《現(xiàn)代控制理論》課后習(xí)題答案.pdf

現(xiàn)代控制理論 第二章習(xí)題解答 現(xiàn)代控制理論 第二章習(xí)題解答 2 1 試敘述處理齊次狀態(tài)方程求解問題的基本思路試敘述處理齊次狀態(tài)方程求解問題的基本思路 答 答 求解齊次狀態(tài)方程的解至少有兩種方法 一種是從標(biāo)量其次微分方程的解推廣得到 通 過引進(jìn)矩陣指數(shù)函數(shù) 導(dǎo)出其次狀態(tài)方程的解 另一種是采用拉普拉斯變換的方法 2 2 敘述求解預(yù)解矩陣的簡單算法 并編程計(jì)算例敘述求解預(yù)解矩陣的簡單算法 并編程計(jì)算例 2 1 1 中的預(yù)解矩陣 中的預(yù)解矩陣 答 答 根據(jù)定義 為 1 1 adj det sIAsIA sIA 1 式 1 中的adj sIA 和det sIA 可分別寫成以下形式 12 12 adj nn nn sIAHsHsH 0 0 2 1 1 det nn n sIAsasa 3 將式 1 兩邊分別左乘det 并利用式 2 和 3 可得 sIA sIA 12 1012101 nnnn nnnn0 IsaIsa IHsHAHsHAH sAH 4 上式左右兩個(gè)多項(xiàng)式矩陣相等的條件是兩邊的系數(shù)矩陣相等 故 i s 1 21 011 00 0 n nnn HI HAHa HAHa I AHa I 1I 1 5 由此可以確定式 2 中的系數(shù)矩陣 0 n HH 另一方面 可以證明式 3 中的系數(shù) 可通過以下關(guān)系式來求取 0 n aa 1 1 22 11 00 1 2 1 1 1 n nn atr A atr AH atr A n atr AH n H 6 利用式 5 和 6 未知矩陣和可以交替計(jì)算得到 從而可求出預(yù)解矩陣 i H i a 1 sIA 的解 求解預(yù)解矩陣 1 sIA 的 Matlab 程序?yàn)?function invsia A 1 1 0 3 1 2 0 0 3 b length A 1 確定 H 和 a H eye b J eye b J0 eye b a 1 trace A J A J0 a 1 eye b J0 J H H J a 2 trace A J 2 J A J0 a 2 eye b J0 J H H J a 3 trace A J 3 計(jì)算出 sI A 的行列式 num 1 a 1 a 2 a 3 den 1 G1 tf num den 計(jì)算出 sI A 的伴隨矩陣 for i 1 b for j 1 b num H i j H i j b H i j 2 b G i j tf num den end end 計(jì)算 inv SI A invsia G G1 2 3 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義是什么 列舉狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義是什么 列舉狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì) 答 答 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義是 它決定了系統(tǒng)狀態(tài)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到下一個(gè)狀態(tài)的規(guī) 律 即初始狀態(tài) 0 A t t e 0 x在矩陣的作用下 時(shí)刻的初始狀態(tài) 0 A t t e 0 t 0 x經(jīng)過時(shí)間后轉(zhuǎn)移到了 時(shí)刻的狀態(tài) 0 tt t x t 以為初始時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 具有以下基本性質(zhì) 0t At te 1 tAt 2 對任意的 和 ts tsts 3 對于任意的t 1 tt 2 4 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算方法有哪幾種 已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 寫出齊次狀態(tài) 方程和非齊次狀態(tài)方程解的數(shù)學(xué)表達(dá)式 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算方法有哪幾種 已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 寫出齊次狀態(tài) 方程和非齊次狀態(tài)方程解的數(shù)學(xué)表達(dá)式 答 答 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算方法主要有以下 4 種 1 直接計(jì)算法 2 通過線性變換計(jì)算 3 通過拉普拉斯變換計(jì)算 4 凱萊 哈密頓法 已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 則齊次狀態(tài)方程和非齊次狀態(tài)方程解的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為 0 0 A t t x tex t 和 0 0 t AtA t x te xeBud 2 5 試求下列矩陣試求下列矩陣A對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 t 1 2 01 