【志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】（湖南專(zhuān)用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章數(shù)列6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用教學(xué)案 理.docVIP

6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用1能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題2了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系1數(shù)列在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，其解題的基本步驟，可用圖表示如下：2數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)模型(1)等差模型：一般地，如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的具體量時(shí)，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差，其一般形式是：an1and(常數(shù))(2)等比模型：一般地，如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的百分?jǐn)?shù)時(shí)，該模型是等比模型，與變化前的量的比就是公比(3)混合模型：在一個(gè)問(wèn)題中，同時(shí)涉及到等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型(4)生長(zhǎng)模型：如果某一個(gè)量，每一期以一個(gè)固定的百分?jǐn)?shù)增加(或減少)，同時(shí)又以一個(gè)固定的具體量增加(或減少)時(shí)，我們稱(chēng)該模型為生長(zhǎng)模型如分期付款問(wèn)題，樹(shù)木的生長(zhǎng)與砍伐問(wèn)題等(5)遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項(xiàng)(第2項(xiàng)起)與它的前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))間的遞推關(guān)系式，那么我們可以用遞推數(shù)列的知識(shí)求解問(wèn)題1(2012北京高考)已知an為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是()aa1a32a2baa2ac若a1a3，則a1a2d若a3a1，則a4a22已知an，bn均為等差數(shù)列，且a28，a616，b24，b6a6，則由an，bn的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列cn的通項(xiàng)公式cn()a3n4 b6n2c6n4 d2n23現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余的鋼管為()a9根 b10根 c19根 d21根4在數(shù)列an中，對(duì)任意自然數(shù)nn*恒有a1a2an2n1，則a1aaa_.5一個(gè)蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飛出去找回了2個(gè)伙伴；第二天3只蜜蜂飛出去，各自找回了2個(gè)伙伴，如果這個(gè)找伙伴的過(guò)程繼續(xù)下去，第五天所有蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中一共有_只蜜蜂一、等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題【例1】已知等差數(shù)列an的前四項(xiàng)的和a460，第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的和為34，等比數(shù)列bn的前四項(xiàng)的和b4120，第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的和為90.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cnanbn，且cn的前n項(xiàng)和為sn，求sn.方法提煉1等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)，特別是等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)問(wèn)題是歷年命題的熱點(diǎn)2利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)注意公比q的取值，同時(shí)對(duì)兩種數(shù)列的性質(zhì)，要熟悉它們的推導(dǎo)過(guò)程，利用好性質(zhì)，可降低題目的難度，解題時(shí)有時(shí)還需利用條件聯(lián)立方程組求解請(qǐng)做演練鞏固提升1二、數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【例2】有一種零存整取的儲(chǔ)蓄項(xiàng)目，在每月某日存入一筆相同金額，這是零存；到期可以提出全部本金和利息，這是整取它的本利和公式如下：本利和每期存入的金額存期存期(存期1)利率(1)試解釋這個(gè)本利和公式；(2)若每月初存入100元，月利率為5.1%，到第12個(gè)月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一筆金額，月利率是5.1%，希望到第12個(gè)月底取得本利和2 000元，那么每月初應(yīng)存入多少？方法提煉1解等差、等比數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，首先要認(rèn)真審題，深刻理解問(wèn)題的實(shí)際背景，理清蘊(yùn)含在語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)中的等差、等比數(shù)列問(wèn)題，使關(guān)系明朗化、標(biāo)準(zhǔn)化然后用等差、等比數(shù)列知識(shí)求解這其中體現(xiàn)了把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的能力，也就是所謂的數(shù)學(xué)建模能力2等比數(shù)列中處理分期付款問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)準(zhǔn)確計(jì)算出在貸款全部付清時(shí)，各期所付款額及利息(注：最后一次付款沒(méi)有利息)(2)明確各期所付的數(shù)額連同到最后一次付款時(shí)所生的利息之和，等于商品售價(jià)及從購(gòu)買(mǎi)到最后一次付款時(shí)的利息之和只有掌握了這一點(diǎn)，才可順利建立等量關(guān)系特別強(qiáng)調(diào)：銀行儲(chǔ)蓄單利公式及復(fù)利公式分別是：?jiǎn)卫皆O(shè)本金為a元，每期利率為r，存期為n，則本利和ana(1rn)，屬于等差模型復(fù)利公式設(shè)本金為a元，每期利率為r，存期為n，則本利和ana(1r)n，屬于等比模型請(qǐng)做演練鞏固提升3三、數(shù)列與解析幾何、不等式的綜合應(yīng)用【例3】已知函數(shù)f(x)在(1,1)上有定義，f1，且滿足x，y(1,1)時(shí)，f(x)f(y)f.