高考數(shù)學一輪總復習 （基礎(chǔ)輕過關(guān)+考點巧突破）第二章 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性課件 理 新人教版.ppt

第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性 1 函數(shù)的奇偶性的定義 1 對于函數(shù)f x 的定義域內(nèi)任意一個x 都有 或 則稱f x 為奇函數(shù) 奇函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱 2 對于函數(shù)f x 的定義域內(nèi)任意一個x 都有 或 則稱f x 為偶函數(shù) 偶函數(shù)的圖象關(guān)于 軸對稱 3 通常采用圖象或定義判斷函數(shù)的奇偶性 具有奇偶性的函數(shù) 其定義域關(guān)于原點對稱 也就是說 函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱 原點 f x f x f x f x 0 f x f x 0 y f x f x 2 函數(shù)的周期性的定義對于函數(shù)f x 如果存在一個 t 使得定義域內(nèi)的每一個x值 都滿足 那么函數(shù)f x 就叫做周期函數(shù) 非零常數(shù)t叫做這個函數(shù)的 非零常數(shù) f x t f x 周期 d a 奇函數(shù)b 偶函數(shù)c 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)d 非奇非偶函數(shù) c 2 下列函數(shù)中 在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的是 c a y軸對稱c 坐標原點對稱 b 直線y x對稱d 直線y x對稱 4 2012年廣東廣州一模 若函數(shù)f x ln x2 ax 1 是偶函數(shù) 則實數(shù)a的值為 0 5 設(shè)f x 是 上的奇函數(shù) f x 2 f x 當 0 x 1時 f x x 則f 7 5 0 5 解析 由f x 2 f x 得f x 4 f x 故f x 是以4為周期的函數(shù) 故f 7 5 f 0 5 8 f 0 5 又f x 是 上的奇函數(shù) 且當0 x 1時 f x x 所以f 7 5 f 0 5 f 0 5 0 5 考點1判斷函數(shù)的奇偶性例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性 解 1 函數(shù)的定義域為x 關(guān)于原點對稱 f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x f x x 1 x 1 是奇函數(shù) 2 此函數(shù)的定義域為 x x 0 由于定義域關(guān)于原點不對稱 故f x 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 3 去掉絕對值符號 根據(jù)定義判斷 故f x 的定義域為 1 0 0 1 關(guān)于原點對稱 且有x 2 0 故f x 為奇函數(shù) 4 函數(shù)f x 的定義域是 0 0 當x 0時 x 0 f x x 1 x x 1 x f x x 0 當x 0時 x 0 f x x 1 x f x x 0 故函數(shù)f x 為奇函數(shù) 5 此函數(shù)的定義域為 1 1 且f x 0 可知圖象既關(guān)于原點對稱 又關(guān)于y軸對稱 故此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) f x 是奇函數(shù) 1 函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個整體性質(zhì) 定義域具有對稱性 即若奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域為d 則x d時都有 x d 是一個函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件 因此判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)首先考慮函數(shù)的定義域 2 分段函數(shù)的奇偶性一般要分段證明 3 用定義判斷函數(shù)的奇偶性的步驟是 定義域 關(guān)于原點對稱 驗證f x f x 下結(jié)論 還可以利用圖象法或定義的等 互動探究 域均為r 則 b a f x 與g x 均為偶函數(shù)c f x 與g x 均為奇函數(shù) b f x 為偶函數(shù) g x 為奇函數(shù)d f x 為奇函數(shù) g x 為偶函數(shù) 1 2010年廣東 若函數(shù)f x 3x 3 x與g x 3x 3 x的定義 d 考點2 利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式 互動探究 3 2011年廣東廣州綜合測試 已知函數(shù)f x 是定義在r上的偶函數(shù) 當x 0時 f x x3 x2 則當x 0時 f x 的解析式為 f x x3 x2 4 2011年安徽 設(shè)f x 是定義在r上的奇函數(shù) 當x 0時 f x 2x2 x 則f 1 a a 3 b 1 c 1 d 3 解析 f 1 f 1 2 1 2 1 3 故選a 考點3 函數(shù)奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用 a 值的方法 關(guān)鍵是通過周期性和奇偶性 把自變量 轉(zhuǎn)化到區(qū)間 本題主要考查利用函數(shù)的周期性和奇偶性求函數(shù) 52 0 1 上進行求值 互動探究 5 2011年山東 已知f x 是r上最小正周期為2的周期函數(shù) 且當0 x 2時 f x x3 x 則函數(shù)y f x 的圖象在區(qū)間 0 6 上 與x軸的交點的個數(shù)為 b a 6 b 7 c 8 d 9 解析 因為當0 x 2時 f x x3 x 又因為f x 是r上最小正周期為2的周期函數(shù) 且f 0 0 所以f 6 f 4 f 2 f 0 0 又因為f 1 0 所以f 3 0 f 5 0 故函數(shù)y f x 的圖象在區(qū)間 0 6 上與x軸的交點的個數(shù)為7個 故選b d a a b cc c b a b b a cd c a b 易錯 易混 易漏5 判斷函數(shù)奇偶性時沒有考慮定義域 正解 的定義域相同 均為 2 2 且均有f x f x 所以都是奇函數(shù) 的定義域為 2 2 且有f x f x 所以為偶函數(shù) 而 的定義域為 2 不對稱 因此為非奇非偶函數(shù) 失誤與防范 在判斷一個函數(shù)的奇偶性時 必須注意其定義域 一個函數(shù)具有奇偶性的前提是此函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱 對于函數(shù)f x 定義域中的任意x 總存在一個常數(shù)t t 0 使得f x t f x 恒成立 則t是函數(shù)y f x 的一個周期 1 若函數(shù)y f x 滿足f x a f x a a 0 則t 2a是它 的一個周期 2 若函數(shù)y f x 滿足f x a f x a 0 則t 2a是它的 一個周期 3 若函數(shù)y f x 滿足f x a 1f x a 0 則t 2a是它的 一個周期 4 若函數(shù)y f x 滿足f x a 1f x a 0 則t 2a是它的一 個周期 1 f x 1 f x a 0 則t 2a是它 5 若函數(shù)y f x 滿足f x a 的一個周期 6 若函數(shù)y f x x r 的圖象關(guān)于直線x a與x b對稱 則t 2 b a 是它的一個周期 7 若函數(shù)y f x x r 的圖象關(guān)于點 a 0 與x b對稱 則t 4 b a 是它的一個周期 對于函數(shù)f x 的定義域內(nèi)任意一個