02 A 01 40 A 3 01 12 A 4 5 010 001 254 A 0100 0010 0001 0000 A 6 000 01 001 000 A 0 答 答 1 11 tLsIA 1 2 21 1 0 s L sss 1 11 2 1 0 2 ss s L s 2 2 11 1 22 0 t t e e 2 由凱萊 哈密爾頓定理 可得 01 0 At eaIa t A 系統(tǒng)的 2 個(gè)特征值為 1 2 j 2 2j 故 1 011 t ea ta t 2 012 t ea ta t 2 cos 2 sin 2 jt etjt 且 2 cos 2 sin 2 jt etjt 解以上線性方程組 可得 22 0 22 1 cos 2 2 1 sin 2 22 jtjt jtjt ee a tt ee a tt 因此 11 cos 2 00sin 2 cos 2 sin 2 22 0cos 2 2sin 2 02sin 2 cos 2 ttt t t tt t t 3 系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式是 2 det 21IA 因此 矩陣A有一個(gè)二重特征值1 根據(jù)線性代數(shù)的知識可知變換矩陣 11 101010 1111 T 1 滿足 1 11 01 TATJ 而 0 tt Jt t ete e e 故系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 1 1010 11110 ttttt Jt tt eteetete tT e T etete tt e 4 系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式是 322 det 452 1 2 IA 因此 系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的特征值是 12 1 3 2 應(yīng)用凱萊 哈密爾頓方法得 1 2 0112 t ettt 1 1 12 2 t tett 1 3 2 01323 t ettt 將 12 1 3 2 代入 得到 012 t ett t t t t A 2 2 2t 12 2 t tett 2 012 2 4 t ett 解以上線性方程組 可得 2 0 2 tt ttee 2 1 232 tt tetee 2 2 tt tetee 故 2 012 tt It At 22 22 22 2 32 2 1 2 1 2 35 4 2 2 2 2 4 38 8 3 4 tttttt tttttt ttttt teeteetee t eeteetee t eeteetee 5 由于A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型 因此可直接得到 23 2 11 1 26 1 01 2 001 0001 ttt ttt t 6 由于A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型 因此可直接得到 2 1000 1 01 2 001 0001 t tt te t 2 6 試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 22 22 2 552 tttt ttt eeee t eeee t t t 的逆矩陣 的逆矩陣 1 t 答 答 由可得 1 t 22 1 22 2 552 tttt ttt eeee tt eeee 2 7 一個(gè)振動(dòng)現(xiàn)象可以由以下系統(tǒng)產(chǎn)生一個(gè)振動(dòng)現(xiàn)象可以由以下系統(tǒng)產(chǎn)生 01 10 xx 證明該系統(tǒng)的解是證明該系統(tǒng)的解是 cossin 0 sincos tt x tx tt 并用并用 MATLAB 觀察其解的形狀 觀察其解的形狀 答 答 考慮齊次狀態(tài)方程 01 10 xx 容易得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的兩個(gè)特征根是 1 j 2 j 故 01 jt ea ta t jj cossin jt jt 01 jt ea ta t 而 cossin jt etjt et 因此 由此得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 0 cosa tt 1 sina tt 01 0 At teaIa t A cossin sincos tt tt 系統(tǒng)的解是 cossin 0 sincos tt x tx tt 假設(shè)初始條件 用 Matlab 觀察該系統(tǒng)解的形狀 程序代碼如下 0 0 1 x a 0 1 1 0 b 0 0 c 0 0 d 0 x0 0 1 y x t initial a b c d x0 plot t x 1 k t x 2 k xlabel time sec ylabel x1 solid x2 dotted 由此得到的圖形為 0510152025303540 1 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 time sec x1 solid x2 dotted 讀者可自行更改初始條件 0 x的取值 2 8 給定線性定常系統(tǒng)給定線性定常系統(tǒng) 01 32 xx 且初始條件為且初始條件為 1 0 1 x 試求該齊次狀態(tài)方程的解 試求該齊次狀態(tài)方程的解 x t 答 答 由 可得 2 1 det 23 32 IA A的兩個(gè)特征根 1 12j 2 12j 由凱萊 哈密爾頓定理可得 