均值不等式與輪換式的精彩演繹——從清華自招試題及《數(shù)學(xué)通報(bào)》1863問(wèn)題說(shuō)起.pdf

4 福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2 0 l 4年第5 期 直線(xiàn) Y 一 2 p上任意一點(diǎn) 過(guò) 點(diǎn) 引拋物線(xiàn)的切線(xiàn) 切點(diǎn)分別為 A B A B中點(diǎn)為 直線(xiàn) M N與拋物線(xiàn) 交于點(diǎn) P 設(shè)切線(xiàn) M A MB與 Y 軸分別交于點(diǎn) E F 則 1 直線(xiàn) A B過(guò)定點(diǎn) Q 且 足 k 點(diǎn) M 除 0 一 2 p 外 為定值 2 直線(xiàn) M A A B M B成 等差數(shù)列 且 為定值 提升 2探究切點(diǎn)弦與焦點(diǎn)弦的位置關(guān)系 可有 如下命題 2 2 命題 1 0設(shè)橢 圓方程為 l a b 0 P a 19 為橢 圓右準(zhǔn)線(xiàn)任意一點(diǎn) 過(guò) P引橢 圓的兩條切線(xiàn) 切點(diǎn)分別為 B 則直線(xiàn) A B恒過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F A PF L A B v 2 2 命題 1 1設(shè)雙曲線(xiàn)方程為 一 1 點(diǎn)F c 0 a D 為它的右焦點(diǎn) J P Y o 為雙曲線(xiàn)右準(zhǔn)線(xiàn) 上任意一 點(diǎn) 過(guò) P引雙 曲線(xiàn) 的兩條切線(xiàn) 切點(diǎn)分別 為 A B 則三點(diǎn) A F B共線(xiàn) 且 P F上A B 通過(guò) 以上的思考與提升可使學(xué)生發(fā)現(xiàn) 圓錐曲線(xiàn) 具有共 同的淵源 在很多性質(zhì)上具有通性 平時(shí)學(xué) 習(xí)中細(xì)心觀察 大膽聯(lián)想 就能發(fā)現(xiàn)有價(jià)值 的探究 資源 從而把握問(wèn)題 的本質(zhì) 體驗(yàn)創(chuàng)新的樂(lè)趣 總之 對(duì)于一道試題 重要的不是試題本身 而在于對(duì)待試題的態(tài)度 教學(xué) 中要講背景和條件 要講思路和過(guò)程 重視數(shù)學(xué)思想和方法 并能提升 其本質(zhì) 就可能得出更進(jìn)一步 更一般的結(jié)論 使 學(xué)生 自覺(jué) 主動(dòng) 深層次地參與到教學(xué)活動(dòng)之 中 從數(shù)理兩個(gè)方面發(fā)展探索能力 培養(yǎng)創(chuàng)新精神 加 強(qiáng)應(yīng)用意識(shí) 爭(zhēng)取在每一個(gè)問(wèn)題上向前走一步 我 們的學(xué) 習(xí)將變得更加豐富多彩 參考文獻(xiàn) 1 王芝平 動(dòng)感設(shè)計(jì)輕松破解數(shù)學(xué)壓軸題 陜西師范大學(xué)出版社 2 1 0 9 均值不等式與輪換式的精彩演繹 從清華 自招試題及 數(shù)學(xué)通報(bào) 1 8 6 3問(wèn)題說(shuō)起 王淼 生 福建省廈門(mén)第一 中學(xué) 3 6 1 0 0 3 2 0 0 9年清華大學(xué) 自主招生一道試題 詳見(jiàn)本文 例 1 一經(jīng)出爐便 引起許多讀者的密切關(guān)注與探索 筆者拜讀文 1 文 2 文 3 深受啟 發(fā) 其 中文 1 給出了兩種證明方法 即方法 1 利用數(shù)學(xué)歸納法并 