【備考 志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)講練 第17講 銳角三角函數(shù)與解直角三角形（含答案點(diǎn)撥） 新人教版.doc

第17講銳角三角函數(shù)與解直角三角形考綱要求命題趨勢(shì)1理解銳角三角函數(shù)的定義，掌握特殊銳角(30，45，60)的三角函數(shù)值，并會(huì)進(jìn)行計(jì)算2掌握直角三角形邊角之間的關(guān)系，會(huì)解直角三角形3利用解直角三角形的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.中考中主要考查銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值及解直角三角形題型以解答題和填空題為主，試題難度不大，其中運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決與現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)的應(yīng)用題是熱點(diǎn).知識(shí)梳理一、銳角三角函數(shù)定義在rtabc中，c90，a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c.a的正弦：sin a_；a的余弦：cos a_；a的正切：tan a_.它們統(tǒng)稱為a的銳角三角函數(shù)銳角的三角函數(shù)只能在直角三角形中使用，如果沒(méi)有直角三角形，常通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形二、特殊角的三角函數(shù)值三、解直角三角形1定義：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即3條邊和2個(gè)銳角)2直角三角形的邊角關(guān)系：在rtabc中，c90，a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c.(1)三邊之間的關(guān)系：_；(2)銳角之間的關(guān)系：_；(3)邊角之間的關(guān)系：sin a，cos a，tan a，sin b，cos b，tan b.3解直角三角形的幾種類型及解法：(1)已知一條直角邊和一個(gè)銳角(如a，a)，其解法為：b90a，c，b(或b)；(2)已知斜邊和一個(gè)銳角(如c，a)，其解法為：b90a，acsin a，bccos a(或b)；(3)已知兩直角邊a，b，其解法為：c，由tan a，得a，b90a；(4)已知斜邊和一直角邊(如c，a)，其解法為：b，由sin a，求出a，b90a.四、解直角三角形的應(yīng)用1仰角與俯角：在進(jìn)行觀察時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角2坡角與坡度：坡角是坡面與水平面所成的角；坡度是斜坡上兩點(diǎn)_與水平距離之比，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面_自主測(cè)試1如圖，在rtabc中，acb90，bc1，ab2，則下列結(jié)論正確的是()asin abtan accos bdtan b2如圖，a，b，c三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將acb繞著點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到acb，則tan b的值為()a b c d3已知是銳角，且sin(15)，計(jì)算4cos (3.14)0tan 1的值考點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的定義【例1】如圖，在abc中，c90，ab13，bc5，則sin a的值是()a b c d解析：在rtabc中，ab13，bc5，sin a，故選a.答案：a方法總結(jié) 求銳角三角函數(shù)值時(shí)，必須牢記銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是：(1)確定所求的角所在的直角三角形；(2)準(zhǔn)確掌握三角函數(shù)的公式解題的前提是在直角三角形中，如果題目中無(wú)直角時(shí)，必須想辦法構(gòu)造一個(gè)直角三角形觸類旁通1 如圖，在矩形abcd中，點(diǎn)e在ab邊上，沿ce折疊矩形abcd，使點(diǎn)b落在ad邊上的點(diǎn)f處，若ab4，bc5，則tanafe的值為()a b c d考點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值【例2】如果abc中，sin acos b，則下列最確切的結(jié)論是()aabc是直角三角形babc是等腰三角形cabc是等腰直角三角形dabc是銳角三角形解析：由sin acos b可知，ab45，所以c90，所以abc是等腰直角三角形答案：c方法總結(jié) 特殊角的三角函數(shù)值在中考當(dāng)中出現(xiàn)的概率很大，同學(xué)們應(yīng)該熟記，但不要死記，可以結(jié)合圖形，根據(jù)定義理解記憶觸類旁通2 計(jì)算：|2|2sin 30()2(tan 45)1.考點(diǎn)三、解直角三角形【例3】如圖，在abc中，c90，點(diǎn)d，e分別在ac，ab上，bd平分abc，deab，ae6，cos a.求：(1)de，cd的長(zhǎng)；(2)tandbc的值解：(1)deab，dea90.在rtaed中，cos a，即.ad10.根據(jù)勾股定理得de8.又deab，dcbc，bd平分abc，dcde8.(2)acaddc10818，在rtabc中，cos a，即，ab30.根據(jù)勾股定理得bc24.在rtbcd中，tandbc.方法總結(jié) 解這類問(wèn)題主要是綜合運(yùn)用勾股定理、銳角三角函數(shù)定義、直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角解題時(shí)應(yīng)盡量使用原始數(shù)據(jù)，能用乘法運(yùn)算就盡量不用除法運(yùn)算觸類旁通3 如圖是教學(xué)用的直角三角板，邊ac30 cm，c90，tanbac，則邊bc的長(zhǎng)為()a30cm b20cmc10cm d5cm考點(diǎn)四、解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用【例4】某興趣小組用高為1.2米的儀器測(cè)量建筑物cd的高度如圖所示，由距cd一定距離的a處用儀器觀察建筑物頂部d的仰角為，在a和c之間選一點(diǎn)b，由b處用儀器觀察建筑物頂部d的仰角為.測(cè)得a，b之間的距離為4米，tan 1.6，tan 1.2，試求建筑物cd的高度分析：求建筑物cd的高度關(guān)鍵是求dg的長(zhǎng)度，先利用三角函數(shù)用dg表示出gf，ge的長(zhǎng)，利用efgegf構(gòu)建方程求解解：設(shè)建筑物cd與ef的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)g，dgx米在rtdgf中，tan ，即tan .