液滴高度問題.doc

2013年河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模選拔賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了數(shù)學(xué)建模選拔賽的規(guī)則.我們完全明白，在做題期間不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人研究、討論與選拔題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反選拔規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守選拔規(guī)則，以保證選拔的公正、公平性。如有違反選拔規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們選擇的題號(hào)是（從A/B/C中選擇一項(xiàng)填寫）： B 隊(duì)員簽名 ：1. 李拴拴 2. 楊鑫鑫 3. 王文東 日期： 2013 年 8 月 19 日2013年河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽選拔編 號(hào) 專 用 頁評(píng)閱編號(hào)（評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：評(píng)閱記錄（評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注3 液滴高度問題摘要本文針對(duì)理想固體平面上一定接觸角的液滴高度隨體積變化的規(guī)律問題，從物理化學(xué)、流體力學(xué)和軟體物理學(xué)相關(guān)知識(shí)入手，綜合考慮潤(rùn)濕情況、液滴重力、親水性等不同情況下的形變，根據(jù)楊氏方程方程、鋪展系數(shù)、拉普拉斯方程，通過對(duì)接觸角、表面張力、液體密度的分析，對(duì)受到不同主導(dǎo)力的液體建立了沾附潤(rùn)濕下的球冠模型和鋪展?jié)櫇裣碌囊簤|模型，從大量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)中最終得到飽和高度和極限高度的方程，并通過幾何原理推導(dǎo)出液滴直徑及飽和體積的表達(dá)式，取接觸角從到每間隔計(jì)算出對(duì)應(yīng)的結(jié)果。在完全不浸潤(rùn)的的情況下接觸角為，此時(shí)液滴在理想情況下為球體，考慮到重力作用導(dǎo)致的液滴向自身的塌陷，模型借用量綱分析建立了符合條件的準(zhǔn)球體模型，并使用數(shù)學(xué)軟件繪制出其正規(guī)輪廓圖。這個(gè)模型最大的特色在于其考慮到表面張力與重力相互影響的問題，針對(duì)具體情況建立不同模型。但是，本文對(duì)問題考慮的全面性有待加強(qiáng)，如果可以綜合考慮空氣溫度，液體純凈度，固體表面粗糙度，模型將更加精確，從而得出更接近實(shí)際情況的結(jié)果。關(guān)鍵詞：接觸角 表面張力 飽和高度 極限高度 拉普拉斯定律一、問題重述 在物理實(shí)驗(yàn)中，將不同體積的液滴放在一種固體材料的水平平面上，由楊氏方程可知：液滴與固體表面的接觸角不變。在測(cè)量液滴靜態(tài)下的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)隨著液滴體積的遞增，液滴的高度隨之遞增，直到液滴體積達(dá)到某個(gè)體積時(shí)，液滴高度達(dá)到最大值，此時(shí)的液滴體積即為飽和體積，對(duì)應(yīng)的高度最大值稱為飽和高度。當(dāng)液滴體積從飽和體積開始繼續(xù)遞增時(shí)，液滴的高度開始隨之遞減，且隨體積的增大遞減量越來越小，直到趨于不變，此時(shí)的液滴高度稱為極限高度。