高考數(shù)學(xué) 第五章 第二節(jié) 等差數(shù)列課件 理 蘇教版.pptVIP

第二節(jié)等差數(shù)列 1 等差數(shù)列的定義 1 條件 一個(gè)數(shù)列從 起 每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于 常數(shù) 2 公差 常數(shù)叫公差 用字母d表示 3 定義表達(dá)式 第二項(xiàng) 同一個(gè) an 1 an d n n 2 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)是a1 公差是d 則其通項(xiàng)公式為an 3 等差中項(xiàng)若a a b這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 那么a a叫做a和b的等差中項(xiàng) a1 n 1 d 4 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 判斷下面結(jié)論是否正確 請?jiān)诶ㄌ栔写?或 1 若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù) 則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列 2 數(shù)列 an 為等差數(shù)列的充要條件是對任意n n 都有2an 1 an an 2 3 等差數(shù)列 an 的單調(diào)性是由公差d決定的 4 數(shù)列 an 為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù) 5 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù) 解析 1 錯(cuò)誤 若這些常數(shù)都相等 則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列 若這些常數(shù)不全相等 這個(gè)數(shù)列就不是等差數(shù)列 2 正確 如果數(shù)列 an 為等差數(shù)列 根據(jù)定義an 2 an 1 an 1 an 即2an 1 an an 2 反之 若對任意n n 都有2an 1 an an 2 則an 2 an 1 an 1 an an an 1 a2 a1 根據(jù)定義數(shù)列 an 為等差數(shù)列 3 正確 當(dāng)d 0時(shí)為遞增數(shù)列 d 0時(shí)為常數(shù)列 d 0時(shí)為遞減數(shù)列 4 錯(cuò)誤 根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an a1 n 1 d dn a1 d 只有當(dāng)d 0時(shí) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式才是n的一次函數(shù) 否則不是 5 錯(cuò)誤 根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 sn na1 顯然只有公差d 0時(shí)才是n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù) 否則不是 甚至也不是n的一次函數(shù) 即a1 d 0時(shí) 答案 1 2 3 4 5 1 在等差數(shù)列 an 中 已知a1 2 a2 a3 13 則a4 a5 a6等于 解析 方法一 a2 a3 a1 d a1 2d 2a1 3d 13 又 a1 2 d 3 a4 a5 a6 a1 3d a1 4d a1 5d 3a1 12d 3 2 12 3 42 方法二 a1 a2 a3 3a2 15 a2 5 d 3 a5 a1 4d 14 a4 a5 a6 3a5 3 14 42 答案 42 2 等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 若a2 1 a3 3 則s4 解析 方法一 由a2 1 a3 3知d a3 a2 2 a1 a2 d 1 方法二 a2 a4 2a3 6 a4 6 a2 5 a1 a2 a3 a2 2a2 a3 1 s4 答案 8 3 已知 an 是等差數(shù)列 且a3 a9 4a5 a2 8 則該數(shù)列的公差是 解析 因?yàn)閍3 a9 4a5 所以根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得 a6 2a5 所以a1 5d 2a1 8d 又因?yàn)閍2 8 即a1 d 8 所以可得公差d 4 答案 4 4 1與 1的等差中項(xiàng)是 解析 1與 1的等差中項(xiàng)為答案 5 在等差數(shù)列 an 中 a5 10 a12 31 則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 解析 a5 a1 4d a12 a1 11d 解得 an a1 n 1 d 2 n 1 3 3n 5 答案 an 3n 5 6 在等差數(shù)列 an 中 d 2 n 15 an 10 則sn 解析 由an a1 n 1 d 得 10 a1 15 1 2 解得a1 38 sn 360 答案 360 考向1等差數(shù)列的基本運(yùn)算 典例1 1 已知 an 為等差數(shù)列 且a7 2a4 1 a3 0 則公差d 2 設(shè)sn為等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 若a2 1 a4 5 則s5等于 3 2013 蘇州模擬 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 且a5 a13 34 s3 9 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式 思路點(diǎn)撥 1 根據(jù)已知和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得關(guān)于a1 d的方程組 解方程組即得 2 根據(jù)a2 1 a4 5 得關(guān)于a1 d的方程組求出a1 d 再使用求和公式 或者直接使用等差數(shù)列性質(zhì) 