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第九章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用第九章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念1、求下列各函數(shù)的定義域,并作出其草圖.(1) ; 解: 定義域,圖略(2) ;解: 由得:定義域,圖略(3) 解: 由得:定義域,圖略設(shè),求解:令,得: 代入得故3、求下列極限:(1) ; 解: (直接代入)原式= (2) ;解:原式=(3); 解:原式= 4、判斷下列極限是否存在,若存在,求出極限值(1);解:當(dāng)時,令,則,其值與有關(guān),故極限不存在(2);解:當(dāng)時,有,故5、設(shè),求和試問:極限是否存在?為什么?解: ,極限不存在,因為當(dāng)時,令,其值與有關(guān)6、研究函數(shù)的連續(xù)性(在哪些點連續(xù),哪些點不連續(xù))解:,故函數(shù)在處不連續(xù),其它處均連續(xù)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)填空題:(1) 在處均存在是在該點連續(xù)的 既非充分也非必要 條件;(2)曲線在點處的切線與軸正向所成的角是;(3)設(shè),則,;(4)設(shè),則,2求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù):(1) ;解: , (2) 解: ,(3) ;解: ,3求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù):(1)解: ,(2) ;解: ,4設(shè)函數(shù)判斷其在點處的連續(xù)性和偏導(dǎo)數(shù)是否存在解: 1)故函數(shù)在點處連續(xù);2),極限不存在,故此點處關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)不存在第三節(jié) 全微分填空選擇題:(1)二元函數(shù)在點處可微的充分必要條件是,其中,為表達式,(2) 在點處存在的充分條件為的全部二階偏導(dǎo)數(shù)均存在; 連續(xù);的全部一階偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù); 連續(xù)且均存在2求函數(shù)當(dāng),時的全增量和全微分解:3求下列函數(shù)的全微分:(1) 解: ,(2) 解: ,(3) 解: ,4討論函數(shù)在點處的可導(dǎo)性與可微性解:, ,故函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)存在;但,其中易知當(dāng)沿直線趨于時此極限不存在。故函數(shù)在點處不可微第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或全導(dǎo)數(shù):(1) ,解:= (2) ,其中可導(dǎo)解: (3) ,其中可導(dǎo)解: =(4)設(shè),求解: (5) ,解:= 2求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù):(1) ,其中可導(dǎo),求,解: (2) ,其中可導(dǎo),求,解: ,= ,=(3) 設(shè),其中二階可導(dǎo),求,解: ,=(4) 設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求,解: ,=3已知函數(shù),可導(dǎo),驗證滿足證明:,故第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1設(shè)方程確定了隱函數(shù),求解:(公式法)令, 則, 提示:另還可用兩邊直接對自變量求偏導(dǎo)或兩邊求全微分的方法,過程略。下同。