概率論大作業(yè)一.doc

Harbin Institute of Technology 課程設(shè)計(jì)（論文）題 目：關(guān)于泊松分布的性質(zhì)及應(yīng)用院 系：理學(xué)院數(shù)學(xué)系 專(zhuān) 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名：?jiǎn)涡憬?學(xué) 號(hào)：1111200206 指導(dǎo)教師：王 力 關(guān)于泊松分布的性質(zhì)及其應(yīng)用摘要泊松分布作為大量試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的頻數(shù)的概率分布的數(shù)學(xué)模型，由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松于1837年引入，是概率論中的一種重要分布。在管理科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)及自然科學(xué)的某些實(shí)際問(wèn)題中都有著廣泛的應(yīng)用。本文對(duì)泊松分布產(chǎn)生的過(guò)程、定義和性質(zhì)做了簡(jiǎn)單的介紹,并分析了泊松分布在實(shí)際生活中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：泊松分布; 定義；定理；應(yīng)用；例題； 數(shù)學(xué)期望; 方差 一 泊松分布的基本概念：在自然界和人們的現(xiàn)實(shí)生活中，經(jīng)常要遇到在隨機(jī)時(shí)刻出現(xiàn)的某種事件，我們把在隨機(jī)時(shí)刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列，叫做隨機(jī)事件流。若事件流具有平穩(wěn)性、無(wú)后效性、普通性,則稱該事件流為泊松事件流(泊松流) 。例如一放射性源放射出的粒子數(shù);某電話交換臺(tái)收到的電話呼叫數(shù)；到某機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)數(shù)；一個(gè)售貨員接待的顧客數(shù); 一臺(tái)紡紗機(jī)的斷頭數(shù)；等這些事件都可以看作泊松流。對(duì)泊松流，在任意時(shí)間間隔(0, t)內(nèi)，事件出現(xiàn)的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布,稱為泊松流的強(qiáng)度。定義 設(shè)隨機(jī)變量的可能取值為且為常數(shù)。則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X P() 。二 泊松分布的兩種導(dǎo)出方法1泊松分布可以從一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程導(dǎo)出，若計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn), t =0滿足: （1）獨(dú)立增量性:任意s, t =0,Nt+s Nt 與Nu, u=0,Nt+s Nt 的分布與t無(wú)關(guān)，即在某時(shí)段內(nèi)A發(fā)生的次數(shù)的分布只取決于時(shí)段的長(zhǎng)度，與時(shí)段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)。（3） P(Nt =2)=o(t)長(zhǎng)度為的時(shí)段內(nèi)A發(fā)生不止一次的概率為t的高階無(wú)窮小，則X的概率函數(shù)為其中，稱X服從泊松分布2 定義：進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)的貝努里試驗(yàn)，每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率為P,若以X表示n次獨(dú)立重復(fù)的貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為其中0p1,q=1-p,稱這種分布為二項(xiàng)分布，記作定理：在n次獨(dú)立重復(fù)的貝努里試驗(yàn)中，記為每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率，它與試驗(yàn)總次數(shù)n有關(guān)，若則對(duì)任意確定的正整數(shù)k有.定理說(shuō)明在二項(xiàng)分布中時(shí)，它服從泊松分布。三 主要結(jié)論：定義設(shè)是任意一個(gè)隨機(jī)變量,稱是的特征函數(shù)。定理1 如果X 是一個(gè)具有以為參數(shù)的泊松分布,則E( X) = 且 ( X) =。證明設(shè)X 是一隨機(jī)變量,若存在,則稱它為X的方差,記作P( X) ,即。