針對(duì)上述現(xiàn)象，需要針對(duì)不同液體，對(duì)一般的接觸角建立數(shù)學(xué)模型，得出出飽和高度、極限高度、液滴直徑及飽和體積的表達(dá)式，取接觸角從到每間隔計(jì)算出對(duì)應(yīng)的飽和高度與極限高度的比、液滴直徑及飽和體積，將最終計(jì)算的結(jié)果均舍入到四位有效數(shù)字列表表示。當(dāng)接觸角為時(shí)，用上述模型得出液滴飽和體積、飽和高度及其他相關(guān)參數(shù)，畫出此時(shí)的正規(guī)輪廓圖。 二、問題分析對(duì)于水平固體平面上的液滴，其形態(tài)主要受表面張力與重力作用，表面張力使液滴有聚合趨勢(shì)，重力作用使其向周圍擴(kuò)散，從而形成一個(gè)類似于凸平透鏡的液墊。當(dāng)表面張力占主導(dǎo)地位時(shí)，由于液滴在張力作用下總是力圖使自己保持最小的表面積，結(jié)合幾何知識(shí)，可將液滴模型表面可簡(jiǎn)化為球冠狀。對(duì)于一定種類的液體，其接觸角與表面張力是定值，需要對(duì)接觸角、表面張力、及球冠尺寸等量的力學(xué)關(guān)系和幾何關(guān)系進(jìn)行深入分析，從而得出球缺高度與與已知量的關(guān)系。對(duì)于問題一，可分為兩個(gè)階段，根據(jù)具體情況討論。第一階段分兩種情況：1、根據(jù)對(duì)問題的分析和生活常識(shí)的理解，得出當(dāng)液體密度越大時(shí)（如水銀），分子間距越小，分子間作用力越強(qiáng)，表面張力和液滴內(nèi)部凝聚力越強(qiáng)，越容易形成球缺，因此在達(dá)到飽和體積前將其視為球缺，建立模型求解。此外，由于氫鍵存在，水和低濃度水溶液溶液分子間作用力較大，也使用該模型求解。2、當(dāng)液體密度較小時(shí)，相對(duì)應(yīng)表面張力較小，重力作用起主導(dǎo)作用，此時(shí)液滴由于重力作用向下塌陷形成液墊，可以根據(jù)勢(shì)能關(guān)系、鋪展系數(shù)等建立模型。第二階段：液體達(dá)到飽和體積后，可以從拉普拉斯定律入手考慮，結(jié)合熱力學(xué)和流體力學(xué)相關(guān)知識(shí)建立模型，求得極限高度。對(duì)于問題二、三，在問題一建立三個(gè)模型的基礎(chǔ)上，得出直徑與飽和體積的表達(dá)式，用matlab寫出運(yùn)算程序，將接觸角從到每間隔代入計(jì)算，并驗(yàn)證可行性與特殊角度的準(zhǔn)確性。并以此計(jì)算為時(shí)的相關(guān)參數(shù)，從而畫出此時(shí)飽和體積下液滴的正規(guī)輪廓圖。三、條件假設(shè) 1、固體材料表面為理想表面。 2、固體材料表面絕對(duì)水平，與海平面重合。 3、液滴絕對(duì)純凈。 4、溫度始終保持室溫20攝氏度。 5、壓力始終保持一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。 6、重力加速度取9.78m/s。 7、實(shí)驗(yàn)環(huán)境絕對(duì)純凈且無風(fēng)。4、 符號(hào)說明 : 接觸角 ： 潤(rùn)濕功 S ： 鋪展系數(shù) ： 固氣界面自由能 ： 液氣界面自由能 ： 固液界面自由能 ： 表面張力 A : 接觸面積 G ： 表面吉布斯自由能 R ： 球缺半徑 ： 標(biāo)準(zhǔn)大氣壓 ： 液滴內(nèi)部壓強(qiáng) ： 壓強(qiáng)差 E ： 能量 ： 飽和高度 ： 極限高度 W ： 重力勢(shì)能 e : 液墊厚度(飽和高度） ： 液體密度 5、 模型建立對(duì)于放在理想固體材料水平面上的液滴，當(dāng)液滴種類一定時(shí)，由楊氏方程可知：液滴與固體表面的接觸角不變。