2設(shè)方程確定了隱函數(shù),求,解:(公式法)令,則,=3設(shè)方程確定了隱函數(shù),求,解:令,則, =4設(shè)隱函數(shù)由方程所確定,證明證明:,,=,故5求下列方程組所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù):(1)設(shè),求,解: 方程組兩邊直接對自變量求偏導(dǎo),得:故,(2)設(shè),求,解: 方程組兩邊直接對自變量求偏導(dǎo),得:故=,=同理可得到:=,=6設(shè)而是由所確定的的函數(shù),其中均有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),求解:聯(lián)立方程組兩邊直接對自變量求偏導(dǎo),得:故第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用1求曲線在對應(yīng)的點處的切線方程和法平面方程解:切向量曲線在對應(yīng)的點處的切線方程為:,法平面方程為:,即2求曲線在點處的切線方程及法平面方程解:用隱函數(shù)組求導(dǎo)的方法得到,點處的切向量曲線在對應(yīng)點處的切線方程為:,法平面方程為:3求曲面在點處的切平面方程和法線方程解: 法向量故所求切平面方程為即法線方程為:4求橢球面上某點處的切平面的方程,使平面過已知直線解:設(shè)點的坐標(biāo)為 ,則切平面的法向量,直線過點,且方向向量為,故有,解得或所求切平面方程為或注:上題中在直線上任取兩點的坐標(biāo)代入平面的方程,同樣可求得點,過程略5設(shè)是可微函數(shù),證明:曲面的切平面平行于某定直線證明:曲面在任意點處切平面的法向量,設(shè)向量,有,即,就是過點的某直線的方向向量(常向量),該直線就是所求平行于切平面的定直線第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度1填空題:(1) 在點處均存在是在該點的方向?qū)?shù)存在的既不充分也不必要條件(2) 函數(shù)在點沿方向的方向?qū)?shù)最大,其最大值是2求函數(shù)在點處沿著拋物線在該點處偏向軸正向的切線方向的方向?qū)?shù)解: ,=3求函數(shù)在點處沿著錐面的外法線方向的方向?qū)?shù)解: ,錐面的外法線方向為,其方向余弦為,+=4設(shè),求,并求函數(shù)沿該梯度方向的方向?qū)?shù)解:,=,第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法1填空題:(1)二元函數(shù)的極值只可能在駐點和_不可導(dǎo)點_處取得(2)若函數(shù)在點處具有偏導(dǎo)數(shù),且在點處有極值,則有_0_,_0_2求函數(shù)的極值解:由得駐點,對四個駐點分別計算,易知,處都有,故都不是極值點,而處,所以當(dāng)時,函數(shù)在此點取得極小值,當(dāng)時,函數(shù)在此點取得極大值3求由確定的函數(shù)的極值解:令由隱函數(shù)求導(dǎo)得得駐點, 代入原方程得:,解得,由方程知此曲面為橢球面,故函數(shù)的極大值為,極小值為4求函數(shù)在閉區(qū)域上的最大值和最小值解: (1)求內(nèi)的駐點:由得,無零點,故內(nèi)無駐點,函數(shù)的最值只能在邊界上達到;(2) 求函數(shù)在邊界上的最值當(dāng)時,同理可討論另外三條邊界,得函數(shù)的最大值在處達到,最小值在,三點處達到5經(jīng)過第一卦限中的點作平面與三坐標(biāo)軸相交,如何作法使該平面與坐標(biāo)面圍成的四面體體積最小解:設(shè)該平面方程為,則有,目標(biāo)函數(shù):四面體體積,作拉格朗日函數(shù)由得駐點由于駐點唯一且此問題定有最小值存在,故知作該平面與三坐標(biāo)軸的截距分別為時,滿足題意。6求函數(shù)在條件,下的極值解: 作拉格朗日函數(shù)由得駐點,兩曲面,的交線為一個圓心在原點,半徑為的大圓,易得函數(shù)在三點處有極小值,在三點處有極大值第八章綜合練習(xí)1用不等式和圖形表示下列二元函數(shù)的定義域:(1)解: 定義域:,圖略(2)解: 定義域:,圖略 2求下列函數(shù)的極限:(1)解: 原式=(直接代入)(2) 解: 原式=(無窮小量乘有界量)3求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù):(1),求解: ;(2),求解:, ,4求下列函數(shù)的全微分:(1);解: ,;(2)解: 5已知,而是方程確定的的函數(shù),求解: 方程組確定隱函數(shù)組,將它兩邊直接對自變量求偏導(dǎo),得:故6設(shè)由方程確定,求和解: =,=7設(shè)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且滿足,證明:也滿足證明:,8在螺旋線上求一點,使曲線在該點的切線平行于平面解: 切向量平面的法向量為法向量由得, 故所求點為或9求函數(shù)在點處沿向量方向的方向?qū)?shù)解:方向余弦為,+=10設(shè),試問:參數(shù)滿足什么條件時有唯一極大值?有唯一極小值?

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