數(shù)學(xué)建模算法全收錄第24章 時(shí)間序列模型

-280- 第二十四章 時(shí)間序列模型 時(shí)間序列是按時(shí)間順序排列的、隨時(shí)間變化且相互關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)序列。分析時(shí)間序列的方法構(gòu)成數(shù)據(jù)分析的一個(gè)重要領(lǐng)域，即時(shí)間序列分析。 時(shí)間序列根據(jù)所研究的依據(jù)不同，可有不同的分類。 1按所研究的對(duì)象的多少分，有一元時(shí)間序列和多元時(shí)間序列。 2按時(shí)間的連續(xù)性可將時(shí)間序列分為離散時(shí)間序列和連續(xù)時(shí)間序列兩種。 3按序列的統(tǒng)計(jì)特性分，有平穩(wěn)時(shí)間序列和非平穩(wěn)時(shí)間序列。如果一個(gè)時(shí)間序列的概率分布與時(shí)間 t 無(wú)關(guān)，則稱該序列為嚴(yán)格的（狹義的）平穩(wěn)時(shí)間序列。如果序列的一、二階矩存在，而且對(duì)任意時(shí)刻 t 滿足： （ 1）均值為常數(shù) （ 2）協(xié)方差為時(shí)間間隔 的函數(shù)。 則稱該序列為寬平穩(wěn)時(shí)間序列，也叫廣義平穩(wěn)時(shí)間序列。我們以后所研究的時(shí)間序列主要是寬平穩(wěn)時(shí)間序列。 4按時(shí)間序列的分布規(guī)律來(lái)分，有高斯型時(shí)間序列和非高斯型時(shí)間序列。 1 確定性時(shí)間序列分析方法概述 時(shí)間序列預(yù)測(cè)技術(shù)就是通過(guò)對(duì)預(yù)測(cè)目標(biāo)自身時(shí)間序列的處理，來(lái)研究其變化趨勢(shì)的。一個(gè)時(shí)間序列往往是以下幾類變化形式的疊加或耦合。 （ 1）長(zhǎng)期趨勢(shì)變動(dòng)。它是指時(shí)間序列朝著一定的方向持續(xù)上升或下降，或停留在某一水平上的傾向，它反映了客觀事物的主要變化趨勢(shì)。 （ 2）季節(jié)變動(dòng)。 （ 3）循環(huán)變動(dòng)。通常是指周期為一年以上，由非季節(jié)因素引起的漲落起伏波形相似的波動(dòng)。 （ 4）不規(guī)則變動(dòng)。通常它分為突然變動(dòng)和隨機(jī)變動(dòng)。 通常用tT 表示長(zhǎng)期趨勢(shì)項(xiàng)，tS 表示季節(jié)變動(dòng)趨勢(shì)項(xiàng)，tC 表示循環(huán)變動(dòng)趨勢(shì)項(xiàng)，tR表示隨機(jī)干擾項(xiàng)。常見的確定性時(shí)間序列模型有以下幾種類型： （ 1）加法模型 tttttRCSTy += （ 2）乘法模型 tttttRCSTy = （ 3）混合模型 ttttRSTy += tttttRCTSy += 其中ty 是觀測(cè)目標(biāo)的觀測(cè)記錄， 0)( =tRE ，22)( =tRE 。 如果在預(yù)測(cè)時(shí)間范圍以內(nèi)，無(wú)突然變動(dòng)且隨機(jī)變動(dòng)的方差2 較小，并且有理由認(rèn)為過(guò)去和現(xiàn)在的演變趨勢(shì)將繼續(xù)發(fā)展到未來(lái)時(shí)，可用一些經(jīng)驗(yàn)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)。 2 移動(dòng)平均法 移動(dòng)平均法是根據(jù)時(shí)間序列資料逐漸推移，依次計(jì)算包含一定項(xiàng)數(shù)的時(shí)序平均數(shù)，以反映長(zhǎng)期趨勢(shì)的方法。當(dāng)時(shí)間序列的數(shù)值由于受周期變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)的影響，起伏較大，不易顯示出發(fā)展趨勢(shì)時(shí)，可用移動(dòng)平均法，消除這些因素的影響，分析、預(yù)測(cè)序 -281-列的長(zhǎng)期趨勢(shì)。 移動(dòng)平均法有簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法，加權(quán)移動(dòng)平均法，趨勢(shì)移動(dòng)平均法等。 2.1 簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法 設(shè)觀測(cè)序列為Tyy ,1L，取移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù) TN 。