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文檔簡介
小學(xué)五年級奧數(shù)30題及答案一、 計(jì)算題。 ( 共100題 )1.一本書的頁碼需要1995個數(shù)字,問這本書一共有多少頁?分析與解 從第1頁到第9頁,用9個數(shù)字;從第10頁到第99頁,用180個數(shù)字;從第100頁開始,每頁將用3個數(shù)字。1995-(9180)=1806(個數(shù)字)18063=602(頁)60299=701(頁)2.某禮堂有20 排座位,其中第一排有10 個座位,后面每一排都比它前面的一排多一個座位。如果允許參加考試的學(xué)生坐在任意一行,但是在同一行中不能與其他同學(xué)挨著,那么在考試時,這個禮堂最多能安排多少名學(xué)生就試?分析與解根據(jù)要求,第一排有10 個座位,可以坐5 個學(xué)生;第二排有11 個座位,可以坐6 個學(xué)生;第三排有12 個座位也可以坐6 個學(xué)生;第四排可以坐7個,第五排可以坐7 個;第六、七排都可以坐8 個;第八、九排都可以坐9個;?第20 排可以坐15 個。這樣一共可以坐學(xué)生:3.一半真一半假A、B、C、D 四人賽跑,三名觀眾對賽跑成績做如下估計(jì):王晨說:“B 得第二名,C 得第一名?!?張旭說:“C 得第二名,D 得第三名。” 李光說:“A 得第二名,D 得第四名。” 實(shí)際上,每人都說對了一半。同學(xué)們,你能說出A、B、C、D 各是第幾名嗎?分析與解 先假設(shè)王晨說的“B 得第二名是”正確的。因?yàn)橹荒苡幸粋€人是第二名,所以“C 得第二名”,與“A 得第二名”就都是錯誤的。這樣張旭與李光說的后半句話:“D 得第三名”和“D 得第四名”就應(yīng)該是正確的了。 然而這兩句話自相矛盾,從而可以認(rèn)定原始的假設(shè)是不成立的,應(yīng)全部推翻。 再假設(shè)王晨說的:“C 得第一名”是正確的,從而推出“C 得第二名”是錯誤,而“D 得第三名”是正確的,而“D 得第四名”則又是錯誤的,因而“A得第二名”則是正確的。在推導(dǎo)過程中沒有出現(xiàn)矛盾,說明假設(shè)成立。 總之,推導(dǎo)的結(jié)論為:A 得第二名,B 得第四名,C 得第一名,D 得第三名。 這題還可以用列表的方式來解答。這種方法比較直觀,學(xué)生更容易接受。 這里提供的只是一種列表方式,把三位觀眾的原始估計(jì)顯示在表內(nèi),再根據(jù)題中條件進(jìn)行推理、判斷,最后推出正確結(jié)果。4.下面這串?dāng)?shù)是按一定規(guī)律排列的:6、3、2、4、7、8、那么這串?dāng)?shù)的前1995 個數(shù)的和是多少?第1995 個數(shù)除以5 余幾?分析與解 觀察這串?dāng)?shù)的排列規(guī)律,不難發(fā)現(xiàn):從第二個數(shù)起,每個數(shù)都比它前面那個數(shù)與后面那個數(shù)的和小5,因此,這串?dāng)?shù)繼續(xù)排下去為:6、3、2、4、7、8、6、3、2、4、7、8、6、3、又發(fā)現(xiàn)6、3、2、4、7、8 為一循環(huán)排列。19956=3323(6+3+2+4+7+8)332+(6+3+2)=30332+11 =9971前1995 個數(shù)的和為9971第1995 個數(shù)為:225=0.2第1995 個數(shù)除以5 余25.在一道減法算式中,被減數(shù)加減數(shù)再加差的和是674,又知減數(shù)比差的3倍多17,求減數(shù)。分析與解 根據(jù)題中條件,被減數(shù)減數(shù)差674.可以推出:減數(shù)差6742337(因?yàn)楸粶p數(shù)減數(shù)差)。又知,減數(shù)比差的3 倍多17,就是說,減數(shù)差317,將其代入:減數(shù)差337,得出:差317差337差4320差80于是,減數(shù)803172576.少年宮游樂廳內(nèi)懸掛著200 個彩色燈泡,這些燈或亮或暗,變幻無窮。200 個燈泡按1200 編號。燈泡的亮暗規(guī)則是:第1 秒,全部燈泡變亮;第2 秒,凡編號為2 的倍數(shù)的燈泡由亮變暗;第3 秒,凡編號為3 的倍數(shù)的燈泡改變原來的亮暗狀態(tài)(即亮的變暗,暗的變亮);第4 秒,凡編號為4 的倍數(shù)的燈泡改變原來亮暗狀態(tài)。這樣繼續(xù)下去,200 秒為一周期。當(dāng)?shù)?00 秒時,哪些燈是亮著的?