像中的幾何關系可得: ;另由拉普拉斯定律可得: (3);聯立(2)(3)兩式可得: ;固液接觸面的壓力為: ;由平衡條件可得, ;整理可得飽和高度: ;另,球缺公式可表示為:;液滴直徑可表示為:。模型二(液墊模型):當對體積較小,密度較小的液體,重力起主導作用。此時液墊的形狀除去邊緣部分幾乎是扁平的,這是因為楊氏條件迫使液體與固體以一個角度相連接。液墊的厚度是由兩個因素相互競爭的結果決定的:一個是重力,它力圖減小液墊的厚度;另一個是表面張力,他在部分浸潤區(qū)起著阻礙鋪展的作用。液滴鋪展足夠大時,液墊邊緣可忽略,此時其面積為A,由此可得其表面能為-SA,液墊厚度為e,則其重力為,重力的微分方程為: (2-1)對方程(2-1)兩邊積分可得液墊的重力勢能: 即 (2-2)于是,能量E可寫成: (2-3)液墊的體積為:V=Ae,由此可得: ;將A代人方程(2-3)可得: ;液滴達到飽和體積后系統能量達到平衡,E取極小值;將上式整理得: (2-4);由楊氏方程和鋪展系數聯立可得:,即;將S帶入式(2-4)得:;定義毛細長度 ;帶入上式可得:模型三(拉普拉斯):1使用拉普拉斯定律對任意表面一般表達式推導出。為確定表面上某一點的曲率,先選取在該點與表面相切的平面上的兩個相互垂直的方向,過此二方向且垂直于切面的兩個平面分別與表面相交于兩條曲線,然后測量出這兩條曲線在該點的曲率值。于是表面在該點的總曲率等于上述二曲率值之和,與同切面上的兩方向的選取無關。如果在切平面上旋轉此二方向,當兩個曲率之一達到極大值時,另一個曲率必定為極小值。這就定義了該點的兩個主曲率,而主曲率正是模型需要的量。這里用和分別表示曲面上給定點的兩個主曲率半徑??紤]到具有任意曲率的界面元的面積可表示為,界面元應取得足夠小,使得在整個面元上可將曲率半徑和視為常數。采取球面情況的推理方法計算穿過這一小界面元所伴隨的壓強躍變。如果沿邊界的法線方向將面積元移動,那么長度和將分別變?yōu)椋?; ;經過此次移動所得到界面元的面積: ;精確到的一次項,可表示為: ;移動引起表面能的改變,表示為:;等于張力經此移動所做的功:(為作用做面元上的表面張力)于是可以推導出: ;表面張力和壓強的平衡可寫成:;這里為大氣壓,為變化后的大氣壓強。由以上公式可達推得:;2、需要對極限高度表達式進行推導。由普遍形式的拉普拉斯定律,液體受表面張力作用的壓力可表示為:;在水平面上,當液層面積充分大時,將充分大,上式可表示為: (3-1);根據圖像,由幾何學知識得: ;將代人(3-1)式可得: ;有流體靜力學壓強公式得到: ;由平衡條件得: ;將上式整理得出極限高度表達式:。 模型四(準球模型):對于一個接觸角為180度的液球,由于其完全不浸潤,設想構造一個這樣的液球:先將疏水粉末和水混合在一起,得到一種水藏在里面而粉末留在表面的液狀物,粉末因其疏水性不能進入里面。再將此液狀物移到支持物體上,所形成的液球便于支持物表面呈180度。在液球只存在表面張力的理想狀態(tài)下,由問題1的分析我們知道它必然是一個絕對球形。然而事實上,半徑為R的液滴因為重力的原因,其重心會略微下降,它不是完全的球形。在此我們采用量綱分析法分析其形狀。在弱變形的極限情況()下,接觸尺寸l與重心下降量的幾何關系為受壓的液滴的能量包含兩項,即負的重力項和正的表面張力項,表面相對于球形時略微增大些。表面增大主要是由下面的事實所引起的,即液滴頂部一帶的球冠體積對應的半徑略有增加。這一頂部體積增量的數量級為,因而產生了半徑的增量以及表面的增量。液滴受壓導致的能量改變在量綱上相等極小化將給出和l的平衡值,即這里表示毛細長度,上式是液滴在接觸角為180度的準球形表達式。6、 模型求解1、利用上述模型,分別計算接觸角從到每間隔對應的飽和高度與極限高度的比、液滴直徑及飽和體積,將計算結果填入下表:高度比直徑飽和體積高度比直徑飽和體積1.414e+0003.985e+0001.090e+0001.414e+0002.571e+0005.860e+0001.414e+0003.939e+0002.138e+0001.414e+0002.294e+0005.689e+0001.414e+0003.864e+0003.107e+0001.414e+0002.000e+0005.441e+0001.414e+0003.759e+0003.963e+0001.414e+0001.690e+0005.152e+0001.414e+0003.625e+0004.678e+0001.414e+0001.368e+0004.857e+0001.414e+0003.464e+0005.236e+0001.414e+0001.035e+0004.588e+0001.414e+0003.277e+0005.627e+0001.414e+0006.946e-0014.374e+0001.414e+0003.064e+0005.853e+0001.414e+0003.486e-0014.236e+0001.414e+0002.828e+0005.924e+0001.414e+0002.449e-0164.189e+0002、 根據上述模型和結果數據,可以得到在范圍內飽和高度、極限高度的變化趨勢圖如下:3、 根據上述模型和結果數據,可以得到在范圍內液滴直徑變化趨勢圖如下: 4、根據上述模型和結果數據,可以得到在范圍內液滴飽和體積變化趨勢圖如下:7、 模型檢驗該模型可采用實驗法檢驗。