一次簡(jiǎn)單移動(dòng)平均值計(jì)算公式為： )(111)1(+=NttttyyyNML )(1)(1)(1)1(11 NtttNttNttyyNMyyNyyN+=+=L （ 1） 當(dāng)預(yù)測(cè)目標(biāo)的基本趨勢(shì)是在某一水平上下波動(dòng)時(shí)，可用一次簡(jiǎn)單移動(dòng)平均方法建立預(yù)測(cè)模型： )(11)1(1 +=NttttyyNMyL，L,1, += NNt ， （ 2） 其預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差為： NTyySTNttt=+= 12)(， （ 3） 最近 N 期序列值的平均值作為未來(lái)各期的預(yù)測(cè)結(jié)果。一般 N 取值范圍：2005 N 。當(dāng)歷史序列的基本趨勢(shì)變化不大且序列中隨機(jī)變動(dòng)成分較多時(shí)， N 的取值應(yīng)較大一些。否則 N 的取值應(yīng)小一些。在有確定的季節(jié)變動(dòng)周期的資料中，移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù)應(yīng)取周期長(zhǎng)度。選擇最佳 N 值的一個(gè)有效方法是，比較若干模型的預(yù)測(cè)誤差。預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差最小者為好。 例 1 某企業(yè) 1 月 11 月份的銷售收入時(shí)間序列如表 1 示。試用一次簡(jiǎn)單滑動(dòng)平均法預(yù)測(cè)第 12 月份的銷售收入。 表 1 企業(yè)銷售收入 月份 t 1 2 3 4 5 6 銷售收入ty 533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0 月份 t 7 8 9 10 11 銷售收入ty 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7 解： 分別取 5,4 = NN 的預(yù)測(cè)公式 4321)1(1+=tttttyyyyy ， 11,5,4L=t 54321)2(1+=ttttttyyyyyy ， 11,5L=t 當(dāng) 4=N 時(shí)，預(yù)測(cè)值 993.6)1(12=y ，預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為 150.5411)(1152)1(1=tttyyS 當(dāng) 5=N 時(shí)，預(yù)測(cè)值 182.4)2(12=y ，預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為 -282- 958.2511)(1162)2(2=tttyyS 計(jì)算結(jié)果表明， 4=N 時(shí)，預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)誤差較小，所以選取 4=N 。預(yù)測(cè)第 12 月份的銷售收入為 993.6。 計(jì)算的 Matlab 程序如下： clc,clear y=533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7； m=length(y)； n=4,5； %n 為移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù) for i=1:length(n) %由于 n 的取值不同， yhat 的長(zhǎng)度不一致，下面使用了細(xì)胞數(shù)組 for j=1:m-n(i)+1 yhati(j)=sum(y(j:j+n(i)-1)/n(i)； end y12(i)=yhati(end)； s(i)=sqrt(mean(y(n(i)+1:m)-yhati(1:end-1).2)； end y12,s 簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法只適合做近期預(yù)測(cè)，而且是預(yù)測(cè)目標(biāo)的發(fā)展趨勢(shì)變化不大的情況。如果目標(biāo)的發(fā)展趨勢(shì)存在其它的變化， 采用簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法就會(huì)產(chǎn)生較大的預(yù)測(cè)偏差和滯后。 2.2 加權(quán)移動(dòng)平均法 在簡(jiǎn)單移動(dòng)平均公式中，每期數(shù)據(jù)在求平均時(shí)的作用是等同的。但是，每期數(shù)據(jù)所包含的信息量不一樣，近期數(shù)據(jù)包含著更多關(guān)于未來(lái)情況的信心。因此，把各期數(shù)據(jù)等同看待是不盡合理的，應(yīng)考慮各期數(shù)據(jù)的重要性，對(duì)近期數(shù)據(jù)給予較大的權(quán)重，這就是加權(quán)移動(dòng)平均法的基本思想。 