電磁感應(yīng)中金屬棒在勻強磁場中的運動.doc

利用公式EBLv求電動勢這類習(xí)題在中學(xué)物理中是常見的，但利用此公式時應(yīng)注意以下幾點。1. 此公式的應(yīng)用對象是一部分導(dǎo)體在磁場中做切割磁感線運動時產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的計算，一般用于勻強磁場（或?qū)w所在位置的各點的磁感應(yīng)強度相同）。2. 此公式一般用于導(dǎo)體各部分切割磁感線速度相同的情況，如果導(dǎo)體各部分切割磁感線的速度不同，可取其平均速度求電動勢。例1. 如圖1所示，導(dǎo)體棒AB長為L，在垂直紙面向里的勻強磁場中以A點為圓心做勻速圓周運動，角速度為。磁感應(yīng)強度為B，求導(dǎo)體棒中感應(yīng)電動勢的大小。圖1解析：導(dǎo)體棒AB在以A點為圓心做勻速圓周運動過程中，棒上每一點切割磁感線的線速度是不同的，我們可以求出導(dǎo)體棒切割磁感線的平均速度為：則導(dǎo)體棒中感應(yīng)電動勢為：3. 此公式中的L不是導(dǎo)體棒的實際長度，而是導(dǎo)體切割磁感線的有效長度，所謂有效長度，就是產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的導(dǎo)體兩端點的連線在切割速度v的垂直方向上投影的長度。例2. 如圖2甲、乙、丙所示，導(dǎo)線均在紙面內(nèi)運動，磁感應(yīng)強度垂直紙面向里，其有效長度L分別為：甲圖：乙圖：沿方向運動時，LMN，沿方向運動時，L0丙圖：沿方向運動時，沿方向運動時，L0，沿方向運動時，LR甲 乙 丙圖24. 在勻強磁場里，若切割速度v不變，則電動勢E為恒定值，若v為時間t里的平均速度，則E為時間t里的平均電動勢。若v為瞬時值，則E為瞬時電動勢。5. 若v與導(dǎo)體棒垂直但與磁感應(yīng)強度B有夾角時，公式中的v應(yīng)是導(dǎo)體棒的速度在垂直于磁場方向的分速度。此時，公式應(yīng)變?yōu)椋?。?. 如圖3所示，磁感應(yīng)強度為B，方向豎直向下。一導(dǎo)體棒垂直于磁場放置，導(dǎo)體棒的速度方向與磁場方向的夾角為，大小為v。求導(dǎo)體棒上感應(yīng)電動勢的大小。圖3解析：把導(dǎo)體棒的速度v沿垂直于磁場方向和平行磁場方向進行分解，得到分速度v1、v2，且。則導(dǎo)體棒上的感應(yīng)電動勢為：。6. EBLv公式中的速度v應(yīng)是導(dǎo)體棒相對于磁場的速度。我們常見的是磁場靜止，對于這一種情況，公式中的v就是導(dǎo)體棒的速度v。例4. 如圖4所示，水平面上有兩根很長的平行直導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間有豎直向下的勻強磁場，磁感應(yīng)強度B2T，磁場運動的速度，方向向左。導(dǎo)軌上有金屬棒MN以速度向左運動。設(shè)兩根直導(dǎo)軌間距L1m，求金屬棒MN上產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的大小，問哪一端的電勢高？圖4解析：在本題中，磁場的運動速度為，方向向左，金屬棒的速度為，方向向左，側(cè)金屬棒相對于磁場的速度為v2m/s，方向向右。則金屬棒上產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：即金屬棒上產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為4V，由右手定則可判定M點的電勢高。對EBLv 的應(yīng)用金屬棒在勻強磁場中的運動，是電磁感應(yīng)中極其重要的物理模型，是近年高考的熱點問題之一。