12 01 12 j t ea ta t j 12 01 12 j t ea ta t j A 01 0 At eaIa t 進(jìn)一步可得 2 011 2 tjt e ea ta ta t j 2 011 2 tjt e ea ta ta t j 再結(jié)合 2 cos 2 sin 2 jt etj t 2 cos 2 sin 2 jt etj t 由以上線性不等式組可得 0 2 cos 2 sin 2 2 t a tett 1 2 sin 2 2 t a tet 故 01 At eat Ia t A 01 01 00 032 ata t ata ta t 1 01 101 32 ata t a tata t 22 cos 2 sin 2 sin 2 22 3 22 sin 2 cos 2 sin 2 22 t ttt e tt t 0 At x te x 22 cos 2 sin 2 sin 2 1 22 1 3 22 sin 2 cos 2 sin 2 22 t ttt e ttt cos 2 cos 2 2sin 2 t t e tt 2 9 已知二階系統(tǒng)的初始狀態(tài)和自由運(yùn)動(dòng)的兩組值 已知二階系統(tǒng)的初始狀態(tài)和自由運(yùn)動(dòng)的兩組值 xAx 11 22 0 1 t t e xx t e 22 12 0 1 tt tt ete xx t ete 求系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和狀態(tài)矩陣 求系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和狀態(tài)矩陣 答 答 由 而 1212 0 0 At x tx texx 12 21 0 0 11 xx 是非奇異的 故 1 1212 0 0 1122 12 24 2 At ttt ttt ttt ttt ex tx txx eete eete etete teete 因此 0 34 11 At t d Ae dt 2 10 為什么說狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的全部信息 可以完全表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 為什么說狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的全部信息 可以完全表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 答 答 因?yàn)橛蔂顟B(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以確定系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣 0 t t A 而系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 決定了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的全部信息 2 11 試判斷下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件 如果滿足 試求對應(yīng)的狀態(tài)矩陣試判斷下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件 如果滿足 試求對應(yīng)的狀態(tài)矩陣A i ii 100 0sincos 0cossin tt tt t 2 2 10 5 1 0 t t e t e 答 答 i 由于 0 I 所以不滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件 t ii 由于 所以滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件 10 0 01 根 據(jù)計(jì) 算 對 應(yīng) 的 狀 態(tài) 矩 陣 當(dāng) tAt 0t 時(shí) 由 于 因此 0 A 01 0 02 01 0 02 A 2 12 給定矩陣給定矩陣 A 證明證明 cos sin exp sin cos tt tt ete t ete t t 證明證明 1 1 s sIA s 22 1 s ss 故 11 cos sin exp sin cos Att tt teLsIA tt e 2 13 一般線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解有哪幾部分組成 各部分的意義如何 一般線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解有哪幾部分組成 各部分的意義如何 答 答 一般線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解由兩部分組成 第一部分是系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)引起的 是初始 狀態(tài)對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響 第二部分是由控制輸入引起的 反映了輸入對系統(tǒng)的影響 兩部分 疊加構(gòu)成了系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng) 2 14 考慮由下圖給出的控制系統(tǒng)考慮由下圖給出的控制系統(tǒng) 控 制 器被 控 對 象 R s