這種固體與氣體接觸面被液體與固體接觸面取代的現(xiàn)象叫潤(rùn)濕。根據(jù)接觸角不同，潤(rùn)濕效果不同，一般可分為三類：即沾附潤(rùn)濕、浸濕與鋪展?jié)櫇?，其沾附功、浸濕功、鋪展系?shù)與液滴的各項(xiàng)屬性息息相關(guān)。其中沾附功：鋪展系數(shù)，分別是固氣、液氣、固液界面自由能，其意義是液體增加單位表面積時(shí)所需的能量。根據(jù)功能關(guān)系，界面張力在單位距離所做的功與界面能量變化量相等，因此液體界面張力與界面自由能在數(shù)值上相等。當(dāng)液滴達(dá)到最大高度時(shí)處于平衡狀態(tài)，接觸角一定，滿足楊氏方程：液滴表面張力及接觸角示意圖增加液體體積，由于張力作用相對(duì)于重力起主要作用，液滴高度隨之增加，直到液滴達(dá)到飽和體積，高度隨之達(dá)到最高，即飽和高度。體積繼續(xù)遞增，重力開始起主要作用，液滴高度開始遞減，且遞減量越來越少，直到達(dá)到極限高度。根據(jù)液滴高度變化的實(shí)際情況和基本公理，結(jié)合潤(rùn)濕概念，考慮到重力與張力相互影響作用，需要建立三個(gè)模型。在液滴達(dá)到飽和體積前，若張力起主導(dǎo)作用，將液滴表面視為球冠建立模型一，即球冠模型；若重力起主導(dǎo)作用，將液滴視為液墊建立模型二，即液墊模型；在液滴達(dá)到飽和體積后根據(jù)拉普拉斯方程建立模型三。模型一（球冠模型）：對(duì)于體積較小，密度較大的液滴，張力起主導(dǎo)作用。根據(jù)熱力學(xué)第二定律，定溫定壓下自發(fā)過程的方向使吉布斯函數(shù)趨于減?。?，表面吉布斯函數(shù)，故 (1-1)；由（1）式可知：在一定溫度T、壓強(qiáng)P下，當(dāng)恒定時(shí)，表面積A趨于自動(dòng)縮小。因此，在通常情況下，液體總是趨向于使自己保持最小的表面積。根據(jù)幾何學(xué)原理，當(dāng)物體體積一定時(shí)，球體的表面積最小，因此在沒有外力影響的情況下，液體總是是趨向于形成球體。 考慮一個(gè)半徑為R的球缺，由于整個(gè)表面都受到表面張力的作用，使得液體輕微地向自身塌縮以控制液滴內(nèi)部的壓強(qiáng)，大于大氣壓強(qiáng)，這涉及描述壓強(qiáng)與張力的平衡關(guān)系，為了在這種幾何狀態(tài)下計(jì)算表面張力，假設(shè)液滴半徑增加量為，那么液滴表面積將增加，于是表面能的增量為，它相應(yīng)于表面張力所做的功，由此可推得，界面受到兩個(gè)力的作用：一個(gè)是作用于其表面上的內(nèi)外壓差；另一個(gè)是表面張力。此二力的平衡導(dǎo)致了對(duì)于球狀液滴的拉普拉斯定律：；由圖像中的幾何關(guān)系可得： ；另由拉普拉斯定律可得： (3)；聯(lián)立（2）（3）兩式可得： ；固液接觸面的壓力為： ；由平衡條件可得， ；整理可得飽和高度： ；另，球缺公式可表示為：；液滴直徑可表示為：。模型二（液墊模型）：當(dāng)對(duì)體積較小，密度較小的液體，重力起主導(dǎo)作用。此時(shí)液墊的形狀除去邊緣部分幾乎是扁平的，這是因?yàn)闂钍蠗l件迫使液體與固體以一個(gè)角度相連接。液墊的厚度是由兩個(gè)因素相互競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果決定的：一個(gè)是重力，它力圖減小液墊的厚度；另一個(gè)是表面張力，他在部分浸潤(rùn)區(qū)起著阻礙鋪展的作用。