分析其運動問題的關(guān)鍵是弄清金屬棒運動過程中的受力情況。結(jié)合受力情況的變化對其運動過程作動態(tài)分析，并確定金屬棒的最終運動狀態(tài)。分析運動中牽涉到的動力學(xué)知識、能量守恒、電磁學(xué)知識等的綜合應(yīng)用，能較全面地考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力。因此，掌握此類運動模型的分析方法尤為重要。本文就幾種常見的金屬棒在勻強磁場中的運動問題，進行分類探討。1. 金屬棒在傾斜軌道上的運動例1. 如圖1所示，有兩根與水平方向成角的光滑平行的金屬軌道，上端接有可變電阻R，下端足夠長，空間有垂直于軌道平面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，一根質(zhì)量為m的金屬桿從軌道上由靜止滑下，經(jīng)過足夠長的時間后，金屬桿的速度會趨近一個最大速度vm，則（ ）A. 如果B增大，vm將變大B. 如果增大，vm將變大C. 如果R增大，vm將變大D. 如果m減小，vm將變大 圖1解析：將導(dǎo)體棒受力的三維圖轉(zhuǎn)化為二維圖（如圖2所示），利用右手定則可知，感應(yīng)電流方向如圖中所示，利用左手定則可知磁場力沿斜面向上，開始時棒的速度由0增大，磁場力F也由0增大，由牛頓第二定律可知，加速度a將減小，當a減小到0時，棒以最大速度vm做勻速直線運動，即，要使vm增大，正確選項為B、C。圖2點評：對于金屬棒在磁場中的運動這類問題，一般要對桿列出牛頓第二定律的方程，討論加速度和速度的變化時，注意加速度為零時速度最大是運動的轉(zhuǎn)折點。2. 金屬棒在圓環(huán)軌道上的運動例2. 如圖3所示，粗細均勻的電阻為R的金屬環(huán)放在磁感應(yīng)強度為B的垂直環(huán)面的勻強磁場中，圓環(huán)直徑為d。長也為d、電阻為R/2的金屬棒ab中點與環(huán)相切，使ab始終以垂直棒的速度v向左運動，當?shù)竭_圓環(huán)直徑位置時，ab棒兩端的電勢差大小為多少。圖3解析：ab到達虛線所示直徑位置時，由于金屬棒切割磁感線產(chǎn)生電動勢等效于電源，等效全電路如圖4所示，則圖4點評：當導(dǎo)體切割磁感線平動時，導(dǎo)體中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，導(dǎo)體相當于電源。在處理電磁感應(yīng)這類問題時，明確等效電源和內(nèi)外電路，準確地畫出等效電路，是迅速獲解的關(guān)鍵所在。3. 金屬棒在角形軌道上的運動例3. 如圖5所示，三角形導(dǎo)軌COD上放一根導(dǎo)體MN，拉動MN使它以速度v勻速平動。如果導(dǎo)軌與棒都是同種材料同種規(guī)格的均勻?qū)w，勻強磁場垂直于軌道平面，那么棒MN運動過程中，閉合回路的（）A. 感應(yīng)電動勢保持不變B. 感應(yīng)電流保持不變C. 感應(yīng)電動勢逐漸增大D. 感應(yīng)電流逐漸增大 圖5 解析：在時間t內(nèi)棒從O前進的距離為vt，設(shè)COD=2，各段導(dǎo)體的電阻率均為，橫截面積為S，棒與軌道的接觸點為A、B。則COD內(nèi)的棒長為，則回路中的感應(yīng)電動勢，由全電路歐姆定律及，可得故正確答案為B、C。點評：棒在角形框架上滑動時，要注意審題，整個棒產(chǎn)生的電動勢和閉合回路中產(chǎn)生的電流是不同的，前者變大，后者不變。4. 金屬棒在軌道上涉及能量轉(zhuǎn)化的運動例4. 如圖6所示，MN和PQ為豎直方向的兩平行長直金屬導(dǎo)軌，間距為0.40m，電阻不計。導(dǎo)軌所在平面與磁感應(yīng)強度B為0.50T的勻強磁場垂直。