高中必修課_數(shù)學(xué)(1)輔導(dǎo) 02.doc

高中必修課（一）輔導(dǎo) 數(shù) 學(xué) 人教A版第二章 基本初等函數(shù)（I）第一節(jié) 指數(shù)函數(shù)一、重點(diǎn)1、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化，有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì);2、指數(shù)函數(shù)的的概念和性質(zhì)。二、難點(diǎn)1、根式的概念，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化；2、用數(shù)形結(jié)合的方法從具體到一般探索、概括指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。三、重要概念（一）初中知識(shí)根式的概念；如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根。（二）高中知識(shí)1、根式的概念一般地，如果，那么叫做的次方根（n th root），其中1，且*；式子叫做根式（radical），這里叫做根指數(shù)（radical exponent），叫做被開方數(shù)（radicand）。2、指數(shù)函數(shù)：形如 的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù)。其中：定義域R;底數(shù)是常數(shù)；指數(shù)是自變量。四、知識(shí)點(diǎn)（一）初中知識(shí)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：（二）高中知識(shí)1、根式的性質(zhì)：當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)此時(shí)，的次方根用符號(hào)表示;當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)此時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號(hào)表示，負(fù)的次方根用符號(hào)表示正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成（0）;當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，;當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，;負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。2、有理數(shù)指數(shù)冪有關(guān)概念的規(guī)定：注意：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù);同時(shí)，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也推廣到了有理數(shù)指數(shù)冪。有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：3、無(wú)理指數(shù)冪一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪。4、指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)5、指數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的解析式：y = axax的系數(shù)是1;指數(shù)必須是單個(gè)x; 底數(shù)a0，且a1。五、小結(jié)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪以及指數(shù)冪的運(yùn)算，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的另一種表示形式，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可以進(jìn)行互化在進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí)，一般地，化指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算，便于進(jìn)行乘除、乘方、開方運(yùn)算，以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的，對(duì)含有指數(shù)式或根式的乘除運(yùn)算，還要善于利用冪的運(yùn)算法則。六、技巧1、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實(shí)質(zhì)是相同的，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義把根式的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為冪的運(yùn)算，從而可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程。2、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是底數(shù)a的大小決定的，因此解題時(shí)通常對(duì)底數(shù)a按：0a1進(jìn)行分類討論。3、單調(diào)性是指數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì)，特別是函數(shù)圖象的無(wú)限伸展性，x軸是函數(shù)圖象的漸近線.當(dāng)0a1時(shí)，x-,y0;當(dāng)a1時(shí)，a的值越大，圖象越靠近y軸，遞增的速度越快；當(dāng)0a0，a1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分a1與0a0且y1.y4x+2x+1+1的定義域?yàn)镽.2x0, y4x+2x+1+1(2x)2+22x+1(2x+1)21.y4x+2x+1+1的值域?yàn)閥y1.例6求函數(shù)的定義域和值域解：由題意可得，即，故 函數(shù)的定義域是令，則，又， ，即 ，即 函數(shù)的值域是指數(shù)函數(shù)的最值問題技巧：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最值時(shí)注意一些方法的運(yùn)用，比如：換元法，整體代入等。該例題用換元法：令可將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題，需注意換元后的取值范圍例7函數(shù)在區(qū)間上有最大值14，則a的值是_解：令，則，函數(shù)可化為，其對(duì)稱軸為當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，解得或（舍去）；當(dāng)時(shí)，即， 時(shí)，解得或（舍去），a的值是3或例8設(shè) ，求函數(shù) 的最大值和最小值技巧：注意到 ，設(shè) ，則原來(lái)的函數(shù)成為 ，利用閉區(qū)間上二次函數(shù)的值域的求法，可求得函數(shù)的最值解：設(shè) ，由 知， ，函數(shù)成為 ， ，對(duì)稱軸 ，故函數(shù)最小值為 ，因端點(diǎn) 較 距對(duì)稱軸 遠(yuǎn)，故函數(shù)的最大值為 解指數(shù)方程技巧：解指數(shù)方程通常是通過換元轉(zhuǎn)化成二次方程求解，要注意驗(yàn)根例9 解方程解：原方程可化為，令，上述方程可化為，解得或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)原方程的解是單調(diào)性問題例10求函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間.