分析與解 在解答這個問題時,我們要用到這樣一個知識:任何一個非平方數(shù),它的全體約數(shù)的個數(shù)是偶數(shù);任何一個平方數(shù),它的全體約數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)。例如,6 和18 都是非平方數(shù),6 的約數(shù)有:1、2、3、6,共4 個;18 的約數(shù)有1、2、3、6、9、18,共6 個。它們的約數(shù)的個數(shù)都是偶數(shù)。又例如,16 和25 都是平方數(shù),16 的約數(shù)有:1、2、4、8、16,共5 個;25 的約數(shù)有1、5、25,共3 個。它們的約數(shù)的個數(shù)都是奇數(shù)?;氐奖绢}。本題中,最初這些燈泡都是暗的。第一秒,所有燈都變亮了;第2 秒,編號為2 的倍數(shù)(即偶數(shù))的燈由亮變暗;第3 秒,編號為3 的倍數(shù)的燈改變原來的亮暗狀態(tài),就是說,3 號燈由亮變暗,可是6 號燈則由暗變亮,而9 號燈卻由亮變暗。這樣推下去,很難理出個頭緒來。正確的解題思路應(yīng)該是這樣的:凡是亮暗變化是偶數(shù)次的燈,一定回到最初狀態(tài),即是暗著的。只有亮暗變化是奇數(shù)次的燈,才是亮著的。因此,只要考慮從第1 秒到第200 秒這段時間,每盞燈變化次數(shù)的奇偶性就可判斷燈的亮暗狀態(tài)。一個號碼為a 的燈,如果有7 個約數(shù),那么它的亮暗變化就是7 次,所以每盞燈在第200 秒時是亮還是暗決定于每盞燈的編號的約數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。我們已知道,只有平方數(shù)的全部約數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)。這樣1200 之間,只有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196 這14個數(shù)為平方數(shù),因而這些號碼的燈是亮著的,而其余各盞燈則都是暗著的。用奇偶性分析解題,是我們經(jīng)常用的一種解題方法,既靈活又有趣。7.新年快到了,五年級三個班決定互相贈送一些圖書,三個班原有的圖書數(shù)量各不相同。如果五(1)班把本班的一部分圖書贈給五(2)班和五(3)班,那么這兩個班的圖書數(shù)量各增加一倍;然后五(2)班也把本班的一部分圖書贈給五(1)班和五(3)班,這兩個班的圖書數(shù)量也各增加一倍;接著五(3)班又把本班的圖書一部分贈給五(1)班和五(2)班,這兩個班的圖書又各增加一倍。這時,三個班的圖書數(shù)量都是72 本,問原來各班各有圖書有多少本?分析與解 我們采用逆推與列表的方法進(jìn)行分析推理。在每次重新變化后,三個班的圖書總數(shù)是不會改變的。由此,可以從最后三個班的圖書數(shù)量都是72 本出發(fā)進(jìn)行逆推。(1)班、(2)班的圖書各增加1 倍后是72 本,(1)班、(2)班的圖書數(shù)量,在沒有增加一倍時都是72236(本)。 現(xiàn)在把(1)班、(2)班增加的本數(shù)(各36 本)還給(3)班,(3)班應(yīng)是723636144(本)。依此類推,求出三個班原來各有的本數(shù)。 為了使逆推過程看得更清楚,我們采用列表的方式進(jìn)行。 通過上表可以看出:五(1)班原有圖書117 本,五(2)班原有圖書63本,五(3)原有圖書36 本。 為了保證解答正確,可根據(jù)題意,從最后求出的各班原有圖書數(shù)量出發(fā),按題目中三次分配辦法進(jìn)行計(jì)算,看看每班的圖書是否最終都是72 本。這樣通過順、逆兩方面推導(dǎo),可確保解題正確。8.和平里小學(xué)五(1)班有學(xué)生40 名,他們在一起做紙花,每人手中的紙從7 張到46 張不等,沒有二人拿相同的張數(shù)。今規(guī)定用3 張或4 張紙做一朵花,并要求每人必須把分給自己的紙全部用光,并盡可能地要多做一些花,問最后用4 張紙做的花共有多少朵?分析與解 為了多做一些花,就需要盡量用3 張紙做1 朵花。我們采用列表的方法找出用4 張紙做1 朵花的規(guī)律。 從上表不難看出,用4 張紙做花的朵數(shù)的規(guī)律是:1、2、0、1、2、0、1、2、0、 403131(12)13140(朵)9.寫出所有分母是兩位數(shù),分子是1,而且能夠化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)。