質(zhì)量m為6.010-3kg，電阻為1.0的金屬桿ab始終垂直于導(dǎo)軌，并與其保持光滑接觸。導(dǎo)軌兩端分別接有滑動變阻器和阻值為3.0的電阻R1。當桿ab達到穩(wěn)定狀態(tài)時以速率v勻速下滑，整個電路消耗的電功率P為0.27W，重力加速度取10m/s2，試求速率v和滑動變阻器接入電路部分的阻值R2。 圖6解析：由功率表達式得：代入數(shù)據(jù)得：又設(shè)電阻R1與R2的并聯(lián)電阻為，ab棒的電阻為r，有，代入數(shù)據(jù)得：點評：電磁感應(yīng)與直流電路結(jié)合的題目，首先要明確內(nèi)外電路，以及外電路各部分電阻間的串并聯(lián)關(guān)系。然后利用能量守恒和全電路歐姆定律綜合去處理。例5. 如圖7所示，平行導(dǎo)軌MN和PQ相距0.5m，電阻可忽略。其水平部分是粗糙的，置于0.60T豎直向上的勻強磁場中，傾斜部分的導(dǎo)軌是光滑的，且該處沒有磁場。導(dǎo)體棒a和b的質(zhì)量均為0.20kg，電阻均為0.15，a、b相距足夠遠，b放在水平導(dǎo)軌上，a從斜軌上高0.050m處無初速釋放。求：（1）回路中的最大感應(yīng)電流是多少？（2）如果導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)，當導(dǎo)體棒b的速度達到最大值時，導(dǎo)體棒a的加速度是多少？圖7解析：（1）a棒在沒有磁場的傾斜軌道上下滑時，機械能守恒，設(shè)進入水平軌道時a棒的速度，此時a棒速度最大，進入磁場切割磁感線，產(chǎn)生的感應(yīng)電流最大（2）當a、b棒組成的閉合回路中有感應(yīng)電流時，a、b棒都受安培力作用，a棒受安培力向右、摩擦力向右，b棒受安培力向左，摩擦力向右。因為所以b棒開始向左加速。a棒是向左做減速運動，b棒的速度增大時，電路中的感應(yīng)電流減小，b棒受的安培力在減小，當電流減為I”時b棒勻速運動，這時滿足：此時a棒受到的摩擦力和安培力方向都向右，a棒的加速度為：金屬棒在勻強磁場中的運動歸類一、滑軌上只有一個導(dǎo)體棒的問題滑軌上只有一個導(dǎo)體棒的問題，分兩類情況：一種是含電源閉合電路的導(dǎo)體棒問題，另一種是閉合電路中的導(dǎo)體棒在安培力之外的力作用下的問題。（一）含電源閉合電路的導(dǎo)體棒問題例1 如圖1所示，水平放置的光滑導(dǎo)軌MN、PQ上放有長為L、電阻為R、質(zhì)量為m的金屬棒ab，導(dǎo)軌左端接有內(nèi)阻不計、電動勢為E的電源組成回路，整個裝置放在豎直向上的勻強磁場B中，導(dǎo)軌電阻不計且足夠長，并與電鍵S串聯(lián)。當閉合電鍵后，求金屬棒可達到的最大速度。圖1解析 閉合電鍵后，金屬棒在安培力的作用下向右運動。當金屬棒的速度為v時，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，它與電源電動勢為反接，從而導(dǎo)致電路中電流減小，安培力減小，金屬棒的加速度減小，即金屬棒做的是一個加速度越來越小的加速運動。但當加速度為零時，導(dǎo)體棒的速度達到最大值，金屬棒產(chǎn)生的電動勢與電源電動勢大小相等，回路中電流為零，此后導(dǎo)體棒將以這個最大的速度做勻速運動。金屬板速度最大時，有解得點評 本題的穩(wěn)定狀態(tài)是金屬棒最后的勻速運動；穩(wěn)定條件是金屬棒的加速度為零（安培力為零，棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢與電源電動勢大小相等）（二）閉合電路中的導(dǎo)體棒在安培力之外的力作用下的問題1. 