3 根據(jù)a5 a13 34 s3 9可得關(guān)于a1 d的方程組 根據(jù)這個(gè)方程確定a1 d的關(guān)系即可確定所求 規(guī)范解答 1 由a7 2a4 1 a3 0 得得答案 2 方法一 由題意得即故s5 5a1 2 15 方法二 答案 15 3 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 由已知得故an 2n 1 sn n2 互動(dòng)探究 本例題 2 中條件不變 則sn 解析 在本例題 2 的方法一中已經(jīng)求解出所以 n2 2n 答案 n2 2n 拓展提升 1 等差數(shù)列運(yùn)算問題的通性通法等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d 然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程 組 求解 2 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用方法根據(jù)不同的已知選用兩個(gè)求和公式 如已知首項(xiàng)和公差 則使用公式sn na1 若已知通項(xiàng)公式 則使用公式sn 變式備選 已知等差數(shù)列 an 中 a5 1 a3 a2 2 則s11 解析 由a3 a2 2 得公差d a3 a2 2 由a5 a1 4 2 1 得a1 7 所以s11 11 7 2 33 答案 33 考向2等差數(shù)列的判定 典例2 1 若 an 是公差為1的等差數(shù)列 則 a2n 1 2a2n 是公差為 的等差數(shù)列 2 已知sn為等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 bn n n 求證 數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 思路點(diǎn)撥 1 構(gòu)造新數(shù)列cn a2n 1 2a2n 根據(jù)cn 1 cn是否對任意正整數(shù)n都等于同一個(gè)常數(shù)作出判斷 2 證明bn 1 bn對任意正整數(shù)n都等于同一個(gè)常數(shù) 或者利用等差中項(xiàng)的方法證明任意的三項(xiàng)都成等差數(shù)列 規(guī)范解答 1 設(shè) an 的公差為d 則d 1 設(shè)cn a2n 1 2a2n 則cn 1 a2n 1 2a2n 2 cn 1 cn a2n 1 2a2n 2 a2n 1 2a2n 6d 6 答案 6 2 方法一 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d sn na1 n n 1 d bn a1 n 1 d bn 1 bn a1 nd a1 n 1 d 常數(shù) 數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 方法二 bn a1 n 1 d bn 1 a1 nd bn 2 a1 n 1 d bn 2 bn a1 n 1 d a1 n 1 d 2a1 nd 2bn 1 因此bn 2 bn 1 bn 1 bn bn bn 1 b2 b1 數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 拓展提升 等差數(shù)列的四個(gè)判定方法 1 定義法 證明對任意正整數(shù)都有an 1 an等于同一個(gè)常數(shù) 2 等差中項(xiàng)法 證明對任意正整數(shù)都有2an 1 an an 2后 可遞推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根據(jù)定義得出數(shù)列 an 為等差數(shù)列 3 通項(xiàng)公式法 得出an pn q后 得an 1 an p對任意正整數(shù)n恒成立 根據(jù)定義判定數(shù)列 an 為等差數(shù)列 4 前n項(xiàng)和公式法 得出sn an2 bn后 根據(jù)sn an的關(guān)系 得出an 再使用定義法證明數(shù)列 an 為等差數(shù)列 提醒 等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項(xiàng)法 而對于通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的方法主要適合在選擇題中簡單判斷 變式訓(xùn)練 設(shè)sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 sn pnan n n a1 a2 1 求常數(shù)p的值 2 求證 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 解析 1 sn pnan a1 a2 a1 pa1 p 1 2 由 1 知 sn nan 當(dāng)n 2時(shí) an sn sn 1 nan n 1 an 1 整理可得 n 1 an an 1 0 an an 1 0 n 2 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 考向3等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和的最值問題 典例3 1 2012 遼寧高考 在等差數(shù)列 an 中 已知a4 a8 16 則該數(shù)列前11項(xiàng)和s11 2 在等差數(shù)列 an 中 a3 a7 37 則a2 a4 a6 a8 3 2013 連云港模擬 已知在等差數(shù)列 an 中 a1 31 sn是它的前n項(xiàng)的和 s10 s22 求sn 這個(gè)數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大 并求出這個(gè)最大值 思路點(diǎn)撥 1 利用等差數(shù)列的性質(zhì)及sn 求解 2 根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)整體求解 3 利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解 利用二次函數(shù)思想或利用鄰項(xiàng)變號法解決 