數(shù)學(xué)北師大版八年級上冊三角形的內(nèi)角和定理的證明.doc

【課 題】 7.5三角形內(nèi)角和定理【教材版本】新課程北師大版八年級上冊第七章第五節(jié)【學(xué)習(xí)目標】1、知識與技能目標：學(xué)生由對三角內(nèi)角和定理感性認識上升到理性推理證明，掌握三角形內(nèi)角和定理的證明及簡單應(yīng)用。2、過程與方法目標：學(xué)生親歷探索撕紙過程對比，體會思維實驗和符號化的理性運用，在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發(fā)展合情推理能力，逐步養(yǎng)成邏輯推理能力，并形成一定的邏輯思維能力。3、情感態(tài)度與價值觀目標：經(jīng)歷三角形內(nèi)角和定理不同種方法的推理證明過程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性，弘揚個性發(fā)展，體驗解決問題的成就感，體會數(shù)學(xué)證明的嚴謹性和推理意義，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感悟邏輯推理的數(shù)學(xué)價值?！窘滩姆治觥?、內(nèi)容分析三角形內(nèi)角和定理是“空間與圖形”中的一個很重要的定理。(1)它為以后學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)角和定理奠定基礎(chǔ)。(2)實際生活、生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。(3)是求角度的有力工具（有時非它不可）。三角形內(nèi)角和定理的證明過程為學(xué)生建立數(shù)學(xué)思想方法和邏輯推理能力提供一個發(fā)展提高平臺，其論證過程總體體現(xiàn)為化歸思想。學(xué)過之后，這種思想方法可以類比運用到其它問題的探索與解決過程之中，其說理過程將成為“普通語言向符號語言轉(zhuǎn)化”的可能，這一可能將隨時間的推移與知識的積攢成為現(xiàn)實。在證明過程中，學(xué)生從中學(xué)到的不僅僅是知識、方法及數(shù)學(xué)邏輯，他們克服困難的勇氣及對問題的好奇心和互相評價，學(xué)習(xí)方式的選擇等等方面都將大有收獲，說明了本節(jié)教材內(nèi)容對學(xué)生非智力因素的影響還是非常大的。 2、學(xué)情分析：（1）學(xué)生已經(jīng)在小學(xué)和七年級的時候接觸過三角形內(nèi)角和定理，并且進行了猜想與驗證及口頭說理過程。這為證明三角形內(nèi)角和定理提供了認知基礎(chǔ)。 （2）從學(xué)生的學(xué)習(xí)動機與需要上看，他們有探究新事物的欲望和好奇心，這為探究三角形內(nèi)角和定理的證明策略及方法提供了情感保障。（3）學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和定理的證明過程中，其認知順序可能是建構(gòu)型的。平行線是其原有知識儲備的主要圖式，他們利用原有圖式完全可以同化三角形內(nèi)角和定理?！局攸c難點】重點：以三角形內(nèi)角和定理的證明為載體，學(xué)習(xí)幾何證明思想，以及輔助線的有關(guān)知識，體會數(shù)形結(jié)合思想。難點：輔助線添加的必要性和具體方法：（1）為什么要添加；（2）在哪里添加；（3）如何添加；（4）哪種添加方法最簡單?！驹O(shè)計思路分析】三角形內(nèi)角和定理是學(xué)生接觸較早的定理之一，其內(nèi)容和應(yīng)用早已為學(xué)生所熟悉。因此，本節(jié)課需要重點解決的問題是定理的證明；在定理證明中，學(xué)生將首次接觸和應(yīng)用輔助線，于是，在證明中“為什么要添加輔助線”、“如何添加輔助線”就必然成為本節(jié)課的重點。本課基本定位在于，通過三角形內(nèi)角和定理證明的教學(xué)實踐、感受幾何證明的思想，體會輔助線在幾何問題解決中的橋梁作用。同時，引領(lǐng)學(xué)生體會數(shù)學(xué)中的重要思想數(shù)形結(jié)合。借助“撕三角形紙片，拼接，驗證三角形內(nèi)角和定理”的過程分析，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生初步體會輔助線及其在證明中的作用。最后，引領(lǐng)學(xué)生進一步體會輔助線添加方法的多樣性，滲透“最優(yōu)化”思想?！