液滴鋪展足夠大時(shí)，液墊邊緣可忽略，此時(shí)其面積為A，由此可得其表面能為-SA，液墊厚度為e，則其重力為，重力的微分方程為： (2-1)對(duì)方程（2-1）兩邊積分可得液墊的重力勢(shì)能： 即 （2-2）于是，能量E可寫成： （2-3）液墊的體積為：V=Ae，由此可得： ；將A代人方程（2-3）可得： ；液滴達(dá)到飽和體積后系統(tǒng)能量達(dá)到平衡，E取極小值；將上式整理得： （2-4）；由楊氏方程和鋪展系數(shù)聯(lián)立可得：，即；將S帶入式（2-4）得：；定義毛細(xì)長(zhǎng)度 ；帶入上式可得：模型三（拉普拉斯）：1使用拉普拉斯定律對(duì)任意表面一般表達(dá)式推導(dǎo)出。為確定表面上某一點(diǎn)的曲率，先選取在該點(diǎn)與表面相切的平面上的兩個(gè)相互垂直的方向，過此二方向且垂直于切面的兩個(gè)平面分別與表面相交于兩條曲線，然后測(cè)量出這兩條曲線在該點(diǎn)的曲率值。于是表面在該點(diǎn)的總曲率等于上述二曲率值之和，與同切面上的兩方向的選取無關(guān)。如果在切平面上旋轉(zhuǎn)此二方向，當(dāng)兩個(gè)曲率之一達(dá)到極大值時(shí)，另一個(gè)曲率必定為極小值。這就定義了該點(diǎn)的兩個(gè)主曲率，而主曲率正是模型需要的量。這里用和分別表示曲面上給定點(diǎn)的兩個(gè)主曲率半徑。考慮到具有任意曲率的界面元的面積可表示為，界面元應(yīng)取得足夠小，使得在整個(gè)面元上可將曲率半徑和視為常數(shù)。采取球面情況的推理方法計(jì)算穿過這一小界面元所伴隨的壓強(qiáng)躍變。如果沿邊界的法線方向?qū)⒚娣e元移動(dòng)，那么長(zhǎng)度和將分別變?yōu)椋?； ；經(jīng)過此次移動(dòng)所得到界面元的面積： ；精確到的一次項(xiàng)，可表示為： ；移動(dòng)引起表面能的改變，表示為：；等于張力經(jīng)此移動(dòng)所做的功：（為作用做面元上的表面張力）于是可以推導(dǎo)出： ；表面張力和壓強(qiáng)的平衡可寫成：；這里為大氣壓，為變化后的大氣壓強(qiáng)。由以上公式可達(dá)推得：；2、需要對(duì)極限高度表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)。由普遍形式的拉普拉斯定律，液體受表面張力作用的壓力可表示為：；在水平面上，當(dāng)液層面積充分大時(shí)，將充分大，上式可表示為： (3-1)；根據(jù)圖像，由幾何學(xué)知識(shí)得： ；將代人（3-1）式可得： ；有流體靜力學(xué)壓強(qiáng)公式得到： ；由平衡條件得： ；將上式整理得出極限高度表達(dá)式：。 模型四（準(zhǔn)球模型）：對(duì)于一個(gè)接觸角為180度的液球，由于其完全不浸潤(rùn)，設(shè)想構(gòu)造一個(gè)這樣的液球：先將疏水粉末和水混合在一起，得到一種水藏在里面而粉末留在表面的液狀物，粉末因其疏水性不能進(jìn)入里面。再將此液狀物移到支持物體上，所形成的液球便于支持物表面呈180度。在液球只存在表面張力的理想狀態(tài)下，由問題1的分析我們知道它必然是一個(gè)絕對(duì)球形。然而事實(shí)上，半徑為R的液滴因?yàn)橹亓Φ脑颍渲匦臅?huì)略微下降，它不是完全的球形。在此我們采用量綱分析法分析其形狀。在弱變形的極限情況（）下，接觸尺寸l與重心下降量的幾何關(guān)系為受壓的液滴的能量包含兩項(xiàng)，即負(fù)的重力項(xiàng)和正的表面張力項(xiàng)，表面相對(duì)于球形時(shí)略微增大些。表面增大主要是由下面的事實(shí)所引起的，即液滴頂部一帶的球冠體積對(duì)應(yīng)的半徑略有增加。這一頂部體積增量的數(shù)量級(jí)為,因而產(chǎn)生了半徑的增量以及表面的增量。液滴受壓導(dǎo)致的能量改變?cè)诹烤V上相等極小化將給出和l的平衡值，即這里表示毛細(xì)長(zhǎng)度，上式是液滴在接觸角為180度的準(zhǔn)球形表達(dá)式。