基于有限元數(shù)值模擬永磁軌道上方高溫超導(dǎo)塊材懸浮力.doc

基于有限元數(shù)值模擬永磁軌道上方高溫超導(dǎo)塊材懸浮力基于有限元數(shù)值模擬永磁軌道上方高溫超導(dǎo)塊材懸浮力 劉敏賢 1 黨巧紅2 1 西南科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 四川 綿陽 621010 2 洛陽理工學(xué)院 河南 洛陽 471023 摘要 摘要 本文采用有有限元計(jì)算方法和有限差分法對(duì)高溫超導(dǎo)塊材電磁場(chǎng)進(jìn)行模擬 計(jì)算了永磁軌道上方超導(dǎo)塊材所受到的磁懸浮力 文中給出了一種基于有限元的 3D 模型數(shù)值計(jì)算方法 模型采用了電磁場(chǎng)磁矢量法 H 方法 模型中采用 Kim 模 型來描述高溫超導(dǎo)塊材的臨界電流密度 Jc 采用 E J 冪指數(shù)來描述超導(dǎo)塊材的本構(gòu) 關(guān)系 該計(jì)算模型采用 Fortran 語言開發(fā)平臺(tái)編寫了有限元求解代碼實(shí)現(xiàn)整個(gè)算法 最后通過實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證該計(jì)算模型的有效性 關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞 FEM 數(shù)值模擬 三維模型 HTSC Numerical simulation of the levitation force of HTSC bulk above permanent magnetic LIU Min xian1 DANG Qiao hong2 1 School of Computer Science and Technology Southwest University of Science and Technology Mianyang Sichuan 621010 P R China 2 Luoyang Institute of Science and Technology Luoyang Henan 471023 P R China Abstract This paper presents a 3D modelling numerical method using finite element method FEM to simulate the levitation force of high temperature superconductors HTSC above permanent magnetic guideway The models are formulated with the magnetic field vector H method The electromagnetic properties of HTSC are described though Kim critical state model The current distribution in the bulk HTSC above the permanent magnetic guideway PMG is obtained using the proposed method The magnetic levitation forces between the bulk HTSC and the PMG are calculated Compared with the experimental results the calculation results are agreed with the experimental results which show that the method is validly to simulate the levitation force above permanent magnetic Keywords FEM Numerical simulations 3D model HTSC 1 介紹介紹 高溫超導(dǎo)塊材的自穩(wěn)定懸浮特性使得無摩擦軸承 儲(chǔ)能飛輪和超導(dǎo)磁懸浮傳輸系統(tǒng)的 潛在運(yùn)用成為可能 1 4 為了優(yōu)化設(shè)計(jì)這些設(shè)備的性能 很有必要對(duì)高溫超導(dǎo)塊材的電磁 特性進(jìn)行模擬計(jì)算 由于高溫超導(dǎo)塊材內(nèi)部存在籽晶邊界效應(yīng) 其內(nèi)部臨界電流密度沿 a b 面的大小是電流密度沿 c 軸的兩倍 對(duì)于其 E J 本構(gòu)關(guān)系 與常導(dǎo)體的描述完全不相同 E J 冪指數(shù)假定電場(chǎng)強(qiáng)度 E 是與電流密度 J 的冪指數(shù)緊密相關(guān)的 Kim 模型假定高溫超導(dǎo) 塊材的臨界電流密度 