分析與解 當(dāng)一個最簡分?jǐn)?shù)的分母只含2 和5 質(zhì)因數(shù)時,這個分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)。 所以,當(dāng)分母是16、32、64、25、10、20、40、80、50 時,這樣的分?jǐn)?shù)都能化成有限小數(shù)。10.筐中有72 個蘋果,將它們?nèi)咳〕鰜?,分成偶?shù)堆,使得每堆中蘋果的個數(shù)相同。一共有多少種分法?分析與解 72 的約數(shù)有:1、2、3、4、6、12、18、24、36、72在這些約數(shù)中一共有8 個偶約數(shù),即可分為:2 堆、4 堆、6 堆、12 堆、18 堆、24 堆、36 堆和72 堆,一共有8 種分法。11.求商一個六位數(shù)2356是88 的倍數(shù),這個數(shù)除以88 的商是多少?分析與解設(shè)這個六位數(shù)為23A56B.因?yàn)檫@個六位數(shù)是88的倍數(shù),所以必定是8 和11 的倍數(shù)。根據(jù)能被8 整除的數(shù)的特征:“一個數(shù)的末三位數(shù)能被8 整除,這個數(shù)就能被8 整除”,B 可以取0 或8.如果B=0,那么,根據(jù)能被11 整除的數(shù)的特征:“一個數(shù),奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差被11 整除,這個數(shù)就能被11 整除”可以知道:2+A+6-(3+5+0)=A 是0 或11 的倍數(shù)。顯然,A 不可能是11 的倍數(shù),因?yàn)锳必須小于10.因此得到A=0所以六位數(shù)為:230560除以88 的商為:23056088=2620如果B=8,那么根據(jù)能被11 整除的特征,可求得A=8,于是六位數(shù)為238568.這個數(shù)與88 的商為:23856888=271112.一個筐里有6 個蘋果、5 個桃、7 個梨。(1)小華從筐里任取一個水果,有多少種不同的取法?(2)小華從這三種水果各取一個,有多少種不同的取法?分析與解(1)只取蘋果,有6 種取法;只取桃,有5 種取法;只取梨,有7 種取法。根據(jù)加法原理,一共有6+5+7= 18 種不同取法。(2)分三步進(jìn)行,第一步取一個蘋果,有6 種取法;第二步取一個桃,有5 種取法;第三步取一個梨,有7 種取法。根據(jù)乘法原理,要取三種不同類的水果,共有657210 種不同取法。13.甲、乙二人進(jìn)行射擊比賽。規(guī)定每中一發(fā)記20 分,脫靶一發(fā)扣去12 分。兩人各打了10 發(fā)子彈,共得208 分,其中甲比乙多得64 分,甲、乙二人各中了多少發(fā)?分析與解 根據(jù)題中條件,可以求出:甲得:(208+64)2=136(分)乙得:(208-64)2=72(分)又知甲、乙二人各打了10 發(fā)子彈,假設(shè)甲打的10 發(fā)子彈完全打中,應(yīng)該得2010=200(分),比實(shí)際多得200136=64(分),這是因?yàn)槊棵摪幸话l(fā)比打中一發(fā)少得20+12= 32(分)的緣故。多出的64 分里有幾個32 分,就是脫靶幾發(fā)。由此可得,甲脫靶了6432=2(發(fā))所以甲打中10-2=8(發(fā))列出綜合算式如下:102010(208+64)2(20+12)= 8(發(fā))同理,乙打中:102010(20864)2(20+12)=6(發(fā))14.猴子?jì)寢尣蓙砹艘换@桃子,她讓小猴子數(shù)一數(shù)共采了多少桃子。小猴子3 個3 個地數(shù),最后多出1 個,它就把多出的一個扔在一邊;它又5 個5 個地數(shù),到最后還是多出一個,它又把多出的1 個扔在一邊;最后它7 個7 個地數(shù),還是多出1 個。它數(shù)了三次,到底有多少桃子,還是不清楚。小朋友,你知道這籃子里至少有多少個桃子嗎?分析與解 本題可概括為“一個數(shù)用3 除余1,用5 除余2,用7 除余3,這個數(shù)最小是多少?”我們從余數(shù)開始逆推:由于用3 除余1,所以這個數(shù)為3n+1(n 為正整數(shù))。要使3n+1 這個數(shù)繼而滿足用5 除余2 的條件,可用n=1,2,3來試代,發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=2 時,32+1=7 滿足條件。