導(dǎo)體棒在外力作用下從靜止運動問題例2（全國高考題）如圖2，光滑導(dǎo)體棒bc固定在豎直放置的足夠長的平行金屬導(dǎo)軌上，構(gòu)成框架abcd，其中bc棒電阻為R，其余電阻不計。一質(zhì)量為m且不計電阻的導(dǎo)體棒ef水平放置在框架上，且始終保持良好接觸，能無摩擦地滑動。整個裝置處在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直框面。若用恒力F向上拉ef，則當ef勻速上升時，速度多大？圖2解析 本題有兩種解法。方法一：力的觀點。當棒向上運動時，棒ef受力如圖3所示。當ef棒向上運動的速度變大時，ef棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢變大，感應(yīng)電流I=E/R變大，它受到的向下的安培力F安=BIL變大，因拉力F和重力mg都不變，故加速度變小。因此，棒ef做加速度越來越小的變加速運動。當a=0時（穩(wěn)定條件），棒達到最大速度，此后棒做勻速運動（達到穩(wěn)定狀態(tài)）。當棒勻速運動時（設(shè)速度為），由物體的平衡條件有圖3點評 應(yīng)用力學(xué)觀點解導(dǎo)體棒問題的程度：(a)分析棒的受力情況，判斷各力的變化情況；(b)分析棒的運動情況，判斷加速度和速度的變化情況；(c)分析棒的最終運動情況，依平衡條件或牛頓第二定律列方程。方法二：能量觀點。當導(dǎo)體棒ef以最大速度勻速運動以后，拉力做功消耗的能量等于棒重力勢能的增加和bc部分產(chǎn)生的熱量Q之和。設(shè)棒勻速運動的時間為t，則有點評 ef棒的運動盡管在達到最大速度以前為變速運動，產(chǎn)生的感應(yīng)電流及感應(yīng)電動勢都在變化，但達到最大速度以后，感應(yīng)電流及感應(yīng)電動勢均恒定，故計算熱量可以用計算。求導(dǎo)體棒的最大速度問題，要會抓住速度最大之后速度不變這一關(guān)鍵條件，運用能量觀點處理，往往會使運算過程簡潔。求導(dǎo)體棒的最大速度問題，可以運用力的觀點和能量觀點的任一種，但兩種方法所研究的運動過程卻不同。力觀點研究分析的是棒達到最大速度為止的以前的運動過程，而能量觀點研究的是從棒達到最大速度開始以后做勻速運動的一段過程。要注意這兩種觀點所研究運動過程的不同。2. 外力作用下有初速問題例3 如圖4所示，勻強磁場豎直向上穿過水平放置的金屬框架，框架寬為L，右端接有電阻為R，磁感應(yīng)強度為B，一根質(zhì)量為m、電阻不計的金屬棒受到外力沖量后，以的初速度沿框架向左運動，棒與框架的動摩擦因數(shù)為，測得棒在整個運動過程中，通過任一截面的電量為q，求：（1）棒能運動的距離？（2）R上產(chǎn)生的熱量？解析 （1）在整個過程中，棒運動的距離為S，磁通量的變化 通過棒的任一截面的電量 解得（2）根據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒定律，金屬棒的動能的一部分克服摩擦力做功，一部分轉(zhuǎn)化為電能，電能又轉(zhuǎn)化為熱能Q，即有點評 本題的棒與框架無論有無摩擦，棒的最終狀態(tài)是靜止。不過，無摩擦?xí)r，原來棒的動能全部要轉(zhuǎn)變成R上產(chǎn)生的熱量。二、滑軌上有兩個導(dǎo)體棒的運動問題滑軌上有兩個導(dǎo)體棒的運動問題，還分為兩種：一種是初速度不為零，無安培力之外的力作用下的問題，另一種是初速度為零，有安培力之外的力作用下的問題。（一）初速度不為零，無安培力之外的力作用的問題1. 兩棒各以不同的初速度做勻速運動問題例4 如圖5所示，相距d的平行光滑金屬長導(dǎo)軌固定在同一水平面上處于豎直的勻強磁場中，磁場的磁感應(yīng)強度為B，導(dǎo)軌上面橫放著兩條金屬細桿ab、cd構(gòu)成矩形回路，每條金屬細桿的電阻為R，回路中其余部分的電阻可忽略不計。