【2012考研必備資料】數(shù)學三考研大綱.doc

【2012考研必備資料】考研數(shù)學三大綱全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學考試大綱數(shù)學三考試科目微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計試卷結構一、 總分試卷滿分為150分，考試時間180分鐘二、 內容比例微積分 約56 %線性代數(shù) 約22 %概率論與數(shù)理統(tǒng)計 約22 %三、 題型結構單項選擇題 8小題，每小題4分，共32分填空題 6小題，每小題4分，共24分解答題（包括證明題） 9小題，共94分 微積分一、函數(shù)、極限、連續(xù)考試內容函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的有界性、單調性、周期性和奇偶性，復合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質及其圖形，初等函數(shù)，函數(shù)關系的建立數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質，函數(shù)的左極限和右極限，無窮小量和無窮大量的概念及其關系，無窮小量的性質及無窮小量的比較，極限的四則運算，極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則，兩個重要極限： 函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點的類型，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質?？荚囈?理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應用問題的函數(shù)關系。2了解函數(shù)的有界性、單調性、周期性和奇偶性。3理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4掌握基本初等函數(shù)的性質及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。5了解數(shù)列極限和函數(shù)極限（包括左極限和右極限）的概念。6了解極限的性質與極限存在的兩個準則，掌握極限的四則運算法則，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。7理解無窮小量的概念和基本性質，掌握無窮小量的比較方法，了解無窮大量的概念及其無窮小量的關系。8理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)和右連續(xù)），會判斷函數(shù)間斷點的類型。9了解連續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質。二、一元函數(shù)微分學考試內容導數(shù)和微分的概念，導數(shù)的幾何意義和經(jīng)濟意義，函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系，平面曲線的切線與法線，導數(shù)和微分的四則運算，基本初等函數(shù)的導數(shù)，復合函數(shù)、反函數(shù)和隱函數(shù)的微分法，高階導數(shù)，一階微分形式的不變性，微分中值定理，洛必達（LHospital）法則，函數(shù)單調性的判別，函數(shù)的極值，函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線，函數(shù)圖形的描繪，函數(shù)的最大值與最小值考試要求1理解導數(shù)的概念及可導性與連續(xù)性之間的關系，了解導數(shù)的幾何意義與經(jīng)濟意義（含邊際與彈性的概念），會求平面曲線的切線方程和法線方程。2掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則及復合函數(shù)的求導法則，會求分段函數(shù)的導數(shù)，會求反函數(shù)與隱函數(shù)的導數(shù)。3了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù)。4了解微分的概念、導數(shù)與微分之間的關系以及一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。5理解羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理，了解泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy）中值定理，掌握這四個定理的簡單應用。6會用洛必達法則求極限。7掌握函數(shù)單調性的判別方法，了解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值、最大值和最小值的求法及其應用。8 會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間（a,b）內，設函數(shù)f(x)具有二階導數(shù)，當 時，f(x)的圖形是凹的；當 時，f(x)的圖形是凸的），會求函數(shù)圖形的拐點和漸近線。三、一元函數(shù)積分學考試內容原函數(shù)和不定積分的概念，不定積分的基本性質，基本積分公式，定積分的概念和基本性質，定積分中值定理，積分上限的函數(shù)及其導數(shù)，牛頓萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，反常（廣義）積分，定積分的應用考試要求1理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質和基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法與分部積分法。2了解定積分的概念和基本性質，了解定積分中值定理，理解積分上限的函數(shù)并會求它的導數(shù)，掌握牛頓萊布尼茨公式以及定積分的換元積分法和分部積分法。3會利用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積和函數(shù)的平均值，會利用定積分求解簡單的經(jīng)濟應用問題。4了解反常積分的概念，會計算反常積分。