結(jié)合重要不等式 方法 2 利用三角換元并結(jié)合二項(xiàng) 式定理 但其證明推理過(guò)程較為復(fù)雜 文 3 也給出 了兩種證明方法 即方法 l 利用二項(xiàng)式定理并結(jié)合 放縮 方法 2 構(gòu)造函數(shù)并利用求導(dǎo) 文 2 雖然給出 了利用均值不 等式的證 明方法 遺 憾的是作者 既沒(méi) 有指出為何這樣構(gòu)思 也就是說(shuō)對(duì) 讀者 尤其是中 學(xué)生 難 以起到借鑒和指導(dǎo)作 用 更沒(méi)有乘勝追擊 地給予推廣 倒是文 3 給出了推廣 即命題 1 與命 題 2 美中不足的是其推廣 的結(jié)論似乎與其提供 的證 明方法毫無(wú)關(guān)聯(lián) 因此文 3 的作者 自己也談到 因 命題 1 命題 2的證 明用前面兩種方法難以湊效 故 命題 1 采用貝努力不等式 命題 2采用權(quán)方和不等 式來(lái)加以證明 依筆者愚見(jiàn) 作為讀者恐難尋著文 3 作者的思路得 到這樣 的推廣 讀者心里迷糊的是 怎么想到這樣 的推廣 呢 為何要這樣推廣呢 又如 何證明這樣的推廣呢 以后遇到這樣 的問(wèn)題又該如 何構(gòu)思呢 因此筆者認(rèn)為這樣得來(lái)的推廣多少有些 勉強(qiáng) 作為對(duì)這道清華 自主招 生試題探究的繼續(xù) 筆者從輪換式的角度并結(jié)合均值不等式對(duì)這道著名 學(xué)府的 自主招生試題進(jìn)行一些膚淺的探究 同時(shí)順 勢(shì)對(duì) 數(shù)學(xué)通報(bào) 1 8 6 3號(hào)問(wèn)題 詳見(jiàn)本文例 2 給 出一種簡(jiǎn)捷的解答 不妥之處 請(qǐng)批評(píng)指正 例 1 2 0 0 9年清華大學(xué)自 主招生試題 沒(méi) Y R Y 1 求證對(duì)任意正整數(shù) 有 Y 1 證 明 容易得知當(dāng) X 0 或Y 0 或 X Y有 一 個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)上述結(jié)論顯然成立 見(jiàn)文 2 也就是 說(shuō)本題只要證明當(dāng) Y R 時(shí)結(jié)論成立 由2 z 元 均值不等式可得 2 0 1 4年第 5期 福建 中學(xué)數(shù) 學(xué) 5 2 J 上述兩式相加 即可得證 惠特霍斯指出 一般地 解題之成功 在很大 的程度上依賴(lài)于選擇一種最適宜的方法 評(píng)注 上述證明極其簡(jiǎn)捷 讓人賞心悅 目 那為 何這樣構(gòu)思呢 緣由無(wú)論是已知條件 還是求證結(jié) 論均具有輪換式 或?qū)ΨQ(chēng)式 或輪換對(duì)稱(chēng)式 特征 我們考慮等號(hào)成立 的條件 即 x Y并結(jié)合 X Y 1 可 1 1 1 得 Y 去 則 去 因此湊項(xiàng) 去 與之配 證明同上理 由 只證明 五 R i 1 2 k 的情況 由2 n 元均值不等式可得 2 2n J 令i 1 2 k 得到k 個(gè)不等式 相加即得證 借鑒上述構(gòu)思 可以順勢(shì)解決 例 2 數(shù)學(xué)通報(bào) 1 8 6 3號(hào)問(wèn)題 設(shè) X Y R 1 一 且x 2 3 求去 的最小值 Y 解答如果我們把其 中一個(gè) Y看作 z 則上述 1 8 6 3號(hào)問(wèn)題等價(jià)于如下問(wèn)題 設(shè) X Y Z R 且 1 1 1 Y z 3 求 的最小值 由 三元均值 套 之所以湊配 2 一 1 個(gè) 就是為了使用2 玎 元 不等式 1 1 1 1 l 3 z l l