窘虒W(xué)過程】（一）情景再現(xiàn)，導(dǎo)入新課【問題1】請同學(xué)們回憶我們以前是怎么發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和為180的呢？你還記得這個結(jié)論的探索過程嗎?學(xué)生：（1）度量：通過度量幾個具體三角形的三個內(nèi)角并求和，可猜測所有三角形的內(nèi)角和為180（其實質(zhì)就是通過量角器這個“橋梁”將三角形的三個內(nèi)角從“數(shù)”的角度進行拼接）.（2）折疊：通過折疊將三角形的三個內(nèi)角“拼接”成一個平角，從而驗證了三角形的內(nèi)角和為180.（3）剪拼：將三角形的三個內(nèi)角減下來，將分散的三個角“搬”到一起，從而構(gòu)成一個平角，從而驗證三角形的內(nèi)角和為180.（通過動手操作拼圖，將分散的三個角“搬”到一起，從而構(gòu)成一個平角或兩角互補，為本節(jié)課引出輔助線做好鋪墊.）命題三角形三個內(nèi)角的和等于180數(shù)度量三個內(nèi)角的度數(shù)并求和等于180測量形三個角拼在一起（1）平角；（2）兩角互補證明 老師：以上三種方法不論是度量還是剪拼實際操作起來都存在誤差，不是很準確，其二是不論是度量還是剪拼只能是有限個，由此得到所有三角形的內(nèi)角和都是180這個結(jié)論是不可靠的 ，我們還要應(yīng)用公理和已經(jīng)證明為真的幾何命題來證明這個結(jié)論才是可靠的. 【設(shè)計意圖】（1）鑒于學(xué)生對證明已有一定的認識和了解，并且對三角形內(nèi)角和已經(jīng)有初步認識，在教學(xué)過程設(shè)計上并沒有從學(xué)生身邊熟悉的事例創(chuàng)設(shè)情境，而是簡單地對三角形內(nèi)角和的知識加以回憶。（2）學(xué)生以前所做的都是特殊的三角形，而且“量一量、拼一拼、折一折”受客觀因素的制約，影響了研究結(jié)果的準確性，況且當(dāng)時有些學(xué)生量出內(nèi)角和的度數(shù)確實要高于或低于180。 （3）學(xué)生的懷疑是正常的，剪拼得到的結(jié)論有一定的合理性，但還需證明來確認，這正是我們這節(jié)課要解決的問題 。（二）活用化歸，證明定理【三角形的內(nèi)角和定理】三角形三個內(nèi)角的和等于180.老師： 這是一個文字命題，若要推理證明，我們需要將其轉(zhuǎn)化成圖形語言和符號語言，根據(jù)題意畫出圖形，寫出“已知”“求證”.我們一起寫出“已知”“求證”.已知:如圖,ABC,求證:A+B+C=180.【問題2】你能找到證明的方法嗎？請同學(xué)們試一試.學(xué)生：延長BC到D,過點C作射線CEAB,這樣,就相當(dāng)于把A移到了ACE的位置,把B移到了ECD的位置.證明：延長BC到D，過點C作直線CEAB,BECD（兩直線平行，同位角相等）, ACE=A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）, ACE+ECD+ACB180,ABACB180（等量代換）.師：同學(xué)們寫得證明過程很好，在證明過程中，我們添畫了射線CE、CD，使處于原三角中不同位置的三個角，巧妙地拼湊到一起來了.為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.我們通過推理的過程，得證了命題：三角形的三個內(nèi)角的和等于180是真命題，這時稱它為定理.即三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180.【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生有“公理化思想”，能運用基本事實和定理證明問題，有學(xué)會運用舊知解決新知，從以前的活動中思考獲取解決的方法，有合作學(xué)習(xí)的能力，有探究新知的能力.（三）開啟智慧，分組探究 師：【問題3】你還能發(fā)現(xiàn)其他的證法嗎？請與同學(xué)交流，試著寫出證明過程.1、教師組織學(xué)生分組討論：有了上面的知識作為鋪墊，我們可以開展探究活動了，看哪組最先找到解決辦法，找到的方法最多.2、在學(xué)生開展探究的過程中，教師參與其中，對個別感到困難的小組可以進行適當(dāng)?shù)奶崾竞鸵龑?dǎo).3、教師指導(dǎo)學(xué)生添加輔助線，給出完整的“三角形內(nèi)角和定理”的證明.4、分組探究，成果展示.