(1)證明f(x)在(1,1)上為奇函數(shù)；(2)設(shè)數(shù)列xn中，x1，xn1，求用n表示f(xn)的表達(dá)式；(3)求證：當(dāng)nn*時(shí)，恒成立方法提煉數(shù)列、函數(shù)、解析幾何、不等式是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，將三者綜合在一起，強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合命制大型綜合題是歷年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)數(shù)列是特殊的函數(shù)，以數(shù)列為背景的不等式證明問(wèn)題及以函數(shù)為背景的數(shù)列綜合問(wèn)題體現(xiàn)了在知識(shí)交匯點(diǎn)上命題的特點(diǎn)，該類(lèi)綜合題的知識(shí)綜合性強(qiáng)，能很好地考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，從而一直成為高考命題者的首選請(qǐng)做演練鞏固提升4構(gòu)造新數(shù)列解答數(shù)列問(wèn)題【典例】 (12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且滿足a1，an2snsn1(n2)求證：sss.規(guī)范解答：an2snsn1(n2)，snsn12snsn1.兩邊同除以snsn1，得2(n2)，(2分)數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以d2為公差的等差數(shù)列(n1)d22(n1)2n.sn.(4分)將sn代入an2snsn1，得an(7分)s(n2)，s，當(dāng)n2時(shí)，sss；(10分)當(dāng)n1時(shí)，s.綜上，sss.(12分)答題指導(dǎo)：1在數(shù)列的解題過(guò)程中，常常要構(gòu)造新數(shù)列，使新數(shù)列成為等差或等比數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列可以使題目變得簡(jiǎn)單，而構(gòu)造新數(shù)列要抓住題目信息，不能亂變形2本題首先構(gòu)造新數(shù)列，其次應(yīng)用放縮法，并且發(fā)現(xiàn)只有應(yīng)用放縮法才能用裂項(xiàng)相消法求和，從而把問(wèn)題解決事實(shí)上：，也可以看成一個(gè)新構(gòu)造：bn.1已知等差數(shù)列an的公差d0，等比數(shù)列bn的公比q是小于1的正有理數(shù)若a1d，b1d2，且是正整數(shù)，則q等于()a bc d2(2012北京高考)某棵果樹(shù)前n年的總產(chǎn)量sn與n之間的關(guān)系如圖所示從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高，m的值為()a5 b7 c9 d113一輛郵政車(chē)自a城駛往b城，沿途有n個(gè)車(chē)站(包括起點(diǎn)站a和終點(diǎn)站b)，每?？恳徽颈阋断虑懊娓髡景l(fā)往該站的郵袋各一個(gè)，同時(shí)又要裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋各一個(gè)，設(shè)該車(chē)從各站出發(fā)時(shí)郵政車(chē)內(nèi)的郵袋數(shù)構(gòu)成一個(gè)有窮數(shù)列ak(k1,2,3，n)(1)求a1，a2，a3；(2)郵政車(chē)從第k站出發(fā)時(shí)，車(chē)內(nèi)郵袋共有多少個(gè)？4(2012湖南高考)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)，該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始，每年年底上繳資金d萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)，設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬(wàn)元(1)用d表示a1，a2，并寫(xiě)出an1與an的關(guān)系式；(2)若公司希望經(jīng)過(guò)m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)參考答案基礎(chǔ)梳理自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)1b2c解析：設(shè)an的公差為d1，bn的公差為d2，則d12，d23.ana2(n2)22n4，bnb2(n2)33n2.數(shù)列an為6,8,10,12,14,16,18,20,22，數(shù)列bn為1,4,7,10,13,16,19,22，.cn是以10為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列cn10(n1)66n4.3b解析：設(shè)堆成x層，得123x200，即求使得x(x1)400成立的最大正整數(shù)x，應(yīng)為19.20010.42n13解析：a1a2an2n1，當(dāng)n2時(shí)，a1a2an12(n1)1，兩式作差得an2(n2)，當(dāng)n1時(shí)，a11，a1a22a33ann122232n12n13.5243解析：第一天12只，第二天有a23a19只，第三天a33a227，故第n天為an3n，則a535243.考點(diǎn)探究突破【例1】 解：(1)由題意知，對(duì)數(shù)列an，可得：2d8.d4，a19.an4n5(nn*)由題意知，對(duì)數(shù)列bn，可得q3，則b13，bn33n13n(nn*)(2)由cnanbn(4n5)3n，sn9313321733(4n5)3n.兩邊同乘以3，得3sn93213331734(4n1)3n(4n5)3n1.兩式相減，得2sn9343243343n(4n5)3n1274(4n5)3n12723n118(4n5)3n1，sn(4n3)3n19【例2】 解：(1)設(shè)每期存入的金額為a，每期利率為p，存期為n，則各期的利息之和為nap(n1)ap2apap，所以本利和為naa(元)(2)到第12個(gè)月底的本利和為1001 597.8(元)(3)設(shè)每月初應(yīng)存入x元，則有x2 000，解得x125.2.所以每月初應(yīng)存入125.2元【例3】 解：(1)證明：令xy0，得2f(0)f(0)，f(0)0.令yx，得f(x)f(x)f(0)0.f(x)f(x)f(x)在(1,1)上是奇函數(shù)(2)f(x1)f1，f(xn1)fff(xn)f(xn)2f(xn)，數(shù)列f(xn)是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列f(xn)2n1.(3)證明：22，而22，當(dāng)nn*時(shí)，恒成立演練鞏固提升1c解析：因?yàn)閝是小于1的正有理數(shù)，所以首先排除選項(xiàng)a，d.又，則將b，c選項(xiàng)中公比q的值逐一代入檢驗(yàn)知，只有當(dāng)q時(shí)，才是正整數(shù)，所以q.2c解析：結(jié)合sn與n的關(guān)系圖象可知，前2年產(chǎn)量均為0，顯然0為最小，在第3年第9年期間，sn的增長(zhǎng)呈現(xiàn)持續(xù)穩(wěn)定性但在第9年之后，sn的增長(zhǎng)驟然降低，因?yàn)楫?dāng)n9時(shí)，的值為最大，故m的值為9.3解：(1)由題意得a1n1，a2(n1)(n2)12n4，a3(n1)(n2)(n3)123n9.(2)在第k站出發(fā)時(shí)，放上的郵袋共(n1)(n2)(nk)個(gè)，而從第二站起，每站放下的郵袋共123(k1)個(gè)，故ak(n1)(n2)(nk)12(k1)knk(k1)k(k1)knk2(k1,2，n)，即郵政車(chē)從第k站出發(fā)時(shí)，車(chē)內(nèi)共有郵袋個(gè)數(shù)為k