l 三 均值不等式時(shí)可以將 X 從根號(hào)順利 剝離 出來(lái) 并 且得到 X 進(jìn)而與另一處得到的 Y 相加 為直接利 用 Y 1 創(chuàng)造條件 從而將問(wèn)題完美解決 美妙 的構(gòu)思緣 由 恰 當(dāng)?shù)淖C 明方法 筒捷 的推 理過(guò)程中往往蘊(yùn)含著借鑒 指導(dǎo) 推廣 尤其是讓 讀者學(xué)會(huì)模仿 甚至可以悟出具體的操作過(guò)程和流 程 這樣才是撰寫(xiě)論文的真正意義與價(jià)值所在 回顧 上述構(gòu)思緣 由與具體操作過(guò)程 自然而然 得到文 3 的推廣 即 為 了便于對(duì)照 列出命題 1 與命題 2 命題 1設(shè) X l X 2 為實(shí)數(shù) X 1 x k 1 k為 正 整 數(shù) 則 對(duì) 任 意 正 整 數(shù) 有 2 n 一 X 2n 命題 2設(shè) X 2 為實(shí)數(shù) a a a 為正實(shí)數(shù) x 1 x x k 1 k 為正整數(shù) 則對(duì) 任意正整數(shù) 有 口 日 2 z n 1 事實(shí)上 還可 以將上述命題 1推廣到更一般的 情況 即 命題 3設(shè) X l X 2 為實(shí)數(shù) l X 2 X k 為正常數(shù) k 為正整數(shù) 則對(duì)任意正整 數(shù) 刀 有 1 6 3 1 1 X Y Z X Y 1 1 1 Y z 二十 二 二 9 X Y Z 1 1 I 5 1 3 即最小值為 3 X Y Z 對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題 當(dāng)尋覓到一種筒捷妙解 宛如一彎絢麗的彩虹 折射出智者之光輝 體現(xiàn)出 數(shù)學(xué)之魅力 這正是數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔之美 這正是數(shù)學(xué)愛(ài) 好者的精神食糧 正如克萊因所說(shuō) 一個(gè)精彩巧妙 的證明 精神上近乎一首詩(shī) 評(píng) 注 上述問(wèn)題刊登 出來(lái)就引起很 多數(shù) 學(xué)愛(ài)好 者的關(guān)注與研究 其中文 5 采用了構(gòu)造 數(shù)字式 方 法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行解答 文 4 中給 出基本不等式的解 法 拜讀上述文章頗受啟迪 筆者覺(jué)得構(gòu)造 數(shù)字式 方法構(gòu)思新穎 但似乎難以想到且推理過(guò)程較為復(fù) 雜 文 5 給出均值不等式的解法 總覺(jué)得沒(méi)有完全 展現(xiàn)均值不等式精髓 因此筆者還是從輪換式的角 度并借助均值不等式給出了上述自然 筒捷 絕妙 的通性解法 之 所以把其中一個(gè) Y暫時(shí)看作 z 就是為了構(gòu)造 輪換式 而輪換式中的所有字母的值相等 即上述 1 2 1 Y z 1 故 配湊 1 1 三 1 1 二 X X Y Y 1 1 1 二 其 目的就是為了確保運(yùn)用均值不等式 z z 時(shí)等號(hào)成立 的條件得到滿(mǎn)足 6 福建 中學(xué)數(shù)學(xué) 2 0 1 4年第 5期 有興趣 的讀者按照上述剖析完全可以模仿證明 文 6 中的推廣 l 即文 4 中的問(wèn)題 1 并容易看出 并證明文 4 的推廣 運(yùn)用均值不等式的關(guān)鍵就是充分利用等號(hào)成立 的條件 尤其是對(duì)具有 或經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形使之具有 