由于15 能被3 和5 整除,所以15m+7 這些數(shù)(m 為正整數(shù)),也能滿足用3 除余1,用5 除余2 這兩個條件。在15m+7 中選擇適當(dāng)?shù)膍,使之用7 除得到的余數(shù)為3.也是采取試代的方法,試代的結(jié)果得出:當(dāng)m=3 時滿足條件。這樣153+7= 52 為所求的答案,也就是說這籃桃子至少有52 個。對于這類用3、5、7 三個數(shù)來除分別得到不同余數(shù)的題目,有沒有一個解答的規(guī)律呢?有。我國有個著名的余數(shù)定理,它可以用四句詩來形象地記憶。三人同行七十稀,五樹梅花廿一支,七子團(tuán)圓正半月,拋五去百便得知。這四句詩叫“孫子點(diǎn)兵”歌,外國稱它為“中國剩余定理”。這首詩的意思是:70 乘上用3 除所得的余數(shù),21 乘上用5 除所得的余數(shù),15 乘上用7除所得的余數(shù),然后把這三個乘積加起來,其和加或減105 的整數(shù)倍,就可以得到所需要的數(shù)了。現(xiàn)在我們回到本題,并運(yùn)用上述辦法求解。由于用3 除余1,用5 除余2,用7 除余3,所以,701+212+153 =70+42+45 =157因?yàn)橐蟮氖亲钚≈担?57-105 =5215.和平里小學(xué)五年級四個班共買了135 本圖書,但不知道每班各買了多少本,只知道,如果五(1)班減少3 本,五(2)班加上3 本,五(3)班增加一倍,五(4)班減少一半,那么四個班所買的圖書本數(shù)就相等了。請你幫助算一算,每個班各買了多少本?分析與解 設(shè)五(3)班買了圖書x 本,那么根據(jù)題意,五(3)班所買圖書本數(shù)的兩倍,等于五(1)班所買圖書本數(shù)減3,所以五(1)班所買圖書本數(shù)應(yīng)為2x+3;同理可推得,五(2)班所買圖書本數(shù)應(yīng)為2x3,五(4)班所買圖書本數(shù)應(yīng)為4x.列方程,得(2x+3)+(2x3)+x+4x=135解方程,得x=15五(1)班買圖書2x+3=30+3=33(本)五(2)班買圖書2x3=303=27(本)五(3)班買圖書x=15(本)五(4)班買圖書4x=415=60(本)16.把前十個質(zhì)數(shù)由小到大、從左向右排成一行,刪掉其中十個數(shù)字,讓剩下的數(shù)最大,應(yīng)該怎么刪?分析與解 前十個質(zhì)數(shù)是:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29.把前十個質(zhì)數(shù)由小到大排成一行是:2357111317192329一共是十六個數(shù)字。刪去其中十個數(shù)字,則剩下六個數(shù)字,即是個六位數(shù)。要使這個六位數(shù)最高位是9 是不可能的。從左向右看,第一個數(shù)字9 的前面最大的數(shù)字是7,應(yīng)選7 作為剩下的六位數(shù)的最高位的數(shù)字,而將它前面的數(shù)字2、3、5 刪去。7 的后面當(dāng)然是取9 最大,將其前的七個數(shù)字1、1、1、3、1、7、1 刪去。于是得到所求的最大的數(shù)是792329.17.在下面13 個8 之間的適當(dāng)位置添上、運(yùn)算符號或括號,使得下式成立:8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 =1995分析與解先找一個接近1995 的數(shù),如:88888888=1999這個數(shù)比1995 大4,這樣,就把原來的問題轉(zhuǎn)化成找出利用剩下的5 個8 添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號,得出結(jié)果是4 的算式。因?yàn)椋?888)8=4 19994=1995所以,這個等式為88888888(8888)8=199518.一個機(jī)床廠,今年第一季度生產(chǎn)車床198臺,比去年同期的產(chǎn)量2倍多36臺,去年第一季度生產(chǎn)多少臺?解:設(shè)去年第一季度產(chǎn)量為x臺。2x+36=198x=8119.有一批待加工的零件,甲單獨(dú)做需4天,乙單獨(dú)做需5天,如果兩人合作,那么完成任務(wù)時甲比乙多做了20個零件。這批零件共有多少個?解答:甲和乙的工作時間比為4:5,所以工作效率比是5:4 工作量的比也5:4,把甲做的看作5份,乙做的看作4份。 那么甲比乙多1份,就是20個。因此9份就是180個,所以這批零件共180個20.在下面的數(shù)表中,上、下兩行都是等差數(shù)列。