高考數(shù)學 第十六章 第三節(jié) 幾個著名的不等式及利用不等式求最大（?。┲嫡n件 理 蘇教版.ppt

第三節(jié)幾個著名的不等式及利用不等式求最大 小 值 1 幾個著名的不等式柯西不等式的代數(shù)形式 設a b c d均為實數(shù) 則 ac bd 2 當且僅當 時等號成立 柯西不等式的向量形式 設是平面上的兩個向量 則 當且僅當兩個向量方向相同或相反時等號成立 a2 b2 c2 d2 ad bc 柯西不等式的一般形式 設n為大于1的自然數(shù) ai bi i 1 2 n 為實數(shù) 則 等號當且僅當 時成立 當ai 0時 約定bi 0 i 1 2 n 2 三角形不等式 設x1 y1 x2 y2 x3 y3為任意實數(shù) 則 3 排序不等式 設兩組實數(shù)a1 a2 a3 an與b1 b2 b3 bn 且它們滿足 a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn 若c1 c2 c3 cn是b1 b2 b3 bn的任意一個排列 則和數(shù)a1c1 a2c2 ancn在a1 a2 a3 an與b1 b2 b3 bn同序時最大 反序時最小 即a1b1 a2b2 anbn 等號當且僅當a1 a2 an或b1 b2 bn時成立 a1c1 a2c2 ancn a1bn a2bn 1 anb1 4 n個正數(shù)的算術 幾何平均不等式 若a1 a2 an為正數(shù) 則等號當且僅當a1 a2 an時成立 稱為n個正數(shù)a1 a2 an的算術平均數(shù) 稱為這n個正數(shù)的幾何平均數(shù) 它表明 n個正數(shù)的算術平均數(shù) 它們的幾何平均數(shù) 不小于 2 利用不等式求最大 小 值 1 運用柯西不等式求最大 小 值 2 運用算術 幾何平均不等式求最大 小 值 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 在二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式中 取等號的條件可以寫成 2 在柯西不等式的向量形式中 取等號時 兩個向量的夾角是0 3 排序不等式說明了同序和 亂序和 反序和 解析 1 錯誤 當b d 0時 柯西不等式成立 但不成立 2 錯誤 兩個向量和的夾角是0或 3 正確 由排序不等式的概念可知是正確的 答案 1 2 3 考向1運用著名不等式證明 典例1 2012 福建高考 已知函數(shù)f x m x 2 m r 且f x 2 0的解集為 1 1 1 求m的值 2 若a b c均為正數(shù)且求證 a 2b 3c 9 思路點撥 根據(jù)條件 容易求得m的值 再觀察第 2 題 符合柯西不等式的特征 從而得證 規(guī)范解答 1 由f x 2 m x 0得 x m 從而由已知條件得m 1 2 由 1 得由柯西不等式得當且僅當a 2b 3c時取等號 拓展提升 運用算術 幾何平均不等式與柯西不等式的證明思路用算術 幾何平均不等式與柯西不等式證明不等式時 可直接應用其結論 也可將要證的不等式拆成若干個不等式的和或積 再利用著名不等式證之 變式訓練 設a b c為正實數(shù) 求證 證明 方法一 因為a b c為正實數(shù) 由平均不等式可得即所以而所以當且僅當時取等號 方法二 不妨設a b c 則 當且僅當a b c 時取等號 考向2運用著名不等式求最值 典例2 已知正數(shù)x y z滿足x y z 1 1 求證 2 求4x 4y 的最小值 思路點撥 本題第 1 題等價于求的最小值 因其分母分別為y 2z z 2x x 2y 其和恰為3 x y z 故運用柯西不等式求之 第 2 題的特征是正數(shù)x y z均在指數(shù)上 根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則 才能轉化成和的形式 