初中數(shù)學一題多變、一題多解.doc

一題多解、一題多變原題條件或結(jié)論的變化所謂條件或結(jié)論的變化，就是對某一問題的條件或結(jié)論進行變化探討，并針對問題的內(nèi)涵與外延進行深入與拓展，從而得到一類變式題組。通過對問題的分析解決，使我們掌握某類問題的題型結(jié)構(gòu)，深入認識問題的本質(zhì)，提高解題能力。例1 求證：順次連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。變式1 求證：順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是菱形。變式2 求證：順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是矩形。變式3 求證：順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是正方形。變式4 順次連接什么四邊形各邊中點可以得到平行四邊形？變式5 順次連接什么四邊形各邊中點可以得到矩形？變式6 順次連接什么四邊形各邊中點可以得到菱形？通過這樣一系列變式訓練，使學生充分掌握了四邊形這一章節(jié)所有基礎知識和基本概念，強化溝通了常見特殊四邊形的性質(zhì)定理、判定定理、三角形中位線定理等，極大地拓展了學生的解題思路，活躍了思維，激發(fā)了興趣。一、 幾何圖形形狀的變化如圖1，分別以RtABC的三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別為，則之間的關(guān)系是 圖1 圖2 圖3變式1：如圖2，如果以RtABC的三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別為，則之間的關(guān)系是 變式2：如圖3，如果以RtABC的三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別為，則之間的關(guān)系是 變式3：如果以RtABC的三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別為，為使之間仍具有上述這種關(guān)系，所作三角形應滿足什么條件？證明你的結(jié)論。之間的關(guān)系是 圖4 圖5 圖6之間的關(guān)系是 之間的關(guān)系是 上述題組設置由易到難，層次分明，把學生的思維逐漸引向深入。這樣的安排不僅使學生復習了勾股定理，又在逐漸深入的問題中品嘗到成功的喜悅；既掌握了基礎知識，也充分認識了問題的本質(zhì)，可謂是一舉兩得。二、 圖形內(nèi)部結(jié)構(gòu)的變化例2.已知：如圖7，點C為線段AB上一點，ACM、CBN是等邊三角形。求證：AN=BM圖7 圖8 變式1：在例2中，連接DE，求證：（1）DCE是等邊三角形（2）DE/AB分析：(1)可證，則DC=EC,因為DCE=,所以DCE是等邊三角形。(2)由（1）易證EDC=ACM=,所以DE/AB變式2：例2中，連接CF，求證：CF平分AFB分析：過點C作CGAN于G,CHBM于H,由，可得到CG=CH,所以CF平分AFB變式3：如圖8，點C為線段AB上一點，ACM、CBN是等邊三角形，P是AN的中點，Q是BM的中點，求證：是等邊三角形證明：, 圖7是一個很常見的圖形，其中蘊含著很多的關(guān)系式，此題還可適當引導學生探索當點C不在線段AB上時所產(chǎn)生的圖形中的一些結(jié)論，通過該題的變式訓練，讓學生利用自己已有的知識去探索、猜想，進而培養(yǎng)了學生思維的創(chuàng)造性。三、 因某一基本問題遷移的變化例4如圖9，要在燃氣管道L上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，問泵站修在什么地方使所用的輸氣管線最短？ 圖9分析：設泵站應建在P處。取點B關(guān)于L的對稱點B,如圖1，PB=PB,要使PA+PB最小只要PB+PA最小，而兩點之間距離最短，連接AB與L的交點P即是泵站所建的位置。本題特點：一直線同旁有兩定點，關(guān)鍵要在直線上確定動點的位置，使動點到定點的距離之和最短，我們常常把這類問題稱作“泵站問題”。變式1：如圖2，在ABC中，AC=BC=2,ACB=,D是BC的中點，E是AB邊上一動點，則EC+ED的最小值是 圖2解：C、D是兩定點，E是在直線AB上移動的一動點，以CA、CB為邊作正方形ACBF，則C關(guān)于AB的對稱點一定是F,連接DF交AB于E,這時EC+ED最小。因為D是BC的中點，在直角三角形FBD中， .變式2：如圖3，點P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上一動點，M、N分別是AB、BC邊上的中點，則PM+PN的最小值 分析：M、N是兩定點，P是在直線AC上移動的一動點，作N關(guān)于AC的對稱點G，由于四邊形ABCD是菱形，所以G一定在DC上，且為DC的中點，連接MG交AC于P,四邊形AMGD為平行四邊形，連接PM、PN，則PM+PN最小，PM+PN=PM+PG=MG=BC=1變式3：如圖，梯形ABCD中，AD/BC,AB=CD=AD=1, B=,直線MN為梯形的對稱軸，P為MN上一點，那么PC+PD的最小值為 解:C、D是兩定點，P是直線MN上一動點，因為圖形ABCD中，AD/BC,AB=CD=AD=1,所以四邊形ABCD為等腰梯形，而直線MN為梯形ABCD的對稱軸，則D關(guān)于MN的對稱點是A點，連接AC交MN于點P,連接PD,則有PA=PD,要使PC+PD的值最小，就要使PA+PC最小，所以PC+PD=PA+PC=AC,因為B=，可證得為直角三角形，AC=ABtanB=1tan=,則PC+PD的最小值為.變式4：如圖，已知O的半徑為r , C、D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點，弧AC的度數(shù)為，弧BD的度數(shù)為,動點P在AB上，則CP+PD的最小值為 解：如圖，設D是D關(guān)于直徑AB的對稱點，連接CD交AB于P，則P點使CP+PD最小?；D的度數(shù)為，弧CD的度數(shù)為，所以COD=,從而易求CP+PD=CD