四、多元函數(shù)微積分考試內容多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義，二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質，多元函數(shù)偏導數(shù)的概念與計算，多元復合函數(shù)的求導法與隱函數(shù)求導法，二階偏導數(shù)，全微分，多元函數(shù)的極值和條件極值、最大值和最小值，二重積分的概念、基本性質和計算，無界區(qū)域上簡單的反常二重積分考試要求1了解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義。2了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質。3了解多元函數(shù)偏導數(shù)與全微分的概念，會求多元復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)，會求全微分，會求多元隱函數(shù)的偏導數(shù)。4了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決簡單的應用問題。5了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），了解無界區(qū)域上較簡單的反常二重積分并會計算。五、無窮級數(shù)考試內容常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念，收斂級數(shù)的和的概念，級數(shù)的基本性質與收斂的必要條件，幾何級數(shù)與P級數(shù)及其收斂性，正項級數(shù)收斂性的判別法，任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂，交錯級數(shù)與萊布尼茨定理，冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域，冪級數(shù)的和函數(shù)，冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的基本性質，簡單冪級數(shù)和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式考試要求1了解級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和的概念。2了解級數(shù)的基本性質及級數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級數(shù)及P級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法。3了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系，了解交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。4會求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域。5了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的基本性質（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分），會求簡單冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。6了解 ， ， ， 與 的麥克勞林（Maclaurin）展開式。六、常微分方程與差分方程考試內容常微分方程的基本概念，變量可分離的微分方程，齊次微分方程，一階線性微分方程，線性微分方程解的性質及解的結構定理，二階常系數(shù)齊次線性微分方程及簡單的非齊次線性微分方程，差分與差分方程的概念，差分方程的通解與特解，一階常系數(shù)線性差分方程，微分方程的簡單應用考試要求1了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。2掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法。3會解二階常系數(shù)齊次線性微分方程。4了解線性微分方程解的性質及解的結構定理，會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。5了解差分與差分方程及其通解與特解等概念。6了解一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法。7會用微分方程求解簡單的經(jīng)濟應用問題。 線性代數(shù)一、行列式考試內容行列式的概念和基本性質，行列式按行（列）展開定理考試要求1了解行列式的概念，掌握行列式的性質。2會應用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式。二、矩陣考試內容矩陣的概念，矩陣的線性運算，矩陣的乘法，方陣的冪，方陣乘積的行列式，矩陣的轉置，逆矩陣的概念和性質，矩陣可逆的充分必要條件，伴隨矩陣，矩陣的初等變換，初等矩陣，矩陣的秩，矩陣的等價，分塊矩陣及其運算考試要求1理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣的定義及性質，了解對稱矩陣、反對稱矩陣及正交矩陣等的定義和性質。2掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質。3理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。4了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法。5了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運算法則。三、向量考試內容向量的概念，向量的線性組合與線性表示，向量組的線性相關與線性無關，向量組的極大線性無關組，等價向量組，向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩之間的關系，向量的內積，線性無關向量組的正交規(guī)范化方法考試要求1了解向量的概念，掌握向量的加法和數(shù)乘運算法則。2理解向量的線性組合與線性表示、向量組線性相關、線性無關等概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法。3理解向量組的極大線性無關組的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩。4理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關系。5了解內積的概念，掌握線性無關向量組正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）方法。