高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第九節(jié) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系課件 理.ppt

理數(shù)課標(biāo)版 第九節(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立 消去一個(gè)變量得到關(guān)于x 或y 的一元方程 ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 1 當(dāng)a 0時(shí) 可考慮一元二次方程的判別式 有 i 0 直線與圓錐曲線 相交 ii 0 直線與圓錐曲線 相切 iii 0 直線與圓錐曲線 相離 教材研讀 2 當(dāng)a 0 b 0時(shí) 得到一個(gè)一元一次方程 則直線與圓錐曲線相交 且只有一個(gè)交點(diǎn) i 若圓錐曲線為雙曲線 則直線與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是 平行 ii 若圓錐曲線為拋物線 則直線與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是 平行或 重合 2 圓錐曲線的弦長(zhǎng)設(shè)斜率為k k 0 的直線l與圓錐曲線c相交于a b兩點(diǎn) a x1 y1 b x2 y2 則 ab x2 x1 y2 y1 1 直線y kx k 1與橢圓 1的位置關(guān)系為 a 相交b 相切c 相離d 不確定答案a由于直線y kx k 1 k x 1 1過(guò)定點(diǎn) 1 1 又 1 1 在橢圓內(nèi) 故直線與橢圓相交 2 直線y x 3與雙曲線 1 a 0 b 0 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 a 1b 2c 1或2d 0答案a因?yàn)橹本€y x 3與雙曲線的漸近線y x平行 所以它與雙曲線只有1個(gè)交點(diǎn) 3 橢圓ax2 by2 1與直線y 1 x交于a b兩點(diǎn) 過(guò)原點(diǎn)與線段ab中點(diǎn)的直線的斜率為 則的值為 a b c d 答案a設(shè)a x1 y1 b x2 y2 ab的中點(diǎn)為m x0 y0 結(jié)合題意 由點(diǎn)差法得 1 4 已知橢圓c 1 a b 0 f 0 為其右焦點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)f且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為2 則橢圓c的方程為 答案 1解析由題意得解得所以橢圓c的方程為 1 5 過(guò)拋物線y2 8x的焦點(diǎn)f作傾斜角為135 的直線 交拋物線于a b兩點(diǎn) 則弦ab的長(zhǎng)為 答案16 解析設(shè)a x1 y1 b x2 y2 因?yàn)閽佄锞€y2 8x的焦點(diǎn)為f 2 0 直線ab的傾斜角為135 故直線ab的方程為y x 2 代入拋物線方程y2 8x 得x2 12x 4 0 則x1 x2 12 x1x2 4 則 ab x1 x2 4 12 4 16 考點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系典例1 2016課標(biāo)全國(guó) 20 12分 在直角坐標(biāo)系xoy中 直線l y t t 0 交y軸于點(diǎn)m 交拋物線c y2 2px p 0 于點(diǎn)p m關(guān)于點(diǎn)p的對(duì)稱點(diǎn)為n 連接on并延長(zhǎng)交c于點(diǎn)h 1 求 2 除h以外 直線mh與c是否有其他公共點(diǎn) 說(shuō)明理由 解析 1 由已知得m 0 t p 1分 又n為m關(guān)于點(diǎn)p的對(duì)稱點(diǎn) 故n on的方程為y x 代入y2 2px整理得px2 2t2x 0 解得x1 0 x2 考點(diǎn)突破 因此h 4分 所以n為oh的中點(diǎn) 即 2 6分 2 直線mh與c除h以外沒(méi)有其他公共點(diǎn) 7分 理由如下 直線mh的方程為y t x 即x y t 9分 代入y2 2px得y2 4ty 4t2 0 解得y1 y2 2t 即直線mh與c只有一個(gè)公共點(diǎn) 所以除h以外直線mh與c沒(méi)有其他公共點(diǎn) 12分 方法技巧直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題的求解策略 1 直線與圓錐曲線相交或相離時(shí) 可直接聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程 結(jié)合消元后的一元二次方程求解 2 直線與圓錐曲線相切時(shí) 尤其是拋物線與雙曲線 要數(shù)形結(jié)合求解 1 1在平面直角坐標(biāo)系xoy中 已知橢圓c1 1 a b 0 的左焦點(diǎn)為f1 1 0 且點(diǎn)p 0 1 在c1上 1 求橢圓c1的方程 2 設(shè)直線l同時(shí)與橢圓c1和拋物線c2 y2 4x相切 求直線l的方程 解析 1 由題意得a2 b2 1 b 1 則a 