規(guī)范解答 1 由于 an 為等差數(shù)列 所以a1 a11 a4 a8 16 所以s11 11 8 11 88 答案 88 2 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知a2 a8 a4 a6 a3 a7 37 所以a2 a4 a6 a8 37 2 74 答案 74 3 s10 a1 a2 a10 s22 a1 a2 a22 又s10 s22 a11 a12 a22 0 0 即a11 a22 2a1 31d 0 又a1 31 d 2 sn na1 31n n n 1 32n n2 方法一 sn 32n n2 n 16 2 256 當(dāng)n 16時(shí) sn有最大值 sn的最大值是256 方法二 由an sn sn 1 可得an 2n 33 由an 2n 33 0 得n 由an 1 2n 31 0 得n 又n為正整數(shù) 所以當(dāng)n 16時(shí) sn有最大值256 拓展提升 1 等差數(shù)列的性質(zhì) 1 項(xiàng)的性質(zhì) 在等差數(shù)列 an 中 am an m n d d m n 其幾何意義是點(diǎn) n an m am 所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差 2 和的性質(zhì) 在等差數(shù)列 an 中 sn為其前n項(xiàng)和 則 s2n n a1 a2n n an an 1 s2n 1 2n 1 an 2 解等差數(shù)列前n項(xiàng)和sn的最值問題的兩種方法 1 函數(shù)法 利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式sn an2 bn 通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解 2 鄰項(xiàng)變號法 a1 0 d0時(shí) 滿足的項(xiàng)數(shù)m使得sn取得最小值為sm 變式訓(xùn)練 等差數(shù)列 an 前n項(xiàng)和為sn 已知a1 13 s3 s11 當(dāng)sn最大時(shí) n的值是 解析 方法一 s3 s11得a4 a5 a11 0 根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得a7 a8 0 根據(jù)首項(xiàng)等于13可推知這個(gè)數(shù)列遞減 從而得到a7 0 a8 0 故n 7時(shí) sn最大 方法二 由s3 s11可得3a1 3d 11a1 55d 把a(bǔ)1 13代入得d 2 故sn 13n n n 1 14n n2 根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì) 當(dāng)n 7時(shí) sn最大 方法三 根據(jù)a1 13 s3 s11 知這個(gè)數(shù)列的公差不等于零 由于s3 s11說明這個(gè)數(shù)列的和先是單調(diào)遞增的然后又單調(diào)遞減 根據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù) 以及二次函數(shù)圖象的對稱性 當(dāng)s3 s11時(shí) 只有n 7時(shí) sn取得最大值 答案 7 滿分指導(dǎo) 解答等差數(shù)列的綜合題 典例 14分 2013 鄭州模擬 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 且sn nan an c c是常數(shù) n n a2 6 1 求c的值及數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 設(shè)tn 求tn 思路點(diǎn)撥 規(guī)范解答 1 因?yàn)閟n nan an c 所以當(dāng)n 1時(shí) s1 a1 a1 c 解得a1 2c 2分當(dāng)n 2時(shí) s2 a2 a2 c 即a1 a2 2a2 c 解得a2 3c 所以3c 6 解得c 2 4分則a1 4 數(shù)列 an 的公差d a2 a1 2 所以an a1 n 1 d 2n 2 6分 2 因?yàn)?8分所以tn 10分 即 14分 失分警示 下文 見規(guī)范解答過程 1 2012 福建高考 等差數(shù)列 an 中 a1 a5 10 a4 7 則數(shù)列 an 的公差為 解析 由等差中項(xiàng)的性質(zhì)知a3 5 又 a4 7 d a4 a3 2 答案 2 2 2013 無錫模擬 設(shè)數(shù)列 an 是等差數(shù)列 且a2 8 a15 5 sn是數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 則下列結(jié)論正確的是 s9 s10 s9 s10 s11 s10 s11 s10 解析 由題意得 a10 a1 9d 0 s9 s10 s11 s10 答案 3 2013 南京模擬 已知等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 若m 1 且am 1 am 1 am2 1 0 s2m 1 39 則m等于 解析 數(shù)列 an 為等差數(shù)列 則am 1 am 1 2am 則am 1 am 1 am2 1 0可化為2am am2 1 0 解得am 1 又 s2m 1 2m 1 am 39 則m 20 答案 20 4 2012 北京高考 已知 an 是等差數(shù)列 sn為其前n項(xiàng)和 若a1 s2 a3 則a2 sn 解析 s2 a3 a1 a2 a3 a1 a1 d a1 2d d a1 a2 a1 d 1 sn na1 n n 1 d n2 n 答案 1n2 n 5 2012 廣東高考 已知遞增的等差數(shù)列 an 滿足a1 1 a3 a22 4 則an 解析 由a3 a22 4得到1 2d 1 d 2 4 即d2 4 因?yàn)?an 是遞增的等差數(shù)列 所以d 2 故an 2n 1 答案 2n 1 1 若lg2 lg 2x 1 lg 2x 3 成等差數(shù)列 則x的值等于 解析 lg2 lg 2x 3 2lg 2x 1 2 2x 3 2x 1 2 2x 2 4 2x 5 0