Jc 不僅僅與該位置的電密度 J 相關(guān) 還和該位置的磁場(chǎng)強(qiáng)度大小相關(guān) 這些是高溫超體的 E J 非線性特性和高溫超導(dǎo)材料非線性特性 由于高溫超導(dǎo)體的這些 電磁強(qiáng)非線性特性 很難用數(shù)值的方法來模擬高溫超導(dǎo)體的電磁特性 在最近這些年 針對(duì)此類電磁問題 出現(xiàn)了一些數(shù)值計(jì)算方法和解析計(jì)算方法 對(duì)于 2D 模型 局限于與其相關(guān)的簡(jiǎn)單幾何模型以及在各向同性的假設(shè)下和軸對(duì)稱外磁場(chǎng)的假設(shè) 下 研究者提出了幾種解析計(jì)算方法 3 5 對(duì)于 3D 模型 由于很難處理高溫超導(dǎo)體的電 磁非線性特性和受限于電腦運(yùn)算能力 很少有相關(guān)報(bào)到見諸于報(bào)到 本文給出了一個(gè)基于有限元方法的 3D 模型 運(yùn)用此數(shù)值模型對(duì)高溫超導(dǎo)電磁特性進(jìn) 行了模擬計(jì)算 模型使用了兩塊虛擬超導(dǎo)塊材疊加的處理方法來解決非線性材料問題 模 型中使用了一種迭代的方法用于迭代求解 E J 非線性特性 模型中還使用了向前差分法用 于處理時(shí)間空間問題 有限元求解代碼是在 FORTRAN 語言平臺(tái)下編寫的 2 基本模型基本模型 Z Y X PMG FeNdFeB A B H 圖 1 高溫超導(dǎo)塊材與永磁軌道組成的磁懸浮系統(tǒng) Fig 1 HTSC bulk vs PMR levitation system 圖 1 給出了超導(dǎo)體和導(dǎo)軌相互作用的三維坐標(biāo)示意圖 假設(shè)高溫超導(dǎo)體沿著導(dǎo)軌縱向 無限長(zhǎng) 6 其中超導(dǎo)塊材 a b 面平行于導(dǎo)軌表面 x 軸和 z 軸分別沿著導(dǎo)軌的橫向和縱向 y 軸垂直于導(dǎo)軌表面 圖中給出了永磁導(dǎo)軌在二維平面內(nèi)的截面磁力線分布 實(shí)驗(yàn)和數(shù)值 計(jì)算過程中 首先 超導(dǎo)樣品在永磁軌道正上方沿豎直方向由位置 A 以 1 毫米 秒的速度 向下向位置 B 移動(dòng) 當(dāng)超導(dǎo)樣品到達(dá)位置 B 后 又以同樣的速度返回向位置 A 處移動(dòng) 最后停留在 A 處 在求解中 求解區(qū)域包括超導(dǎo)區(qū)域 1 1和非超導(dǎo)區(qū)域 2 2 如圖 2 所示 y z x 1 2 圖 2 三維計(jì)算模型示意圖 Fig 2 Diagram of three dimension HTSC bulk 3 基本方程基本方程 根據(jù) Maxwell 安培定律和法拉第電磁感應(yīng)定律 1 t B HJ E 由于這里描述的是準(zhǔn)靜態(tài)問題 通常假設(shè)位移電流密度為零 即 0 t D B H 本構(gòu)關(guān)系可描述為 2 BH 對(duì)于高溫超導(dǎo)體 其 E J 本構(gòu)關(guān)系可以由下式描述 3 0 JJ E HJ n scsc scc cscsc E J 其中 Esc Jsc 和 Hsc 分別是高溫超導(dǎo)塊材的電場(chǎng)強(qiáng)度 電流密度和磁場(chǎng)強(qiáng)度 Ec0 是 描述材料特性的一個(gè)溫度相關(guān)常數(shù) Jc 是高溫超導(dǎo)塊材的臨界電密度 其中臨界電流密度 Jsc與磁場(chǎng)強(qiáng)度 Hsc的關(guān)系可以由 Kim 模型來描述 如下所示 4 0 0 1 H H c csc sc c J J H 這里 Jc0 和 Hc0 分別是與材料特性和溫度相關(guān)的常數(shù) 為了簡(jiǎn)化微分方程的推演過程 我們使用了虛擬歐姆定律 5 1 EJ scsc sc 這里 是高溫超導(dǎo)塊材的有效電導(dǎo)率 sc 6 0 1 E J JHH n sccsc scsccsccsc E JJ 對(duì)于高溫超導(dǎo)三維模型的非線性材料問題 研究認(rèn)為沿 c 軸的臨界電流密度 Jc是沿 a b 面臨界電流密度的三分之一 我們假定沿 c 軸流動(dòng)的電流密度所受到的電阻率三倍于沿 a b 平面流動(dòng)的電流密度所受到的電阻率 方程 5 又可以寫成 7 1 3 E TT scscxscysczscxscyscz sc EEEJJJ 將方程 1 和方程 2 代入方程 7 我們可以得到方程 8 8 0 1 2 0 H scx scyscy sc scz J JJ t J 這里高溫導(dǎo)塊材在數(shù)學(xué)上由兩部分組成 一部分是由各向同性超導(dǎo)材料組成 另一部分 是由僅由沿 c 軸方向電導(dǎo)率不為零的超導(dǎo)塊材組成 