輪換 式 對(duì)稱(chēng)式 輪換對(duì)稱(chēng)式的問(wèn)題更是特別有效 此時(shí)只要尋找到等號(hào)成立的條件 然后利用條件配 湊 添加因式 為妥善運(yùn)用均值不等式創(chuàng)造條件 這正是均值不等式的精髓 對(duì)上述例 2 我們可以改 變 已知條件 如 X 2 y 1 3 y 1 2 x Y l 當(dāng)然相應(yīng)的結(jié)論也隨之而變 這樣可以得到一 系列的變式訓(xùn)練題 從上述兩個(gè)例 1 例 2的分析過(guò) 程足夠可以看出這種構(gòu)思和證明過(guò)程完全可以模仿 并掌握其操作流程 并且比較容易得出其推廣結(jié)論 如果我們從構(gòu)造輪換式 的角度去回顧并審視 曾 經(jīng)看過(guò) 做過(guò)的題目 不論是常見(jiàn)的課本習(xí)題 高 考試題 還是 自主招生試題 數(shù)學(xué)問(wèn)題 乃至國(guó)際 奧賽試題 您會(huì)發(fā)現(xiàn)身邊有太多這樣 的題 目 行文至此 筆者感嘆陸老師在文 7 開(kāi)始時(shí)的一 段精彩的話(huà)語(yǔ) 不等式的證明對(duì)證 明者來(lái)說(shuō)是一個(gè) 極大的挑戰(zhàn) 因命題者當(dāng)局者迷 也許會(huì)給旁觀者 留下證明的寬闊舞臺(tái) 于是一個(gè)又一個(gè)簡(jiǎn)單的 漂 亮的證明被不等式愛(ài)好者尋獲 這也是筆者本文的 目的 拋磚引玉 期望看到更多數(shù)學(xué)名家大師演繹 均值不等式與輪換式的完美篇章 渴望看到上述這 些不等式問(wèn)題獲得更簡(jiǎn)潔 更漂亮 更絕妙的解答 參考文獻(xiàn) 1 時(shí)寶軍等 2 0 0 9年清華大學(xué) 自主招生數(shù)學(xué)試題解答與評(píng)析 數(shù)學(xué)通訊 2 0 1 0 3 5 4 5 7 2 亞輝 簡(jiǎn)證 2 0 0 9 年清華大學(xué) 自主招生一道數(shù)學(xué)試題 數(shù)學(xué)通訊 2 0 1 0 8 2 8 3 趙思林等 2 0 0 9年清華大學(xué) 自主招生 一 題的簡(jiǎn)解 j 推廣 數(shù)學(xué)通訊 2 01 0 1 1 5 3 4 劉成龍 數(shù)學(xué)通報(bào) 1 8 6 3號(hào)問(wèn)題的另證及推廣 中學(xué)數(shù)學(xué)研究 江西 2 0 1 1 6 2 5 2 6 5 薛茂文 對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究 中學(xué)數(shù)學(xué)研究 江西 2 0 1 2 3 l 3 1 5 6 王增強(qiáng) 對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的再探究 中學(xué)數(shù)學(xué)研究 i 西 2 0 1 2 9 2 6 2 7 7 陸愛(ài)梅 若干分式不等式證明的思考 中學(xué)數(shù)學(xué)研究 江西 2 0 1 2 9 21 2 2 歐拉 E u l e r 公式的一個(gè)推廣 黃文謙 福建省莆田市第十三中學(xué) 3 5 l 1 5 2 式公式等等 本文將闡述分式公式的一個(gè)推廣 分 式公式為 r f 0 r 0 1 1 2 J 日 b C r 3 上述公式給 出了分式 二 r 在 0 2 3 時(shí)的值 這里我們將探 討當(dāng) 3 時(shí) 分式 r a 0 C I I 一 6一cl I 的取值情況 一a c b 1 當(dāng) 4時(shí) 4 a一6 a c b 6一c 6一a