上、下對應(yīng)的兩個數(shù)字中,大數(shù)減小數(shù)的差最小是幾?解答:1000-1=999 997-995=992 每次減少7,999/7=125 所以下面減上面最小是5 1333-1=1332 1332/7=1902 所以上面減下面最小是2因此這個差最小是2。21.如圖,正方形ABCD的邊長是12,BE=2CE,DF=EF,三角形BEF的面積是()。解答:連結(jié)BD,三角形BCD的面積是12122=72,三角形BDE的面積是7232=48,三角形BEF的面積是482=24。22.如圖,已知正方形ABCD的邊長是4,E、P、F分別是AD、CE、BP的中點(diǎn),DBF的面積是()。解答:如圖,連接PD和BE。因?yàn)锽CD的面積是442=8,BCE的面積也是8,因?yàn)镋是AD的中點(diǎn),所以DEC的面積是4422=4,又因?yàn)镻是CE的中點(diǎn),所以DPC的面積是42=2,PBC的面積是82=4。從而DBP的面積是842=2,所以DBF的面積為1。23.有一個直角梯形ABCD(圖11),已知AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形ABF的面積比三角形EFD的面積大17.4平方厘米,那么ED長多少厘米?解答:連接DB(圖12)。已知三角形ABF比三角形EFD的面積大17.4平方厘米,所以三角形ABD比三角形BED的面積也大17.4平方厘米。已知 AB=8厘米,BC=6厘米,三角形ABD的面積等于862=24(平方厘米)。三角形BDE的面積是:24-17.4=6.6(平方厘米)。而三角形 BDE的面積等于EDBC2即ED62=6.6所以ED長是2.2厘米。24.一個圓周長90厘米,3個點(diǎn)把這個圓周分成三等分,3只爬蟲A,B,C分別在這3個點(diǎn)上.它們同時出發(fā),按順時針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒,B的速度是5厘米/秒,C的速度是3厘米/秒,3只爬蟲出發(fā)后多少時間第一次到達(dá)同一位置?解答:先考慮B與C這兩只爬蟲,什么時候能到達(dá)同一位置.開始時,它們相差30厘米,每秒鐘B能追上C(5-3)厘米0.30(5-3)15(秒).因此15秒后B與C到達(dá)同一位置.以后再要到達(dá)同一位置,B要追上C一圈,也就是追上90厘米,需要90(5-3)45(秒). B與C到達(dá)同一位置,出發(fā)后的秒數(shù)是 15,105,150,195,再看看A與B什么時候到達(dá)同一位置.第一次是出發(fā)后30(10-5)=6(秒),以后再要到達(dá)同一位置是A追上B一圈.需要90(10-5)18(秒),A與B到達(dá)同一位置,出發(fā)后的秒數(shù)是6,24,42,78,96,對照兩行列出的秒數(shù),就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達(dá)同一位置.答:3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.請思考, 3只爬蟲第二次到達(dá)同一位置是出發(fā)后多少秒?25.光明鄉(xiāng)一共有30個村,每3個村都不在一條直線上,每兩村之間架一條電線,一共要架多少條電線?解答:共有30個村,每3 個村都不在一直線上,所以任意一村都與其他29個村架一條電線,30村一共可以架2930=870(條),但是這樣算,把每條電線都計(jì)算了兩次,因此,最多可以架電線:29302=435 (條)26.繞湖一周是24千米,小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時速度每走1小時后休息5分鐘;小張以6千米/小時速度每走50分鐘后休息10分鐘.問:兩人出發(fā)多少時間第一次相遇?解答:小張的速度是6千米/小時,50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時間與行程列出下表:121527比24大,從表上可以看出,他們相遇在出發(fā)后2小時10分至3小時15分之間.出發(fā)后2小時10分小張已走了此時兩人相距24-(811)=5(千米).由于從此時到相遇已不會再休息,因此共同走完這5千米所需時間是5(46)0.5(小時).2小時10分再加上半小時是2小時40分.答:他們相遇時是出發(fā)后2小時40分.27.
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