對(duì)于所有計(jì)算區(qū)域的超導(dǎo)及非超導(dǎo)區(qū)域 將方程 1 代入方程 8 并且考慮到 于是方程 8 可以寫成如下方程 scyxz JHzHx 9 1 0HHQ t 這里指的是子區(qū)域 2 是指的是子區(qū)域 1 并且定 0 air sc 1 義矢量 Q為為 0 2 0 Q T xz HzHx 公式 9 是一個(gè)含時(shí)間變化參量的電磁偏微分方程 它是由法拉第電磁感應(yīng)定律 安 培定律和 E J 冪指數(shù)關(guān)系式推演而出的 磁場(chǎng) H 的分量 Hx Hy Hz 是待求解量 對(duì)于描述某具體物理現(xiàn)象的偏微分方程 要想得到穩(wěn)定的定解 必須給出合適的邊界條 件 對(duì)于控制方程 9 Dirichlet 和 Neumann 邊界條件用于描述這里的電磁邊界條件 在 超導(dǎo)區(qū) 1 與非超導(dǎo)區(qū) 2 交界處的邊界應(yīng)該滿足連續(xù)邊界條件 10 1122nn HH 計(jì)算區(qū)域的最外邊界 2 屬于動(dòng)態(tài)邊界條件 這里我們使用一個(gè)時(shí)間相關(guān)的函數(shù)來描述 H 2 r t f 2 r t 11 這里函數(shù) f 2 r t 描述了高溫超導(dǎo)塊材外界的非均勻磁場(chǎng)在邊界 2 處隨時(shí)間的變化而 變化 4 數(shù)值求解過程數(shù)值求解過程 在本論文中 我們使用了有限元方法 FEM 和有限差分方法來建立數(shù)值求解代碼進(jìn)而對(duì) 此高溫超導(dǎo)塊材電磁非線性強(qiáng)耦合問題進(jìn)行求解 模型中使用了直接迭代方法來處理非線性偏微分方程 9 如下所示 12 1 11 1 1 0 HH HQ i ii nn nn ii nn t 上標(biāo) i i 1 2 暗示了迭代步驟 下標(biāo) n 暗示了時(shí)間空間推演步驟 Hn 1 是時(shí)間推演的 第 n 步驟時(shí)的穩(wěn)定解 時(shí)間變分 t 指明了時(shí)間推演步每次迭代時(shí)的時(shí)間步大小 當(dāng)前計(jì) 算區(qū)域位于超導(dǎo)區(qū)域時(shí) 有效電導(dǎo)率 和參數(shù)滿足 sc sc 和 1 方程 12 又可以變換為 13 111 1 HHQH iii nnnn ii nn tt 模型中使用四面體單元對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行離散剖分處理 這些屬于外邊界上的單元結(jié)點(diǎn)上 的值由于屬于邊界條件方程 11 描述 由方程 11 計(jì)算得出 代數(shù)方程組可由下面矩陣表達(dá) 式描述 14 11 AIHC QF ii nn 這里 A 和 C are 分別是方程 14 第二項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)矩陣 I 是方程 14 第一 項(xiàng)相關(guān)的單位矩陣 F is 是與 Hn 1相關(guān)的負(fù)載列向量 很明顯 矩陣 A 和 C 是與有 效電導(dǎo)率 sc sc緊密相關(guān)的 數(shù)值求解的主要過程可以很簡(jiǎn)明地如圖描述 t 0 h h0 h 2 r t 0 f 2 r t 0 sc A C F Hi 1 t t dt n t i 1 i sc i sc 1 Hi Hi 1 i i 1 n T T 6 1 i sc N Y Y N 圖 3 數(shù)值求解流程圖 Fig 3 The flowchart of the solution 當(dāng)計(jì)算出來磁場(chǎng)強(qiáng)度和電流密度分布后 高溫超導(dǎo)塊材所受到的磁懸浮力可以由公式 15 計(jì)算得出 15 FJB emex v dv 這里 V 代表高溫超導(dǎo)塊材的體積 J 是電流密度 Bex 是高溫超導(dǎo)所受到的外磁感 應(yīng)強(qiáng)度 5 計(jì)算結(jié)果與討論計(jì)算結(jié)果與討論 實(shí)驗(yàn)采用圖 1 所示的軌道結(jié)構(gòu) 各種參數(shù)如表 1 所示 其高溫超導(dǎo)超導(dǎo)塊材采用有色研 究院燒制的 YBCO 塊材 計(jì)算中的軌道與塊材的參數(shù)如表 1 所示 表 1 仿真與試驗(yàn)計(jì)算參數(shù) Table 1 the parameter of the simulation and experiment 名 目數(shù)值 類型 超導(dǎo)塊材尺寸 直徑 厚度 30mm 15mm 永磁軌道磁化強(qiáng)度 M087000A m2 超導(dǎo)塊材豎直測(cè)試高度范圍 H55mm 5mm 測(cè)試速度1mm s 超導(dǎo)塊材下表面距軌道上表面最短距離5mm 