設(shè)時(shí)間序列為L(zhǎng)L,21 tyyy ；加權(quán)移動(dòng)平均公式為 NNtNttwwwwywywywM+=+LL211221， Nt （ 4） 式中twM 為 t 期加權(quán)移動(dòng)平均數(shù)；iw 為1+ity 的權(quán)數(shù)，它體現(xiàn)了相應(yīng)的ty 在加權(quán)平均數(shù)中的重要性。 利用加權(quán)移動(dòng)平均數(shù)來(lái)做預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)公式為 twtMy =+1 （ 5） 即以第 t 期加權(quán)移動(dòng)平均數(shù)作為第 1+t 期的預(yù)測(cè)值。 例 2 我國(guó) 1979 1988 年原煤產(chǎn)量如表 2 所示，試用加權(quán)移動(dòng)平均法預(yù)測(cè) 1989 年的產(chǎn)量。 表 2 我國(guó)原煤產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)及加權(quán)移動(dòng)平均預(yù)測(cè)值表 年份 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 原煤產(chǎn)量ty 6.35 6.20 6.22 6.66 7.15 7.89 8.72 8.94 9.28 9.8 三年加權(quán)移動(dòng)平均預(yù)測(cè)值 6.235 6.4367 6.8317 7.4383 8.1817 8.6917 9.0733 -283-相對(duì)誤差（） 6.38 9.98 13.41 14.7 8.48 6.34 7.41 解 取 1,2,3321= www ，按預(yù)測(cè)公式 12323211+=+ttttyyyy 計(jì)算三年加權(quán)移動(dòng)平均預(yù)測(cè)值，其結(jié)果列于表 2 中。 1989 年我國(guó)原煤產(chǎn)量的預(yù)測(cè)值為（億噸） 48.9694.828.928.931989=+=y 這個(gè)預(yù)測(cè)值偏低，可以修正。其方法是：先計(jì)算各年預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的相對(duì)誤差，例如1982 年為 %38.666.6235.666.6=將相對(duì)誤差列于表 2 中，再計(jì)算總的平均相對(duì)誤差。 %5.9%100)44.5889.521(%1001 =ttyy由于總預(yù)測(cè)值的平均值比實(shí)際值低 %5.9 ，所以可將 1989 年的預(yù)測(cè)值修正為 4788.10%5.9148.9=計(jì)算的 MATLAB 程序如下： y=6.35 6.20 6.22 6.66 7.15 7.89 8.72 8.94 9.28 9.8； w=1/6；2/6；3/6； m=length(y)；n=3； for i=1:m-n+1 yhat(i)=y(i:i+n-1)*w； end yhat err=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1)./y(n+1:m) T_err=1-sum(yhat(1:end-1)/sum(y(n+1:m) y1989=yhat(end)/(1-T_err) 在加權(quán)移動(dòng)平均法中，tw 的選擇，同樣具有一定的經(jīng)驗(yàn)性。一般的原則是：近期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)大，遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)小。至于大到什么程度和小到什么程度，則需要按照預(yù)測(cè)者對(duì)序列的了解和分析來(lái)確定。 2.3 趨勢(shì)移動(dòng)平均法 簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法和加權(quán)移動(dòng)平均法，在時(shí)間序列沒有明顯的趨勢(shì)變動(dòng)時(shí)，能夠準(zhǔn)確反映實(shí)際情況。但當(dāng)時(shí)間序列出現(xiàn)直線增加或減少的變動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，用簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法和加權(quán)移動(dòng)平均法來(lái)預(yù)測(cè)就會(huì)出現(xiàn)滯后偏差。因此，需要進(jìn)行修正，修正的方法是作二次移動(dòng)平均，利用移動(dòng)平均滯后偏差的規(guī)律來(lái)建立直線趨勢(shì)的預(yù)測(cè)模型。這就是趨勢(shì)移動(dòng)平均法。 