教師指導(dǎo)學(xué)生進行全班交流：（1）將學(xué)生找到的添加輔助線的方法進行匯總展示。（2）在展示過程中，注意關(guān)注學(xué)生的表達以及尋找到的添加輔助線的方法，若有不全的，教師進行必要的提示。（3）引導(dǎo)學(xué)生將輔助線添加在三角形的頂部，邊上及三角形內(nèi)、外部均可。然后，進一步引導(dǎo)學(xué)生比較哪種最好?！驹O(shè)計意圖】1、讓學(xué)生在證明的過程中，進一步了解三角形內(nèi)角和定理的證明思路，并且了解一題的多種證法，從而拓寬學(xué)生的思路2、這里是本節(jié)課的一個重點，教師在這里要交代什么是輔助線，添加時要用虛線畫出；輔助線怎么來的在證明開始時要交代清楚，后添加的字母要在證明的開始前交代清楚；規(guī)范書寫格式是自上而下的；有條理的表達上面的分析思路，有一個嚴密的邏輯思維過程。3、三角形內(nèi)角和的證明實質(zhì)是利用化歸思想將三角形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為“平角等于180”或“兩直線平行同旁內(nèi)角和等于180這一點應(yīng)向?qū)W生交代清楚4、給學(xué)生充分的自我展示的機會，盡量發(fā)現(xiàn)更多的添加輔助線的方法。（四）辨析正誤，深化理解1. 小明是這樣證明的，你認為正確嗎？在ABC內(nèi)任取一點O，連 接 AO、BO 、CO，即把ABC分成三個三 角形，可得等量關(guān)系A(chǔ)OB、 AOC 、BOC 三個的內(nèi)角和減去360就是ABC 的內(nèi)角和. 設(shè)三角形的內(nèi)角和為X度 ， 于是有方程3X- 360 =X, 解得 X=180 ,即三角形的內(nèi)角和為180 .2.小麗是這樣證明的，你認為正確嗎？作ADBC于點D，在RtABD中，B+BAD=90,在RtACD中，C+CAD=90，B+C+BAC=180.（五）實踐應(yīng)用，培養(yǎng)能力【三角形內(nèi)角和定理】三角形的三個內(nèi)角和等于180.符號語言：在ABC中, A+B+C=180；兩種變形（1）在ABC中, A=180 (B+C)；(2)在ABC中, A+B=180 C.（六）實踐應(yīng)用，培養(yǎng)能力【例1】（1）四邊形的內(nèi)角和為_; （2）五邊形的內(nèi)角和為_; （3）六邊形的內(nèi)角和為_; （4）n邊形的內(nèi)角和為_.【例2】如圖，ab ,12=75,則34=_.【例3】一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示，若3 = 50，則1+2 =_.（八）暢談收獲，反思升華本節(jié)課，我們證明了一個很有用的三角形內(nèi)角和定理。在三角形中，求角的大小可將被求角看作三角形的內(nèi)角來求。證明的基本思想是：借助輔助線將原三角形中處于不同位置的三個內(nèi)角集中在一起，拼成一個平角或兩個互補的角通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些收獲? （九）課外作業(yè)，鞏固練習(xí)1、基礎(chǔ)作業(yè)：習(xí)題7.6 ： 2、3、4、2、探究作業(yè)： 在ABC內(nèi)有2011個點，這2011個點任意三點不共線，加上ABC的三頂點共2014個點，把這2014個點連線形成互不重疊的三角形，則一共可以形成三角形的個數(shù)為_.3、擴展閱讀: 在平面上，三角形的內(nèi)角和為180，在球面上，“三角形”的內(nèi)角和還為180嗎？請有興趣的同學(xué)查閱非歐幾何的相關(guān)資料. 【板書設(shè)計】7.5三角形內(nèi)角和定理 【三角形的內(nèi)角和定理】三角形的三個內(nèi)角的和等于180. 證明:過點A作PQBC , PAB=B(兩直線平行,內(nèi)錯角相等）QAC=C(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)BAC+B+C=180 (平角的定義)BAC+B+C=180 (等量代換).【教學(xué)反思】 三角形的有關(guān)知識是“空間與圖形”中最為核心、最為重要的內(nèi)容，它不僅是最基本的直線型平面圖形，而且?guī)缀跏茄芯克衅渌鼒D形的工具和基礎(chǔ).而三角形內(nèi)角和定理又是三角形中最為基礎(chǔ)的知識，也是學(xué)