故運用均值不等式求之 規(guī)范解答 1 因為x 0 y 0 z 0 所以由柯西不等式得 y 2z z 2x x 2y x y z 2 又因為x y z 1 所以當且僅當時取等號 2 由均值不等式得因為x y z 1 所以x y z2 1 z z2 故當且僅當時等號成立 所以的最小值為 拓展提升 運用著名不等式求最值的注意點1 用算術 幾何平均不等式求最大 小 值 要注意 一正 二定 三相等 2 用柯西不等式求最大 小 值 一要創(chuàng)造使用定理的條件 二要注意等號成立的條件 用柯西不等式求最大 小 值的關鍵是構造其特征 變式訓練 已知a b c均為正數(shù) 證明 并確定a b c為何值時 等號成立 證明 方法一 因為a b c均為正數(shù) 由均值不等式得 所以 故 又 所以原不等式成立 當且僅當a b c時 式和 式等號成立 當且僅當時 式等號成立 即當且僅當時 原式等號成立 方法二 因為a b c均為正數(shù) 由基本不等式得a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac 所以a2 b2 c2 ab bc ac 同理 故 所以原不等式成立 當且僅當a b c時 式和 式等號成立 當且僅當a b c ab 2 bc 2 ac 2 3時 式等號成立 即當且僅當時 原式等號成立 1 2013 蘇州模擬 已知實數(shù)x y z滿足x y z 2 求2x2 3y2 z2的最小值 解析 由柯西不等式得 x y z 2 x 2 y 2 z2 又 x y z 2 當且僅當即時等號成立 2x2 3y2 z2的最小值為 2 求函數(shù)f x sin3xcosx的最大值 解析 當sinxcosx 0時 函數(shù)f x 不可能取最大值 當sinxcosx 0時 f2 x sin6xcos2x 當且僅當時取等號 所以f x 的最大值是 3 2013 連云港模擬 已知不等式 a 1 x 2y 2z 對滿足x2 y2 z2 1的一切實數(shù)x y z都成立 求實數(shù)a的取值范圍 解析 x 2y 2z 2 12 22 22 x2 y2 z2 9 當且僅當時等號成立 a 1 3 解得 a 4或a 2 4 2013 常州模擬 設a b c均為正數(shù) 證明 證明 方法一 2a 2b 2c 當且僅當a b c時等號成立 即得方法二 利用柯西不等式取代入即證 5 已知正數(shù)x y z滿足5x 4y 3z 10 1 求證 2 求的最小值 解析 1 根據(jù)柯西不等式 得 4y 3z 3z 5x 5x 4y 5x 4y 3z 2 當且僅當即時取等號 因為5x 4y 3z 10 所以 2 根據(jù)均值不等式 得當且僅當x2 y2 z2時 等號成立 根據(jù)柯西不等式 得 x2 y2 z2 52 42 32 5x 4y 3z 2 100 即x2 y2 z2 2 當且僅當時 等號成立 綜上 當且僅當x 1 時 等號成立 所以的最小值為18 6 2013 南京模擬 已知函數(shù)f x x a 2 x b 2 x c 2 a b c為實數(shù) 的最小值為m 若a b 2c 3 求m的最小值 解析 因為f x x a 2 x b 2 x c 2 3x2 2 a b c x a2 b2 c2所以時 f x 取最小值a2 b2 c2 即m a2 b2 c2 因為a b 2c 3 由柯西不等式得 12 1 2 22 a2 b2 c2 a b 2c 2 9 所以m a2 b2 c2 當且僅當即時等號成立 所以m的最小值為 7 已知x y z均為正數(shù) 且x y z 1 求證 證明 又由于即當且僅當 x 1 2 y 1 2 z 1 2 即x y z 時取等號 8 若正數(shù)a b c滿足a b c 1 1 求證 2 求的最小值 解析 1 由已知易得0 a b c 1 則a a2 a 1 a 0 即a a2 同理可得b b2 c c2 則a2 b2 c2 a b c 1 由柯