Y s 圖 2 8 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 其中 控制器的傳遞函數(shù)是其中 控制器的傳遞函數(shù)是 1 1 K s s 被控對象的傳遞函數(shù)是被控對象的傳遞函數(shù)是 2 1 24 G s ss 試分別確定控制器和被控對象的狀態(tài)空間模型 進(jìn)而利用函數(shù)試分別確定控制器和被控對象的狀態(tài)空間模型 進(jìn)而利用函數(shù) series 和和 feedback 給出 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 并畫出閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)的脈沖響應(yīng)圖 給出 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 并畫出閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)的脈沖響應(yīng)圖 答答 由控制器的傳遞函數(shù)可得其狀態(tài)空間模型 xxu yx 由被控對象的狀態(tài)空間模型可得其狀態(tài)空間模型 010 421 10 xxu yx 編寫并執(zhí)行下列的 m 文件 A1 1 B1 1 C1 1 D1 0 sys1 ss A1 B1 C1 D1 A2 0 1 4 2 B2 0 1 C2 1 0 D2 0 sys2 ss A2 B2 C2 D2 sys3 series sys1 sys2 sys feedback sys3 1 impulse sys 得到下列結(jié)果 010 421 101 a 0 0 1 b 100c 0d 閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)如下圖所示 0123456 0 02 0 0 02 0 04 0 06 0 08 0 1 0 12 0 14 0 16 Impulse Response Time sec Amplitude 2 15 已 知 線 性 定 常 系 統(tǒng) 的 狀 態(tài) 方 程 為已 知 線 性 定 常 系 統(tǒng) 的 狀 態(tài) 方 程 為 010 231 xxu 初 始 條 件 為 若系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù) 試求狀態(tài)方程的解 初 始 條 件 為 若系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù) 試求狀態(tài)方程的解 1 0 1 x 答 答 容易求出A的兩個(gè)特征值為 1 1 2 2 變換矩陣為 1 1121 1211 T 所以 1 22 112100 121100 tt At tt ee eTT ee 22 22 2 222 tttt tttt eeee eeee 單位階躍輸入的狀態(tài)響應(yīng)為 0 0 t x tt xtBud 2 2 2 2 02 0 1 01222 tttt At tttt teeee e xd eeee 22 2 1 22 2 2 0 2 0 02222 tttttt tttttt xteeeeee d xeeeeee 222 1 22 2 2 11 0 2 22 0 222 tttttt tttt tt xeeeeee xeeee ee 由初始狀態(tài)為 故狀態(tài)方程的解為 1 0 1 x 2 1 2 2 11 22 t t x te x t e 2 16 連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間模型離散化時(shí)需要注意哪些問題 連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間模型離散化時(shí)需要注意哪些問題 答 答 需要注意的問題有 1 采樣脈沖寬度要比采樣周期小很多 這樣才可以不考慮脈沖寬度的影響 2 采樣周期應(yīng)該滿足香農(nóng)采樣定理 以使得采樣信號包含連續(xù)信號盡可能多的信息 從而 可以從采樣得到的離散信號序列中完全復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號 2 17 已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為 100 10 021 xxuy x 設(shè)采樣周期設(shè)采樣周期1T 秒 試求離散化狀態(tài)空間模型 秒 試求離散化狀態(tài)空間模型 答答 A為非奇異矩陣 所以 2 0 0 T AT T e G Te e 1 H TAG TI B 2 10 010 1 1001 2 T T e e 2 0 11 22 T e 由 可得 1T 1 2 0 1 0 e G e 2 0 1 11 22 H e 故離散化后的狀態(tài)空間模型為 1 22 0 0 1 11 0 22 e x kx k ee u k 2 18 試求以下線性時(shí)不變狀態(tài)方程試求以下線性時(shí)不變狀態(tài)方程 010 021 x tx t u t 的離散化方程 假定采樣周期的離散化方程 假定采樣周期1T 秒 秒 答 答 由 1 21 1 0 2 s sIA ss s 10 50 5 2 1 0 2 sss s 可得 2 11 2 11 1 22 0 t At t e eLsIA e 2 2 11 1 22 0 T AT T e G Te e 22 0 22 11 1 1 0 2424 111 0 1 1 22 TT T A