已知ab、cd分別以2v、v的速度向右勻速運動，求兩金屬細桿運動t秒后，共產(chǎn)生多少熱量？解析 以整個回路為研究對象，t秒后磁通量的變化回路中的感應(yīng)電動勢回路中的感應(yīng)電流 產(chǎn)生的熱量 點評 本題的關(guān)鍵，是把兩桿及導(dǎo)軌構(gòu)成的回路作為研究對象，利用法拉第電磁感應(yīng)定律求電動勢E。如果用E=BLv求每桿的電動勢，再求回路總電動勢，那就要涉及到中學(xué)階段不要求的反電動勢問題。2. 兩棒之一有初速度的運動問題例5 在例4中，兩棒的質(zhì)量均為m。若開始用一水平?jīng)_擊力使ab獲得一沖量I，使其沿軌道向右運動，而cd無初速度。求ab棒在整個過程中產(chǎn)生的焦耳熱？解析 ab棒獲得速度，就開始向右切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而ab棒在磁場力作用下做減速運動，cd棒做加速運動，當兩棒速度相等時，兩棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小相等，在回路中方向相反，感應(yīng)電流為零，磁場力也為零。此后兩棒以相同的速度v做勻速運動（達到穩(wěn)定狀態(tài)）。在這個過程中，兩棒組成的系統(tǒng)所受外力之和為零，系統(tǒng)動量守恒，有v=。在上述過程中，系統(tǒng)損失的動能先轉(zhuǎn)化為電能，電流通過電阻后又轉(zhuǎn)化為焦耳熱。又因為兩棒電阻相同，產(chǎn)生的焦耳熱相等，故有故ab棒在整個過程中產(chǎn)生的焦耳熱（二）初速度為零，有安培力之外的力作用下的問題1. 初速度為零，有安培力之外的恒力作用下的問題例6（03年高考理綜卷）兩根平行的金屬導(dǎo)軌，固定在同一水平面上，磁感應(yīng)強度B=0.50T的勻強磁場與導(dǎo)軌所在平面垂直，導(dǎo)軌的電阻很小，可忽略不計。導(dǎo)軌間的距離L=0.20m。兩根質(zhì)量均為m=0.10kg的平行金屬桿甲、乙可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動，滑動過程中與導(dǎo)軌保持垂直，每根金屬桿的電阻為。在t=0時刻，兩桿都處于靜止狀態(tài)?，F(xiàn)有一與導(dǎo)軌平行、大小為0.20N的恒力F作用于金屬桿上，使金屬桿在導(dǎo)軌上滑動。（1）若經(jīng)過t=5.0s，金屬桿甲的加速度為，問此時兩金屬桿的速度各為多少？（2）若經(jīng)過10s，電路中的電功率達到最大值。問第10s末，金屬桿甲的加速度是多少？兩金屬桿的速度各是多少？解析 （1）設(shè)任一時刻t兩金屬桿甲、乙之間的距離為x，速度分別為，經(jīng)過很短的時間t，桿甲移動距離，桿乙移動距離，回路面積改變由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動勢由閉合電路歐姆定律，回路中電流對甲由牛頓第二定律，有由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等、方向相反，所以兩桿的動量（t=0時為0）等于外力F的沖量聯(lián)立以上各式解得代入數(shù)據(jù)得（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可知，甲、乙兩桿的速度差越大，感應(yīng)電動勢越大。開始階段，甲桿的加速度大于乙桿的加速度，甲桿的速度比乙桿的速度增加得快，因而速度差不斷增大，直到兩桿加速度相等，即（穩(wěn)定條件）時，兩桿達到穩(wěn)定狀態(tài)均做加速度相同的勻加速運動