實驗目的:得到液滴密度、表面張力、接觸角與液滴高度的關系。實驗器材:光滑實驗臺,JC2000C1靜滴接觸角測量儀,界面張力測量儀,刻度尺,平行光源,凸透鏡,清水,酒精,水銀。實驗原理:對于一定種類的液體,密度可以通過查閱資料獲得;使用實驗儀器可以測出液滴在實驗臺上靜止時的接觸角和表面張力。使用投影法使液滴輪廓投影到屏幕上,通過凸透鏡對液滴的像進行放大處理,使用刻度尺測量放大的像,再用物理光學中相關知識可求的液滴原始尺寸。對水和酒精,需考慮其對光的散射現象,可根據散射角的變化測其高度。實驗過程:設定液滴的初始體積,通過毛細管和光滑石英針浸水使液滴體積緩慢增加,增加量始終保持等量(0.05微升),此時液滴體積可近視為一次線性關系。對水、酒精、水銀三種液體分別重復上述過程,測得其在體積增加過程中各個階段的高度,分析比較高度的最大值(飽和高度)和最小值(極限高度)。模型檢驗:將水、酒精、水銀對應的接觸角實際值代入模型,通過運算得出幾種液體的飽和高度、極限高度和液滴體積,與實驗中測量得到的相應量進行比較,并分析誤差。8、 模型評價這個模型的優(yōu)點在于其針對不同密度、不同浸潤類型的液體,分別建立了使用性能較強的模型,并采用理想假設,簡化了運算的過程又不失準確,只需一些簡單易測量的量,便可得出不同情況下問題的解。而且在建模過程中,本文以數學知識為主,借鑒了包含物理化學、流體力學、熱力學、軟物質學等多學科的研究成果,是學科交融的結晶。模型的不足之處還有許多,比如未能考慮固體表面粗糙度對方位角的影響,未能計算空氣溫度和液體純凈度對表面力的影響,沒有考慮空氣流速及空氣濕度對液滴造成的影響,沒有具體測量地區(qū)重力加速度,且在對重力對液體的作用分析時不夠具體與精確。以上原因導致計算結果存在一定誤差,在實際問題的應用中存在片面性。9、 模型推廣1、考慮表面粗糙度對方位角的影響粗糙度對接觸角的影響可用溫策爾方程表示:cos/cos,式中為粗糙因子,是表面粗糙化后的真實表面積與表觀表面積之比。為在粗糙化表面上的接觸角。為在平滑表面上的接觸角。當90時,表面愈粗糙,值愈??;而當90時,表面粗糙化使變大。例如石英玻璃的粗糙因子可近似視為0.94,使用楊氏方程計算出理想情況下的接觸角,則在實際試驗過程中接觸角將發(fā)生變化,其變化關系為:2、考慮溫度對液體表面張力的影響在實際問題中,液體的表面張力受溫度影響而變化。液體表面張力關系的研究雖然已經進行了近一個世紀,單至今為止尚未有明確定論。在此過程中建立了一些經驗公式,在一定范圍內可代表實驗的結果。其中最簡單的經驗公式是: 其中,T為絕對溫度,和為隨體系改變的經驗常數。10、 參考文獻(1)陸坤權 劉寄星,軟物質物理學導論,北京大學出版社,2004年。(2)傅獻彩,物理化學,高等教育出版社,1990年。(3)王曉東 彭曉峰 王補宣,動態(tài)潤濕與動態(tài)接觸角研究進展,應用基礎與工程科學學報,2003年9月。(4)沈維道 童鈞耕,工程熱力學,高等教育出版社,2007年。(5)李外郎 顧惕人,潤濕現象與接觸角,精細化工,1986年。11、 附錄1、實際接觸角與理想接觸角圖形輸出程序CA=0.1:0.1:1.8;CA1=0.1:0.1:1.8;a=0.94; for i=1:18 CA(i)=i*10; CA1(i)=acos(cos(pi*i/18)*a)*180/pi endplot(CA,-r.)hold on plot(CA1,-g.)title(實際接觸角(綠)與理想接觸角(紅)的比較圖) 2、直徑、飽和體積計算以及各個圖形輸出程序Hmax=0.1:0.1:1.8;D=0.1:0.1:1.8;V=0.1:0.1:1.8;CA=0.1:0.1:1.8;B=0.1:0.1:1.8;Hmin=1:0.1:1.8;for i=1:18 CA(i)=i*10; %CA為接觸角(contact angel) P=i*pi/18; B(i)=sqrt(2); Hmin(i)=sqrt(1-1*cos(i*pi/18);
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