在rtdge中，tan ，即tan .gf，ge.ef.4.解方程，得x19.2.cddggc19.21.220.4(米)答：建筑物cd高為20.4米方法總結(jié) 利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化和構(gòu)造，即把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形的知識(shí)去解決，解題時(shí)要認(rèn)真審題，讀懂題意，弄清仰角、俯角、方向角、坡角、坡度的含義，然后再作圖解題1(2012四川樂(lè)山)如圖，在rtabc中，c90，ab2bc，則sin b的值為()a b c d12(2012浙江舟山)如圖，a，b兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量這兩點(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在與a同側(cè)的河岸邊選定一點(diǎn)c，測(cè)出aca米，bac90，acb40，則ab等于()米aasin 40 bacos 40 catan 40 d3(2012福建福州)如圖，從熱氣球c處測(cè)得地面上a，b兩點(diǎn)的俯角分別為30，45，如果此時(shí)熱氣球c處的高度cd為100米，點(diǎn)a，d，b在同一直線上，則ab兩點(diǎn)的距離是()a200米 b200米c220米 d100(1)米4(2012山東濟(jì)寧)在abc中，若a，b滿足20，則c_.5(2012湖南株洲)數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，老師布置同學(xué)們測(cè)量學(xué)校旗桿的高度小民所在的學(xué)習(xí)小組在距離旗桿底部10米的地方，用測(cè)角儀測(cè)得旗桿頂端的仰角為60，則旗桿的高度是_米6(2012湖南衡陽(yáng))如圖，一段河壩的橫斷面為梯形abcd，試根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，求出壩底寬ad.(ice:ed，單位：m)7(2012山東濰坊)校車安全是近幾年社會(huì)關(guān)注的重大問(wèn)題，安全隱患主要是超速和超載某中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組設(shè)計(jì)了如下檢測(cè)公路上行駛的汽車速度的實(shí)驗(yàn)：先在公路旁邊選取一點(diǎn)c，再在筆直的車道l上確定點(diǎn)d，使cd與l垂直，測(cè)得cd的長(zhǎng)等于21米，在l上點(diǎn)d的同側(cè)取點(diǎn)a，b，使cad30，cbd60.(1)求ab的長(zhǎng)(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：1.73，1.41)；(2)已知本路段對(duì)校車限速為40千米/時(shí)，若測(cè)得某輛校車從a到b用時(shí)2秒，這輛校車是否超速？說(shuō)明理由1如圖，在rtabc中，acb90，cdab，垂足為d.若ac，bc2，則sinacd的值為()a b c d2如圖，在rtabc中，c90，把a(bǔ)的鄰邊與對(duì)邊的比叫做a的余切，記作cot a.則下列關(guān)系式中不成立的是()atan acot a1bsin atan acos accos acot asin adtan2acot2a13如圖，某游樂(lè)場(chǎng)一山頂滑梯的高為h，滑梯的坡角為，那么滑梯長(zhǎng)l為()(第3題圖)a b c dhsin 4如圖所示，河堤橫斷面迎水坡ab的坡比是1:，堤高bc5 m，則坡面ab的長(zhǎng)度是()a10 m b10m c15 m d5m(第4題圖)5在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明同學(xué)從營(yíng)地a出發(fā)，要到a地的北偏東60方向的c地，他先沿正東方向走了200 m到達(dá)b地，再沿北偏東30方向走，恰能到達(dá)目的地c(如圖)，那么，由此可知，b，c兩地相距_m.6如圖所示，邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的o的圓心o在格點(diǎn)上，則aed的正切值等于_7如圖所示，在abc中，c90，a30，bd是abc的平分線，cd5 cm，求ab的長(zhǎng)8綜合實(shí)踐課上，小明所在的小組要測(cè)量護(hù)城河的寬度如圖所示是護(hù)城河的一段，兩岸abcd，河岸ab上有一排大樹(shù)，相鄰兩棵大樹(shù)之間的距離均為10米小明先用測(cè)角儀在河岸cd的m處測(cè)得36，然后沿河岸走50米到達(dá)n點(diǎn)，測(cè)得72.請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)幫小明他們算出河寬fr(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)(參考數(shù)據(jù)：sin 360.59.cos 360.81，tan 360.73，sin 720.95，cos 720.31，tan 723.08)參考答案導(dǎo)學(xué)必備知識(shí)自主測(cè)試1d2b3解：sin(15)，45，原式241133.探究考點(diǎn)方法觸類旁通1c由折疊過(guò)程可知，cfbc5，根據(jù)勾股定理得df3，所以afaddf2，設(shè)aex，則efbe4x，在rtaef中，(4x)222x2，解得x，所以tanafe.觸類旁通2解：原式223111.觸類旁通3c因?yàn)閠anbac，所以bcactanbac3010(cm)品鑒經(jīng)典考題1c在rtabc中，c90，ab2bc，sin a.a30，b60，sin b，故選c.2c在rtabc中，aca米，bac90，acb40，tan 40，abatan 40.3d由題意得a30，b45.ad100(米)，bd100(米)，則abadbd100100100(1)(米)故選d.475由題意得：cos a0，sin b0，cos a，sin b，a60，b45，c75.510在直角三角形中，tan 60，所以旗桿的高度10(米)6解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)b作bfad，可得矩形bcef.efbc4，bfce4.在rtabf中，ab5，bf4.由勾股定理可得：af3(m)又在rtced中，i，ed2ce248(m)adaffeed34815(m)7解：(1)由題意得，在rtadc中，ad2136.33；在rtbdc中，bd712.11，所以abadbd36.3312.1124.2224.2(米)(2)校車從a到b用時(shí)2秒，所以速度為24.2212.1(米/秒)，因?yàn)?2.13 60043 560，所以該車速度為43.56千米/時(shí)，大于40千米/時(shí)，所