橢圓c1的方程為 y2 1 2 易得直線l的斜率存在且不為零 則可設(shè)l的方程為y kx m k 0 由消去y 整理得 1 2k2 x2 4kmx 2m2 2 0 1 16k2m2 8 m2 1 2k2 1 16k2 8 8m2 0 即m2 2k2 1 由消去y 整理得k2x2 2km 4 x m2 0 2 2km 4 2 4k2m2 16 16km 0 即km 1 由 得m 代入 得 2k2 1 即2k4 k2 1 0 令t k2 則2t2 t 1 0 解得t1 t2 1 舍 或 直線l的方程為y x 或y x 考點(diǎn)二弦長(zhǎng)問(wèn)題典例2已知橢圓c 1 a b 0 的一個(gè)頂點(diǎn)為a 2 0 離心率為 直線y k x 1 與橢圓c交于不同的兩點(diǎn)m n 1 求橢圓c的方程 2 當(dāng) amn的面積為時(shí) 求k的值 解析 1 由題意得解得 所以橢圓c的方程為 1 2 由得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 4 0 4k2 2 4 1 2k2 2k2 4 24k2 16 0 設(shè)點(diǎn)m n的坐標(biāo)分別為 x1 y1 x2 y2 則y1 k x1 1 y2 k x2 1 x1 x2 x1x2 所以 mn 又因?yàn)辄c(diǎn)a 2 0 到直線y k x 1 的距離d 所以 amn的面積s mn d 由 解得k 1 方法技巧弦長(zhǎng)的計(jì)算方法與技巧求弦長(zhǎng)時(shí)可利用弦長(zhǎng)公式 根據(jù)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程 利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和 兩根之積的代數(shù)式 然后整體代入弦長(zhǎng)公式求解 注意兩種特殊情況 1 直線與圓錐曲線的對(duì)稱軸平行或垂直 2 直線過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn) 2 1設(shè)f1 f2分別是橢圓e x2 1 0 b 1 的左 右焦點(diǎn) 過(guò)f1的直線l與e相交于a b兩點(diǎn) 且 af2 ab bf2 成等差數(shù)列 1 求 ab 2 若直線l的斜率為1 求b的值 解析 1 由橢圓定義知 af2 ab bf2 4 又2 ab af2 bf2 所以 ab 2 l的方程為y x c 其中c 設(shè)a x1 y1 b x2 y2 則a b兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組 化簡(jiǎn)得 1 b2 x2 2cx 1 2b2 0 則x1 x2 x1x2 因?yàn)橹本€ab的斜率為1 所以 ab x2 x1 即 x2 x1 則 x1 x2 2 4x1x2 因?yàn)? b 1 所以b 考點(diǎn)三中點(diǎn)弦問(wèn)題典例3 1 在橢圓 1內(nèi) 通過(guò)點(diǎn)m 1 1 且被這點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為 a x 4y 5 0b x 4y 5 0c 4x y 5 0d 4x y 5 0 2 若橢圓的中心在原點(diǎn) 一個(gè)焦點(diǎn)為 0 2 直線y 3x 7與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1 則這個(gè)橢圓的方程為 a 1b 1c 1d 1 答案 1 a 2 d解析 1 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為a x1 y1 b x2 y2 則由 得 0 因?yàn)樗?所以所求直線方程為y 1 x 1 即x 4y 5 0 2 因?yàn)闄E圓的中心在原點(diǎn) 一個(gè)焦點(diǎn)為 0 2 則a2 b2 4 所以可設(shè)橢圓方程為 1 聯(lián)立 得 10b2 4 y2 14 b2 4 y 9b4 13b2 196 0 設(shè)直線y 3x 7與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)的坐標(biāo)為 x1 y1 x2 y2 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及題意得y1 y2 2 解得b2 8 所以a2 12 則橢圓的方程為 1 方法技巧處理中點(diǎn)弦問(wèn)題的常用方法 1 點(diǎn)差法 即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后 代入圓錐曲線方程 并將兩式相減 式中含有x1 x2 y1 y2 三個(gè)未知量 這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率 借用中點(diǎn)公式即可求得斜率 2 根與系數(shù)的關(guān)系 即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程 將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解 3 1拋物線c的頂點(diǎn)為原