《垂直于弦的直徑》導(dǎo)學(xué)案【五和中學(xué).doc

垂直于弦的直徑導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過觀察實(shí)驗(yàn)，理解圓的軸對(duì)稱性；掌握垂徑定理及其推論，能運(yùn)用它們解決有關(guān)證明、計(jì)算和作圖問題重點(diǎn)：垂徑定理、推論及其應(yīng)用. 難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)并證明垂徑定理，利用垂徑定理解決一些實(shí)際問題.一、【創(chuàng)設(shè)情景明確目標(biāo)】問題：你知道趙州橋嗎?它是1400多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37m,拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.23m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？二、【自主探究、歸納新知】8-8頁（一）活動(dòng)1: 1.閱讀教材8183頁，將重點(diǎn)內(nèi)容標(biāo)劃并識(shí)記。2.每個(gè)小組利用課余時(shí)間剪切一個(gè)圓，將你手中的圓沿圓心對(duì)折，你會(huì)發(fā)現(xiàn)圓是一個(gè)什么圖形？圓是軸對(duì)稱圖形嗎？它有幾條對(duì)稱軸？分別是什么？圓是 對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過 的直線 （二）活動(dòng)1請(qǐng)同學(xué)按下面要求完成下題：如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，使CDAB，垂足為M（1）如圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和??？為什么？ 相等的線段： 相等的?。?這樣，我們就得到垂徑定理：垂直于弦的直徑 弦，并且 弦所對(duì)的兩條 表達(dá)式：垂徑定理的條件和結(jié)論分別是什么？過圓心，垂直于弦.平分弦，平分弦所對(duì)的劣弧，平分弦所對(duì)的優(yōu)弧. 下面我們用邏輯思維給它證明一下： 已知：直徑CD、弦AB且CDAB垂足為M 求證：AM=BM，弧AC=BC，弧AD=BD. 分析：要證AM=BM，只要證AM、BM構(gòu)成的兩個(gè)三角形全等因此，只要連結(jié)OA、OB或AC、BC即可證明：如圖，連結(jié)OA、OB，則OA=OB在RtOAM和RtOBM中 RtOAMRtOBM( ) AM= 點(diǎn) 和點(diǎn) 關(guān)于CD對(duì)稱 O關(guān)于CD對(duì)稱 當(dāng)圓沿著直線CD對(duì)折時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，弧AC與BC重合，AD與CD重合 ， ， 進(jìn)一步，我們還可以得到結(jié)論：平分弦（ ）的直徑垂直于 ，并且平分弦所對(duì)的兩條 表達(dá)式： （三）、歸納總結(jié)： 1圓是 圖形，任何一條 所在直線都是它的對(duì)稱軸2垂徑定理 推論 三 、【鞏固新知 應(yīng)用新知】CABDOEABOEABOEDABOED1、辨析題：下列各圖，能否得到AE=BE的結(jié)論？為什么？OABE2、如圖，在O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑。來源:Zxxk.Com變式：在O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，OEAB，垂足為E，EC長(zhǎng)為2cm，求O的半徑。 ODACR3、你知道趙州橋嗎?它是1400多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37m,拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.23m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？四、【總結(jié)反思、升華提高】1、圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的 都是它的對(duì)稱軸。由此可得出垂徑定理：垂直于弦的直徑 弦，并且 弦所對(duì)的兩條弧。平分弦（不是直徑）的直徑 于弦，并且 弦所對(duì)的兩條弧。如果具備垂徑定理五個(gè)條件中的任何兩個(gè)，那么也就具備其他三個(gè)及其推論，可以概括如下，對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說，如果一條直線具備 經(jīng)過圓心， 垂直于弦， 平分弦（不是直徑），平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，平分弦所對(duì)的劣弧，五個(gè)條件中的任何兩個(gè)，那么也就具備了其他三個(gè)。在圓的有關(guān)計(jì)算和證明中，常作圓心到 的垂線段，這樣不僅為利用垂徑定理創(chuàng)造條件，而且為構(gòu)造直角三角形利用勾股定理，溝通已知與未知量之間的關(guān)系創(chuàng)造條件。2、本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法是數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想。3.實(shí)際上，往往只需從圓心作一條與弦垂直的線段即可，這樣把垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來，構(gòu)造直角三角形，可得到圓的半徑R，圓心到弦的距離d，弦長(zhǎng)a之間的關(guān)系R=（）A定理的三種基本圖形如圖、。B 計(jì)算中三個(gè)量的關(guān)系如圖，。C證明中常用的輔助線作弦心距。 構(gòu)造Rt的“七字口訣”：半徑半弦弦心距（圖） （圖） （圖） （圖）五、【鞏固練習(xí),測(cè)評(píng)反饋】填空：1、如圖：已知AB是O的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，若_，則CE=DE（只需填寫一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件）2、如圖：已知AB是O的弦，OB=4cm，ABO=300，則O到AB的距離是_cm，AB=_cm. 3、如圖，兩圓都以點(diǎn)O為圓心，求證AC=BD4、如圖，在O中，AB，AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB于D，OEAC于E，求證四邊形ADOE是正方形。OBACED六、課外分層訓(xùn)練：A組：1、填空：在O中（1）若CDAB，AB為直徑，則 、 、 （2）若CM=DM，AB為直徑，不是直徑，則 、 、 （3）若ABCD，CM=DM，則 、 、 （4）若=，AB為直徑，則 、 、 2、如圖O的直徑為10，圓心O到弦AB的距離OM的長(zhǎng)為3，則弦AB的長(zhǎng)是（ ）A4 B6 C7 D8第3題第4題第2題第1題3、如圖已知O的半徑為5mm，弦AB=8mm，則圓心O到AB的距離是（ ） A1mm B2mm C3mm D4mm4、如圖所示，已知AB為O的直徑，且ABCD，垂足為M，CD8，AM2，OM=_5 判斷：（1）垂直于弦的直線平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩弧 （ ）（2）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)的另一弧 （ ）（3）經(jīng)過弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦 （ ） （4）圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行 （ ）（5）弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧 （ ）（6）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 （ ）B組： 1、O的半徑是5，P是圓內(nèi)一點(diǎn)，且OP3，過點(diǎn)P最短弦、最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)為 .2、如右圖2所示，已知AB為O的直徑，且ABCD，垂足為M，CD8，AM2，則OM .3、O的半徑為5，弦AB的長(zhǎng)為6，則AB的弦心距長(zhǎng)為 .4、已知一段弧AB，請(qǐng)作出弧AB所在圓的圓心。5、問題1：如圖1，AB是兩個(gè)以O(shè)為圓心的同心圓中大圓的直徑，AB交小圓交于C、D兩點(diǎn)，求證：AC=BD 問題2：把圓中直徑AB向下平移，變成非直徑的弦AB，如圖2，是否仍有AC=BD呢？ 問題3：在圓2中連結(jié)OC，OD，將小圓隱去，得圖4，設(shè)OC=OD，求證：AC=BD問題4：在圖2中，連結(jié)OA、OB，將大圓隱去，得圖5，設(shè)AO=BO，求證：AC=BD6如圖，已知AB是O的弦，P是AB上一點(diǎn)，若AB=10，PB=4，OP=5，求O的半徑的長(zhǎng)。7、的半徑為5，弦，弦，且.求兩弦之