技巧：該例是復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的問題，通過對(duì)該例題的學(xué)習(xí)，希望能做到舉一反三?？稍O(shè)y,ux2-3x+2，其中y為減函數(shù)ux2-3x+2的減區(qū)間就是原函數(shù)的增區(qū)間(即減減增)ux2-3x+2的增區(qū)間就是原函數(shù)的減區(qū)間(即減、增減)解：設(shè)y,ux2-3x+2,y關(guān)于u遞減，當(dāng)x(-，)時(shí)，u為減函數(shù)，y關(guān)于x為增函數(shù)；當(dāng)x，+)時(shí)，u為增函數(shù)，y關(guān)于x為減函數(shù).指數(shù)函數(shù)綜合題例11已知函數(shù)f(x) (a0且a1).(1)求f(x)的定義域和值域；(2)討論f(x)的奇偶性；(3)討論f(x)的單調(diào)性.解：(1)易得f(x)的定義域?yàn)閤xR.設(shè)y,解得ax-ax0當(dāng)且僅當(dāng)-0時(shí)，方程有解.解-0得-1y1時(shí)，ax+1為增函數(shù)，且ax+10.為減函數(shù)，從而f(x)1-為增函數(shù).當(dāng)0a1時(shí)，類似地可得f(x)為減函數(shù).題型三：方程思想及轉(zhuǎn)化思想在求參數(shù)中的應(yīng)用技巧：(1)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，要求參數(shù)值，可考慮利用奇函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)建方程：f(0)0，f(1)f(1)(2)可考慮將t22t,2t2k直接代入解析式化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的一元二次不等式也可考慮先判斷f(x)的單調(diào)性，由單調(diào)性直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式。例12已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求a，b的值；(2)若對(duì)任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)1，故3t22tk0.上式對(duì)一切tR均成立，從而判別式412k0，解得k. 例13定義在R上的奇函數(shù)有最小正周期為2，且時(shí)，（1）求在1，1上的解析式；（2）判斷在（0，1）上的單調(diào)性；（3）當(dāng)為何值時(shí)，方程=在上有實(shí)數(shù)解.解:（1）xR上的奇函數(shù) 又2為最小正周期 設(shè)x（1，0），則x（0，1）， 由題設(shè)條件解析式為（2）設(shè)0x1x21時(shí)為增函數(shù);0a1時(shí)為增函數(shù);0a1和0a0，則冪函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且函數(shù)在(0，)上是單調(diào)遞增函數(shù)；如果0，則冪函數(shù)在(0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)，且在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸；當(dāng)x趨于時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸。2、冪函數(shù)的圖像3、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)五、小結(jié)冪函數(shù)這一節(jié)，表面上看內(nèi)容少而且容易，實(shí)質(zhì)上則不然它蘊(yùn)涵了數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。通過對(duì)5個(gè)特殊冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，可歸納出一般冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)。所以，要求對(duì)這5個(gè)特殊冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)及其應(yīng)用要熟練掌握。六、技巧1、利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較冪值的大小：(1)當(dāng)冪的底數(shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；(2)當(dāng)冪的底數(shù)不同，指數(shù)相同時(shí)，利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較；(3)當(dāng)冪的底數(shù)和指數(shù)都不相同時(shí)，一種方法是作商，通過商與1的大小關(guān)系確定兩個(gè)冪值的大小；另一種方法是媒介法，即找到一個(gè)中間值，通過比較兩個(gè)冪值與中間值的大小，確定兩個(gè)冪值的大??；(4)比較多個(gè)冪值的大小，一般也用媒介法，即先判斷這組數(shù)中每個(gè)冪值與0,1等數(shù)的大小關(guān)系，據(jù)此將它們分成若干組，再將同一組內(nèi)的各數(shù)利用相關(guān)方法進(jìn)行比較，最終確定各數(shù)之間的大小關(guān)系。2、冪函數(shù)是指形如yx(R)的函數(shù)，它的形式非常嚴(yán)格，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù) 為常數(shù)，這是判斷一個(gè)函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)，必須完全具備這種形式的函數(shù)才是冪函數(shù)，有時(shí)候，如果函數(shù)以根式的形式給出，則要注意對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，再對(duì)照冪函數(shù)的定義進(jìn)行判斷。3、失誤與防范：冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限內(nèi)，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)。冪函數(shù)的定義域的求法可分5種情況： 為零； 為正整數(shù)； 為負(fù)整數(shù)； 為正分?jǐn)?shù)； 為負(fù)分?jǐn)?shù)。 作冪函數(shù)的圖象要聯(lián)系函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等，只要作出冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，然后根據(jù)它的奇偶性就可作出冪函數(shù)在定義域內(nèi)完整的圖象。利用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)可處理比較大小、判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及在實(shí)際問題中的應(yīng)用等類型.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想和方法。七、舉例題型一：利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小技巧：比較幾個(gè)數(shù)式的大小，是解題過程中常常遇到的知識(shí)考點(diǎn)，往往都要用到函數(shù)的單調(diào)性，我們應(yīng)該熟練掌握規(guī)定的幾個(gè)特殊冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。 