設(shè)X服從泊松分布P ( X) ,即有:則從而故定理2 設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,其分布律為。又設(shè)是常數(shù),則。證明由得:顯然,當(dāng)k = 0 時(shí),故。當(dāng)k 1 且k 時(shí),有從而，故。定理3 設(shè)是服從參數(shù)為的泊松分布的隨機(jī)向量,則:證明已知的特征函數(shù)為,故的特征函數(shù)為:對(duì)任意的t ,有。于是。從而對(duì)任意的點(diǎn)列,有。但是是N (0 ,1) 分布的特征函數(shù)，由于分布函數(shù)列弱收斂于分布函數(shù)F( x)的充要條件是：相應(yīng)的特征函數(shù)列n ( t) 收斂F( x) 的特征函數(shù)( t)。所以成立。又因?yàn)槭强梢匀我膺x取的，這就意味成立。四 泊松分布的特征(1)泊松分布是一種描述和分析稀有事件的概率分布。要觀察到這類(lèi)事件,樣本含量n必須很大。(2) 是泊松分布所依賴的唯一參數(shù)。值愈小,分布愈偏倚,隨著的增大,分布趨于對(duì)稱。(3)當(dāng)= 20時(shí)分布泊松分布接近于正態(tài)分布;當(dāng)= 50時(shí),可以認(rèn)為泊松分布呈正態(tài)分布。在實(shí)際工作中,當(dāng)20時(shí)就可以用正態(tài)分布來(lái)近似地處理泊松分布的問(wèn)題。五 泊松分布的應(yīng)用1) 二項(xiàng)分布的泊松近似常常被應(yīng)用于研究稀有事件,即每次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的概率p很小,而伯努利試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí),事件發(fā)生的概率。例1 通過(guò)某路口的每輛汽車(chē)發(fā)生事故的概率為p = 0.0001 ,假設(shè)在某路段時(shí)間內(nèi)有1000 輛汽車(chē)通過(guò)此路口,試求在此時(shí)間內(nèi)發(fā)生事故次數(shù)X的概率分布和發(fā)生2次以上事故的概率。解：首先在某時(shí)間段內(nèi)發(fā)生事故是屬于稀有事件,觀察通過(guò)路口的1000輛汽車(chē)發(fā)生事故與否,可視為是n = 1000次伯努里試驗(yàn),出現(xiàn)事故的概率為p = 0.0001 ,因此X是服從二項(xiàng)分布的,即。由于n = 1000很大,且p = 0.0001很小,上面的式子計(jì)算工作量很大,則可以用:求近似.注意到, 故有.2) 泊松分布可以計(jì)算大量試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)頻數(shù)的概率。這里的頻數(shù)指在相同條件下, 進(jìn)行大量試驗(yàn),在這大量試驗(yàn)中,稀有事件發(fā)生的次數(shù)。例2 已知患色盲者占0.25 %,試求: 為發(fā)現(xiàn)一例色盲者至少要檢查25人的概率; 為使發(fā)現(xiàn)色盲者的概率不小于0.9 ,至少要對(duì)多少人的辨色力進(jìn)行檢查?分析設(shè)X表示恰好發(fā)現(xiàn)一例患色盲者所需要檢查的人數(shù),則。解設(shè)至少對(duì)n 個(gè)人的辨色能力進(jìn)行檢查,于是p xn0.9。從而:由,得.因此至少要檢查920人。3) 泊松分布在計(jì)算病毒粒體對(duì)細(xì)胞感染率中的應(yīng)用 在感染病毒的細(xì)胞培養(yǎng)物中，培養(yǎng)細(xì)胞可被不同數(shù)量的病毒粒體感染，了解病毒粒體在培養(yǎng)細(xì)胞上的分布，即了解病毒粒體所感染的細(xì)胞比率。而受感染的細(xì)胞比率取決于每個(gè)細(xì)胞中所含有的病毒粒體的平均數(shù)，稱感染重?cái)?shù)(m )。感染細(xì)胞的病毒粒體是指那些早期起始感染的粒體，無(wú)活性病毒粒體不計(jì)。因此，m同感染細(xì)胞病毒粒體總數(shù)(N)和細(xì)胞總數(shù)(C)的關(guān)系是, 這里a是指細(xì)胞早期起始感染病毒粒體的比率，如果a能確定，則m值可由己知的N值與C值計(jì)算出來(lái)。實(shí)際上細(xì)胞大小和表面特性等許多方面細(xì)胞是不同的，但這些偏差是可忽略的，現(xiàn)假定對(duì)細(xì)胞來(lái)說(shuō)被感染的能力都一樣。由泊松分布可知?jiǎng)t未被感染的細(xì)胞比率，那么感染重?cái)?shù)m也可以通過(guò)未被感染的細(xì)胞比率p (0)的實(shí)驗(yàn)測(cè)定來(lái)求得:對(duì)深入研究病毒侵染和增殖機(jī)制具有一定意義。參考文獻(xiàn) 1 魏宗舒等. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程M . 高等教育出版社.1983. 10. 2 復(fù)旦大學(xué)編. 概率論(第一冊(cè)) . 概率論基礎(chǔ)M .