四、線性方程組考試內容線性方程組的克萊姆（Crammer）法則，線性方程組有解和無解的判定，齊次線性方程組的基礎解系和通解，非齊次線性方程組的解與相應的齊次線性方程組（導出組）的解之間的關系，非齊次線性方程組的通解 考試要求1會用克萊姆法則解線性方程組。2掌握非齊次線性方程組有解和無解的判定方法。3理解齊次線性方程組的基礎解系的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法。4理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念。5掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。五、矩陣的特征值和特征向量考試內容矩陣的特征值和特征向量的概念、性質，相似矩陣的概念及性質，矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣，實對稱矩陣的特征值和特征向量及相似對角矩陣考試要求1理解矩陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法。2理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質，了解矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法。3 掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質。六、二次型考試內容二次型及其矩陣表示，合同變換與合同矩陣，二次型的秩，慣性定理，二次型的標準形和規(guī)范形，用正交變換和配方法化二次型為標準形，二次型及其矩陣的正定性考試要求1了解二次型的概念，會用矩陣形式表示二次型，了解合同變換和合同矩陣的概念。2了解二次型的秩的概念，了解二次型的標準形、規(guī)范形等概念，了解慣性定理，會用正交變換和配方法化二次型為標準形。3理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法。概率論與數(shù)理統(tǒng)計一、隨機事件和概率考試內容隨機事件與樣本空間，事件的關系與運算，完備事件組，概率的概念，概率的基本性質，古典型概率，幾何型概率，條件概率，概率的基本公式，事件的獨立性，獨立重復試驗考試要求1了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件的關系及運算。2理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質，會計算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯（Bayes）公式等。3理解事件的獨立性的概念，掌握用事件獨立性進行概率計算；理解獨立重復試驗的概念，掌握計算有關事件概率的方法。二、隨機變量及其分布考試內容隨機變量，隨機變量分布函數(shù)的概念及其性質，離散型隨機變量的概率分布，連續(xù)型隨機變量的概率密度，常見隨機變量的分布，隨機變量函數(shù)的分布考試要求1理解隨機變量的概念，理解分布函數(shù)的概念及性質，會計算與隨機變量相聯(lián)系的事件的概率。2理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握01分布、二項分布B（n,p）、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布 及其應用。3掌握泊松定理的結論和應用條件，會用泊松分布近似表示二項分布。4理解連續(xù)型隨機變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布U（a,b）、正態(tài)分布 、指數(shù)分布及其應用，其中參數(shù)為 （ ）的指數(shù)分布 的概率密度為5會求隨機變量函數(shù)的分布。三、多維隨機變量的分布考試內容多維隨機變量及其分布函數(shù)，二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布，二維連續(xù)型隨機變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度，隨機變量的獨立性和不相關性，常見二維隨機變量的分布，兩個及兩個以上隨機變量的函數(shù)的分布考試要求1理解多維隨機變量的分布函數(shù)的概念和基本性質。2理解二維離散型隨機變量的概率分布和二維連續(xù)型隨機變量的概率密度，掌握二維隨機變量的邊緣分布和條件分布。3理解隨機變量的獨立性和不相關性的概念，掌握隨機變量相互獨立的條件，理解隨機變量的不相關性與獨立性的關系。4掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布 ，理解其中參數(shù)的意義。5會根據(jù)兩個隨機變量的聯(lián)合分布求其函數(shù)的分布，會根據(jù)多個相互獨立隨機變量的聯(lián)合分布求其函數(shù)的分布。四、隨機變量的數(shù)字特征考試內容隨機變量的數(shù)學期望（均值）、方差、標準差及其性質，隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望，切比雪夫（Chebyshew）不等式，矩、協(xié)方差、相關系數(shù)及其性質考試要求1理解隨機變量數(shù)字特征（數(shù)學期望、方差、標準差、矩、協(xié)方差、相關系數(shù)）的概念，會運用數(shù)字特征的基本性質，并掌握常用分布的數(shù)字特征。2會求隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望。3了解切比雪夫不等式。五、大數(shù)定律和中心極限定理考試內容 切比雪夫大數(shù)定律，伯努利（Bernoulli）大數(shù)定律，辛欽（Khinchine）大數(shù)定律，棣莫弗拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理，列維林德伯格（Levy-Lindberg）定理考試要求1了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律（獨立同分布隨機變量序列的大數(shù)定律）。2了解棣莫弗拉普拉斯中心極限定理（二項分布以正態(tài)分布為極限分布）、列維林德伯格中心極限定理（獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理），并會用相關定理近似計算有關隨機事件的概率。六、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念考試內容總體，個體，簡