6、 模型求解1、利用上述模型，分別計(jì)算接觸角從到每間隔對(duì)應(yīng)的飽和高度與極限高度的比、液滴直徑及飽和體積，將計(jì)算結(jié)果填入下表：高度比直徑飽和體積高度比直徑飽和體積1.414e+0003.985e+0001.090e+0001.414e+0002.571e+0005.860e+0001.414e+0003.939e+0002.138e+0001.414e+0002.294e+0005.689e+0001.414e+0003.864e+0003.107e+0001.414e+0002.000e+0005.441e+0001.414e+0003.759e+0003.963e+0001.414e+0001.690e+0005.152e+0001.414e+0003.625e+0004.678e+0001.414e+0001.368e+0004.857e+0001.414e+0003.464e+0005.236e+0001.414e+0001.035e+0004.588e+0001.414e+0003.277e+0005.627e+0001.414e+0006.946e-0014.374e+0001.414e+0003.064e+0005.853e+0001.414e+0003.486e-0014.236e+0001.414e+0002.828e+0005.924e+0001.414e+0002.449e-0164.189e+0002、 根據(jù)上述模型和結(jié)果數(shù)據(jù)，可以得到在范圍內(nèi)飽和高度、極限高度的變化趨勢(shì)圖如下：3、 根據(jù)上述模型和結(jié)果數(shù)據(jù)，可以得到在范圍內(nèi)液滴直徑變化趨勢(shì)圖如下： 4、根據(jù)上述模型和結(jié)果數(shù)據(jù)，可以得到在范圍內(nèi)液滴飽和體積變化趨勢(shì)圖如下：7、 模型檢驗(yàn)該模型可采用實(shí)驗(yàn)法檢驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)?zāi)康模旱玫揭旱蚊芏?、表面張力、接觸角與液滴高度的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)器材：光滑實(shí)驗(yàn)臺(tái)，JC2000C1靜滴接觸角測(cè)量?jī)x，界面張力測(cè)量?jī)x，刻度尺，平行光源，凸透鏡，清水，酒精，水銀。實(shí)驗(yàn)原理：對(duì)于一定種類的液體，密度可以通過查閱資料獲得；使用實(shí)驗(yàn)儀器可以測(cè)出液滴在實(shí)驗(yàn)臺(tái)上靜止時(shí)的接觸角和表面張力。使用投影法使液滴輪廓投影到屏幕上，通過凸透鏡對(duì)液滴的像進(jìn)行放大處理，使用刻度尺測(cè)量放大的像，再用物理光學(xué)中相關(guān)知識(shí)可求的液滴原始尺寸。對(duì)水和酒精，需考慮其對(duì)光的散射現(xiàn)象，可根據(jù)散射角的變化測(cè)其高度。實(shí)驗(yàn)過程：設(shè)定液滴的初始體積，通過毛細(xì)管和光滑石英針浸水使液滴體積緩慢增加，增加量始終保持等量（0.05微升），此時(shí)液滴體積可近視為一次線性關(guān)系。對(duì)水、酒精、水銀三種液體分別重復(fù)上述過程，測(cè)得其在體積增加過程中各個(gè)階段的高度，分析比較高度的最大值（飽和高度）和最小值（極限高度）。模型檢驗(yàn)：將水、酒精、水銀對(duì)應(yīng)的接觸角實(shí)際值代入模型，通過運(yùn)算得出幾種液體的飽和高度、極限高度和液滴體積，與實(shí)驗(yàn)中測(cè)量得到的相應(yīng)量進(jìn)行比較，并分析誤差。