例1已知，試比較的大??；解題思路欲比較這幾個(gè)數(shù)的大小，因?yàn)樗鼈兊闹笖?shù)相同，應(yīng)考慮某個(gè)冪函數(shù)的單調(diào)性yx上單調(diào)遞增，又 題型二 冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用1、由冪函數(shù)的性質(zhì)確定解析式和求參數(shù)的取值范圍技巧：解決這類問題要緊扣冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，依單調(diào)性從其指數(shù)入手；復(fù)合函數(shù)的單調(diào)規(guī)則是我們處理復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的重要依據(jù)；利用分類討論思想解題時(shí)，要充分挖掘已知條件中的每一個(gè)信息，做到不重不漏，才可為正確解題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。例2 已知函數(shù)f(x)=x(pZ)在(0,+)上是增函數(shù)，在其定義域上是偶函數(shù)。求p的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)f(x)的解析式。對(duì)于（1）中求得的函數(shù)f(x)，設(shè)函數(shù)g(x)=qff(x)+(2q1)f(x)+1，問是否存在實(shí)數(shù)q(q0。f(x)在(0,+)上是增函數(shù)，p2+p+0 解得：1p3,而pZ p=0,1,2當(dāng)p=0或2時(shí)，有f(x)=不是偶函數(shù)，故p=1，此時(shí),f(x)=x2。（2）設(shè)t=x2，由g(x)在(,4上是減函數(shù)，在(4,0)上是增函數(shù)，而t=x2在16，+)和(0,16)上都是增函數(shù)，得h(t)=qt2+(2q1)t+1在（0，16）上是增函數(shù)，在16，+)上是減函數(shù)，從而可得=16，q=故存在實(shí)數(shù)q=，使得g(x)在(,4上是減函數(shù)，且在(4,0)上是增函數(shù)。例3已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，求m的值，并確定的解析式分析函數(shù)為偶函數(shù)，已限定了必為偶數(shù)，且，只要根據(jù)條件分類討論便可求得m的值，從而確定的解析式解：是偶函數(shù)，應(yīng)為偶數(shù)又，即，整理，得，又，或1當(dāng)m=0時(shí)，為奇數(shù)（舍去）；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)故m的值為1，2、求解存在性問題技巧：這一類型的題是綜合性較強(qiáng)的題目，是冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可從定義入手，也可根據(jù)函數(shù)圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷，但對(duì)分析問題和解決問題的能力要求較高，這在平時(shí)要注意有針對(duì)性的訓(xùn)練例4已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)，問是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間是減函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出來(lái)；若不存在，請(qǐng)說明理由分析：判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可以利用定義，也可結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行判斷，但要注意問題中符號(hào)的確定，要依賴于自變量的取值區(qū)間解：，則假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得滿足題設(shè)條件，設(shè)，則若，易知，要使在上是減函數(shù)，則應(yīng)有恒成立，而，.從而要使恒成立，則有，即若，易知，要使在上是增函數(shù)，則應(yīng)有恒成立，而，要使恒成立，則必有，即綜上可知，存在實(shí)數(shù)，使得在上是減函數(shù)，且在上是增函數(shù)3、類比冪函數(shù)性質(zhì)，討論函數(shù)值的變化情況例5討論函數(shù)在時(shí)隨著x的增大其函數(shù)值的變化情況分析：首先應(yīng)判定函數(shù)是否為常數(shù)函數(shù)，再看冪指數(shù)，并參照冪函數(shù)的性質(zhì)討論解： 當(dāng)，即或時(shí)，為常函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)函數(shù)為常函數(shù)； 當(dāng)即時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而減??； 當(dāng)即或時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而增大；當(dāng)即時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而增大；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而減小注意：含參數(shù)系數(shù)問題，可以說是解題中的一個(gè)致命殺手，是導(dǎo)致錯(cuò)誤的一個(gè)重要因素，應(yīng)引起的高度警覺。不論是哪類題型，都是萬(wàn)變不其宗：函數(shù)定義、圖像和性質(zhì)的應(yīng)用。本 章 總 結(jié)表一：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)表二：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：表三：冪函數(shù)的性質(zhì)：附：函數(shù)題題型的解題方法和常用結(jié)論匯編（這些方法和結(jié)論，在各章節(jié)都是有的，這里只是匯集到一起）一、函數(shù)的定義域的常用求法：1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；3、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；4、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；5、三角函數(shù)正切函數(shù)中；余切函數(shù)中；6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。二、函數(shù)的解析式的常用求法：1、定義法；2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)法；6、配方法。三、函數(shù)的值域的常用求法：1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調(diào)性法；7、直接法四、函數(shù)的最值的常用求法： 1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調(diào)性法。五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：1、若均為某區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則在這個(gè)區(qū)間上也為增（減）函數(shù)；2、若為增（減）函數(shù)，則為減（增）函數(shù)；3、若與的單調(diào)性相同，則是增函數(shù)；若與的單調(diào)性不同，則是減函數(shù)。4、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。5、常用函數(shù)的