超導(dǎo)塊材臨界電流密度 Jc4 0 x107A m2 超導(dǎo)塊材中的 Ec1 0 x10 4V m 永磁軌道類型分布對(duì)稱式永磁軌道 永磁軌道尺寸 寬 x 高 90 x50 mm 超導(dǎo)塊材冷卻方式零場(chǎng)冷 圖 4 給出了在軌道正上方高溫超導(dǎo)塊材磁懸浮實(shí)驗(yàn)測(cè)試與仿真計(jì)算懸浮力曲線圖 從 圖 4 中可以看出 懸浮力往復(fù)測(cè)試呈現(xiàn)出典型的懸浮力磁滯現(xiàn)象 這是因?yàn)楦邷爻瑢?dǎo)體材 料的磁滯特性決定的 對(duì)比實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果 高溫超導(dǎo)磁懸浮力數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)所得到的力 曲線圖能夠較好的吻合 趨勢(shì)接近一致 這說明該仿真計(jì)算方法是有效的 能較好的反映 高溫超導(dǎo)塊材與永磁軌道相互作用的機(jī)理 010203040506070 0 10 20 30 40 懸浮力 N 豎直位移 mm 實(shí)驗(yàn)測(cè)試值 仿真計(jì)算值 圖 4 懸浮力測(cè)試與仿真計(jì)算曲線圖 Fig 4 Comparisons of experimental and calculated results of the levitation force 圖 5 顯示了超導(dǎo)樣品在不同臨界電流密度 Jc 情況下磁懸浮力 位移曲線圖 從圖 5 可 以看出 磁 懸浮力 位移磁滯恢復(fù)曲線所圍的面積隨著臨界電流密度 Jc 的增加而減少 這 是因?yàn)?當(dāng)超導(dǎo)塊材的臨界電流密度較低時(shí) 當(dāng)樣品受到外磁場(chǎng)的作用 磁場(chǎng)更容易穿透 到超導(dǎo)塊材內(nèi)部 同樣的 不通的臨界電流密度 塊材所有的最大懸浮也不一樣 從圖 4 可以看出 臨界電流密度越大 所受的最大懸浮力也越大 這也和實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果相吻合 7 051015202530354045505560 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 0 x108A m2 1 5x108A m2 2 0 x108A m2 2 5x108A m2 3 0 x108A m2 3 5x108A m2 4 0 x108A m2 懸浮力 N 豎直位移 mm 臨界電流密度 Jc 圖 5 不同電流密度下磁懸浮力 位移曲線 E0 1 0 x10 4 A m Fig 5 The levitation force with different critical current density E0 1 0 x10 4 A m 6 結(jié)論結(jié)論 基于磁矢量方法 H 方法 和有限元方法 成功地在 FORTRAN 平臺(tái)開發(fā)出了一個(gè) 3D 模型數(shù)值計(jì)算代碼 此數(shù)值計(jì)算模型著眼于高溫超導(dǎo)電磁場(chǎng)的模擬計(jì)算 使用此數(shù)值計(jì)算 系統(tǒng) 能計(jì)算出高溫超導(dǎo)塊材與永磁軌道之間的懸浮力 通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 該計(jì)算方法能準(zhǔn) 確的計(jì)算出高溫超導(dǎo)的懸浮力 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn) 1 John R Hull Applications of high temperature superconductors in power technology Phys 66 1865 1886 2003 2 Murakami M Progress in applications of bulk high temperature superconductors Physica C 341 348 2281 2284 2000 3 L Shultz O de Haas P Verges C Beyer S Rohlig H Olisen L Kuhn D Berger U Noteboom and U Funk IEEE Trans Appl Supercond vol 15 pp 2031 2035 Jun 2005 4 P T Putman Y X Zhou H Fang A Klawitter and K Salama Supercond Sci Technol vol 18 pp S6 S9 2005 5 Prigozhin L The Bean model in superconductivity variationa