一次移動(dòng)的平均數(shù)為 -284- )(111)1(+=NttttyyyNML 在一次移動(dòng)平均的基礎(chǔ)上再進(jìn)行一次移動(dòng)平均就是二次移動(dòng)平均，其計(jì)算公式為 )(1)(1)1()1()2(1)1(1)1()2(NtttNtttMMNMMMNM+=+=L （ 6） 下面討論如何利用移動(dòng)平均的滯后偏差建立直線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型。 設(shè)時(shí)間序列 ty 從某時(shí)期開始具有直線趨勢(shì)，且認(rèn)為未來(lái)時(shí)期也按此直線趨勢(shì)變化，則可設(shè)此直線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型為 TbayttTt+=+ ，L,2,1=T （ 7） 其中 t 為當(dāng)前時(shí)期數(shù)； T 為由 t 至預(yù)測(cè)期的時(shí)期數(shù)；ta 為截距；tb 為斜率。兩者又稱為平滑系數(shù)。 現(xiàn)在，我們根據(jù)移動(dòng)平均值來(lái)確定平滑系數(shù)。由模型（ 7）可知 ttya = tttbyy =1tttbyy 22= ttNtbNyy )1(1=+所以 tttttttttNttttbNyNbNNyNbNybyyNyyyM21)1(21)1()(11)1(=+=+=+=+LLL因此 tttbNMy21)1(= （ 8） 由式（ 7） ，類似式（ 8）的推導(dǎo)，可得 tttbNMy21)1(11=（ 9） 所以 tttttbMMyy =)1(1)1(1（ 10） 類似式（ 8）的推導(dǎo)，可得 tttbNMM21)2()1(= （ 11） 于是，由式（ 8）和式（ 11）可得平滑系數(shù)的計(jì)算公式為 =)(122)2()1()2()1(ttttttMMNbMMa（ 12） 例 3 我國(guó) 1965 1985 年的發(fā)電總量如表 3 所示，試預(yù)測(cè) 1986 年和 1987 年的發(fā)電總量。 -285-表 3 我國(guó)發(fā)電量及一、二次移動(dòng)平均值計(jì)算表 年份 t 發(fā)電總量 yt 一次移動(dòng)平均， N 6 二次移動(dòng)平均， N 61965 1 676 1966 2 825 1967 3 774 1968 4 716 1969 5 940 1970 6 1159 848.3 1971 7 1384 966.3 1972 8 1524 1082.8 1973 9 1668 1231.8 1974 10 1688 1393.8 1975 11 1958 1563.5 1181.1 1976 12 2031 1708.8 1324.5 1977 13 2234 1850.5 1471.9 1978 14 2566 2024.2 1628.8 1979 15 2820 2216.2 1792.8 1980 16 3006 2435.8 1966.5 1981 17 3093 2625 2143.4 1982 18 3277 2832.7 2330.7 1983 19 3514 3046 2530 1984 20 3770 3246.7 2733.7 1985 21 4107 3461.2 2941.2 解 由散點(diǎn)圖 1 可以看出，發(fā)電總量基本呈直線上升趨勢(shì)，可用趨勢(shì)移動(dòng)平均法來(lái)預(yù)測(cè)。 0 5 10 15 20 2550010001500200025003000350040004500圖 1 原始數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖 取 6=N ，分別計(jì)算一次和二次移動(dòng)平均值并列于表 3 中。 2.3461)1(21=M ， 2.2941)2(21=M 再由公式（ 12） ，得 3981.12)2(21)1(2121= MMa 208)(162)2(21)1(2121= MMb 于是，得 21=t 時(shí)直線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型為 TyT2081.398121+=+預(yù)測(cè) 1986 年和 1987 年的發(fā)電總量為 1.4192121221986=+yyy 1.4397221231987=+yyy 計(jì)算的 MATLAB 程序如下： -286- clc,clear load y.txt %把原始數(shù)據(jù)保存在純文本文件 y.txt 中 m1=length(y)； n=6； %n 為移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù) for i=1:m1-n+1 yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1)/n； end yhat1 m2=length(yhat1)； for i=1:m2-n+1 yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1)/n； end yhat2 plot(1:21,y,*) a21=2*yhat1(end)-yhat2(end) b21=2*(yhat1(end)-yhat2(end)/(n-1) y1986=a21+b21 y1987=a21+2*b21 趨勢(shì)移動(dòng)平均法對(duì)于同時(shí)存在直線趨勢(shì)與周期波動(dòng)的序列， 是一種既能反映趨勢(shì)變化，又可以有效地分離出來(lái)周期變動(dòng)的方法。 