8、 模型評(píng)價(jià)這個(gè)模型的優(yōu)點(diǎn)在于其針對(duì)不同密度、不同浸潤(rùn)類型的液體，分別建立了使用性能較強(qiáng)的模型，并采用理想假設(shè)，簡(jiǎn)化了運(yùn)算的過程又不失準(zhǔn)確，只需一些簡(jiǎn)單易測(cè)量的量，便可得出不同情況下問題的解。而且在建模過程中，本文以數(shù)學(xué)知識(shí)為主，借鑒了包含物理化學(xué)、流體力學(xué)、熱力學(xué)、軟物質(zhì)學(xué)等多學(xué)科的研究成果，是學(xué)科交融的結(jié)晶。模型的不足之處還有許多，比如未能考慮固體表面粗糙度對(duì)方位角的影響，未能計(jì)算空氣溫度和液體純凈度對(duì)表面力的影響，沒有考慮空氣流速及空氣濕度對(duì)液滴造成的影響，沒有具體測(cè)量地區(qū)重力加速度，且在對(duì)重力對(duì)液體的作用分析時(shí)不夠具體與精確。以上原因?qū)е掠?jì)算結(jié)果存在一定誤差，在實(shí)際問題的應(yīng)用中存在片面性。9、 模型推廣1、考慮表面粗糙度對(duì)方位角的影響粗糙度對(duì)接觸角的影響可用溫策爾方程表示：cos/cos，式中為粗糙因子,是表面粗糙化后的真實(shí)表面積與表觀表面積之比。為在粗糙化表面上的接觸角。為在平滑表面上的接觸角。當(dāng)90時(shí),表面愈粗糙，值愈??；而當(dāng)90時(shí)，表面粗糙化使變大。例如石英玻璃的粗糙因子可近似視為0.94，使用楊氏方程計(jì)算出理想情況下的接觸角，則在實(shí)際試驗(yàn)過程中接觸角將發(fā)生變化，其變化關(guān)系為：2、考慮溫度對(duì)液體表面張力的影響在實(shí)際問題中，液體的表面張力受溫度影響而變化。液體表面張力關(guān)系的研究雖然已經(jīng)進(jìn)行了近一個(gè)世紀(jì)，單至今為止尚未有明確定論。在此過程中建立了一些經(jīng)驗(yàn)公式，在一定范圍內(nèi)可代表實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。其中最簡(jiǎn)單的經(jīng)驗(yàn)公式是： 其中，T為絕對(duì)溫度，和為隨體系改變的經(jīng)驗(yàn)常數(shù)。10、 參考文獻(xiàn)（1）陸坤權(quán) 劉寄星，軟物質(zhì)物理學(xué)導(dǎo)論，北京大學(xué)出版社，2004年。（2）傅獻(xiàn)彩，物理化學(xué)，高等教育出版社，1990年。（3）王曉東 彭曉峰 王補(bǔ)宣，動(dòng)態(tài)潤(rùn)濕與動(dòng)態(tài)接觸角研究進(jìn)展，應(yīng)用基礎(chǔ)與工程科學(xué)學(xué)報(bào)，2003年9月。（4）沈維道 童鈞耕，工程熱力學(xué)，高等教育出版社，2007年。（5）李外郎 顧惕人，潤(rùn)濕現(xiàn)象與接觸角，精細(xì)化工，1986年。11、 附錄1、實(shí)際接觸角與理想接觸角圖形輸出程序CA=0.1:0.1:1.8;CA1=0.1:0.1:1.8;a=0.94; for i=1:18 CA(i)=i*10; CA1(i)=acos(cos(pi*i/18)*a)*180/pi endplot(CA,-r.)hold on plot(CA1,-g.)title(實(shí)際接觸角（綠）與理想接觸角（紅）的比較圖) 2、直徑、飽和體積計(jì)算以及各個(gè)圖形輸出程序Hmax=0.1:0.1:1.8;D=0.1:0.1:1.8;V=0.1:0.1:1.8;CA=0.1:0.1:1.8;B=0.1:0.1:1.8;Hmin=1:0.1:1.8;for i=1:18 CA(i)=i*10; %CA為接觸角（contact angel） P=i*pi/18; B(i)=sqrt(2); Hmin(i)=sqrt(1-1*cos(i*pi/18);