3 指數(shù)平滑法 一次移動(dòng)平均實(shí)際上認(rèn)為最近 N 期數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)值影響相同，都加權(quán)N1；而 N 期以前的數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)值沒有影響，加權(quán)為 0。但是，二次及更高次移動(dòng)平均數(shù)的權(quán)數(shù)卻不是N1，且次數(shù)越高，權(quán)數(shù)的結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，但永遠(yuǎn)保持對(duì)稱的權(quán)數(shù)，即兩端項(xiàng)權(quán)數(shù)小，中間項(xiàng)權(quán)數(shù)大，不符合一般系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性。一般說(shuō)來(lái)歷史數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)值的影響是隨時(shí)間間隔的增長(zhǎng)而遞減的。所以，更切合實(shí)際的方法應(yīng)是對(duì)各期觀測(cè)值依時(shí)間順序進(jìn)行加權(quán)平均作為預(yù)測(cè)值。指數(shù)平滑法可滿足這一要求，而且具有簡(jiǎn)單的遞推形式。 指數(shù)平滑法根據(jù)平滑次數(shù)的不同，又分為一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法等，分別介紹如下。 3.1 一次指數(shù)平滑法 1預(yù)測(cè)模型 設(shè)時(shí)間序列為L(zhǎng)L,21 tyyy ， 為加權(quán)系數(shù)， 10 0.00001 Terr=； for j=N+1:m-1 yhat(j)=w*yt(j-1:-1:j-N)； err=yt(j)-yhat(j)； Terr=Terr,abs(err)； w=w+2*k*err*yt(j-1:-1:j-N)； end Terr=max(Terr)； end w, yhat 5.2 kN, 值和初始權(quán)數(shù)的確定 在開始調(diào)整權(quán)數(shù)時(shí)，首先要確定權(quán)數(shù)個(gè)數(shù) N 和學(xué)習(xí)常數(shù) k 。一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)時(shí)間序列的觀測(cè)值呈季節(jié)變動(dòng)時(shí)， N 應(yīng)取季節(jié)性長(zhǎng)度值。如序列以一年為周期進(jìn)行季節(jié)變動(dòng)時(shí)，若數(shù)據(jù)是月度的，則取 12=N ，若季節(jié)是季度的，則取 4=N 。如果時(shí)間序列無(wú)明顯的周期變動(dòng)，則可用自相關(guān)系數(shù)法來(lái)確定，即取 N 為最高自相關(guān)系數(shù)的滯后時(shí)期。 k 的取值一般可定為 N/1 ， 也可以用不同的 k 值來(lái)進(jìn)行計(jì)算， 以確定一個(gè)能使 S 最小的 k 值。 初始權(quán)數(shù)的確定也很重要，如無(wú)其它依據(jù)，也可用 N/1 作為初始權(quán)系數(shù)用，即 ),2,1(1NiNwiL= 自適應(yīng)濾波法有兩個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)：一是技術(shù)比較簡(jiǎn)單，可根據(jù)預(yù)測(cè)意圖來(lái)選擇權(quán)數(shù)的個(gè)數(shù)和學(xué)習(xí)常數(shù)，以控制預(yù)測(cè)。也可以由計(jì)算機(jī)自動(dòng)選定。二是它使用了全部歷史數(shù)據(jù)來(lái)尋求最佳權(quán)系數(shù)，并隨數(shù)據(jù)軌跡的變化而不斷更新權(quán)數(shù)，從而不斷改進(jìn)預(yù)測(cè)。 由于自適應(yīng)濾波法的預(yù)測(cè)模型簡(jiǎn)單，又可以在計(jì)算機(jī)上對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，所以這種預(yù)測(cè)方法應(yīng)用較為廣泛。 6 趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)方法 趨勢(shì)外推法是根據(jù)事物的歷史和現(xiàn)時(shí)資料，尋求事物發(fā)展規(guī)律，從而推測(cè)出事物未來(lái)狀況的一種比較常用的預(yù)測(cè)方法。利用趨勢(shì)外推法進(jìn)行預(yù)測(cè)，主要包括六個(gè)階段：（ a）選擇應(yīng)預(yù)測(cè)的參數(shù)； （ b）收集必要的數(shù)據(jù)； （ c）利用數(shù)據(jù)擬合曲線； （ d）趨勢(shì)外推； （ e）預(yù)測(cè)說(shuō)明； （ f）研究預(yù)測(cè)結(jié)果在進(jìn)行決策中應(yīng)用的可能性。 趨勢(shì)外推法常用的典型數(shù)學(xué)模型有：指數(shù)曲線、修正指數(shù)曲線、生長(zhǎng)曲線、包絡(luò)曲線等。 6.1 指數(shù)曲線法 一般來(lái)說(shuō)，技術(shù)的進(jìn)步和生產(chǎn)的增長(zhǎng)，在其未達(dá)飽和之前的新生時(shí)期是遵循指數(shù)曲線增長(zhǎng)規(guī)律的，因此可以用指數(shù)曲線對(duì)發(fā)展中的事物進(jìn)行預(yù)測(cè)。 指數(shù)曲線的數(shù)學(xué)模型為 Kteyy0= （ 35） 其中系數(shù)0y 和 K 值由歷史數(shù)據(jù)利用回歸方法求得。對(duì)式（ 35）取對(duì)數(shù)可得 Ktyy +=0lnln （ 36） -297-令 yY ln= ，0ln yA = 則 KtAY += 其中 KA, 可以用最小二乘法求得。 6.2 修正指數(shù)曲線法 利用指數(shù)曲線外推來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，存在著預(yù)測(cè)值隨著時(shí)間的推移會(huì)無(wú)限增大的情況。這是不符合客觀規(guī)律的。因?yàn)槿魏问挛锏陌l(fā)展都是有一定限度的。例如某種暢銷產(chǎn)品，在其占有市場(chǎng)的初期是呈指數(shù)曲線增長(zhǎng)的，但隨著產(chǎn)品銷售量的增加，產(chǎn)品總量接近于社會(huì)飽和量時(shí)。這時(shí)的預(yù)測(cè)模型應(yīng)改用修正指數(shù)曲線。 ttabKy += （ 37） 在此數(shù)學(xué)模型中有三個(gè)參數(shù) aK, 和 b 要用歷史數(shù)據(jù)來(lái)確定。 修正指數(shù)曲線用于描述這樣一類現(xiàn)象。 （ 1）初期增長(zhǎng)迅速，隨后增長(zhǎng)率逐漸降低。 （ 2）當(dāng) 0K ， 0a ， 10 r 。解此微分方程得 rtceLy+=1（ 51） 式中 c 為常數(shù)。 下面我們記 Logistic 曲線的一般形式為 ttabKy+=1， 0K ， 0a ， 10 。假設(shè)),(ARMA110mnA = 模型的殘差ta 之平方和， ),(ARMA221mnA = 模型的殘差ta 之平方和， N 是采集數(shù)據(jù)的數(shù)目，則檢驗(yàn)準(zhǔn)則為： ),(001= NsFNAsAAF ， 其中22mn += ， )(1122mnmns += 。 若這樣得到的 F 值超過(guò)由 F 分布查表所得的在 5%置信水平上的 ),( NsF 值，那么由 ),(ARMA11mn 模型改變?yōu)?),(ARMA22mn 時(shí)，殘差平方和的改善是顯著的，因而拒絕關(guān)于模型 ),(ARMA11mn 的適用性假設(shè)； F 值低于查表所得之值，就可以認(rèn)為在該置信水平上這個(gè)模型是適用的。 5檢查122,nn 的值是否很小，其置信區(qū)間是否包含零。若不是，則適用的模型就是 )12,2ARMA( nn 。 若122,nn 很小，且其置信區(qū)間包含零，則擬合 )22,12ARMA( nn 。 6利用 F 準(zhǔn)則檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?)12,2ARMA( nn 和 )22,12ARMA( nn ，若 F 值不顯著，轉(zhuǎn)入第 7 步；若 F 值顯著，轉(zhuǎn)入第 8 步。 7舍棄小的 MA 參數(shù)，擬合 22 nm 的模型 ),12ARMA( mn ，并用 F 準(zhǔn)則進(jìn)行檢驗(yàn)。重復(fù)這一過(guò)程，直到得出具有最小參數(shù)的適用模型為止。 8舍棄小的 MA 參數(shù)，擬合 12 nm 的模型 ),2ARMA( mn ，并用 F 準(zhǔn)則進(jìn)行檢驗(yàn)。重復(fù)這