三角形與四邊形類比探究題.doc

類比探究解決類比探究問題的一般方法：1、根據(jù)題設(shè)條件， 結(jié)合各問條件， 先解決第一問；2、用解決第一問的方法類比解決下一問，如果不能，兩問綜合進(jìn)行分析，找出不能類比的原因和不變特征，依據(jù)不變的特征，探索新的方法。類比探究：圖形結(jié)構(gòu)類似、問題類似、常含探究、類比等關(guān)鍵詞。類比探究解題方法和思路1、找特征（中點(diǎn)、特殊角、折疊等），找模型：相似 （母子型、A型、非A型 、X型、非X型） 三線合一、面積、全等三角形等；2、借助幾問之間的聯(lián)系，尋找條件和思路。3、照搬上一問的方法思路，解決問題，照搬輔助線、照搬全等、照搬相似等。4、找結(jié)構(gòu)：尋找不變的結(jié)構(gòu)，利用不變結(jié)構(gòu)的特征解決問題。常見不變結(jié)構(gòu)及方法：直角：作橫平豎直的線，找全等或相似；中點(diǎn)：作倍長、通過全等轉(zhuǎn)移邊和角；平行：找相似、轉(zhuǎn)比例。5、哪些是不變的，哪些是變化的。哪些條件沒有用，如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化，尋找能夠類比的方法和思路。 1如圖所示，在正方形上連接等腰直角三角形和正方形，無限重復(fù)同一過程，第一個正方形的邊長為1，第一個正方形與第一個等腰直角三角形的面積和為S1，第二個正方形與第二個等腰直角三角形的面積和為S2，第n個正方形與第n個等腰直角三角形的面積和為Sn（1）計算S1、S2、S3、S4（2）總結(jié)出Sn與Sn1的關(guān)系，并猜想出S1+S2+S3+S4+Sn與n的關(guān)系2（淄博）分別以ABCD（CDA90）的三邊AB，CD，DA為斜邊作等腰直角三角形，ABE，CDG，ADF（1）如圖1，當(dāng)三個等腰直角三角形都在該平行四邊形外部時，連接GF，EF請判斷GF與EF的關(guān)系（只寫結(jié)論，不需證明）；（2）如圖2，當(dāng)三個等腰直角三角形都在該平行四邊形內(nèi)部時，連接GF，EF，（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，說明理由3將兩個用鋼絲設(shè)計成的能夠完全重合的直角三角形模型ABC和直角三角形DEF按如圖所示的位置擺放，使點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上，且AB和DE、EF分別相交于點(diǎn)P、M，AC和DE相交于點(diǎn)N（1）試判斷線段AB和DE的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若PD=AC，線段PE和BF有什么數(shù)量關(guān)系，請說明你的理由4如圖，四邊形ABCD為正方形，BEF為等腰直角三角形（BFE=90，點(diǎn)B、E、F按逆時針排列），點(diǎn)P為DE的中點(diǎn)，連PC，PF（1）如圖，點(diǎn)E在BC上，則線段PC、PF的數(shù)量關(guān)系為_，位置關(guān)系為_（不證明）（2）如圖，將BEF繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)a（Oa45），則線段PC，PF有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并證明（3）如圖，AEF為等腰直角三角形，且AEF=90，AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，能使點(diǎn)F落在BC上，且AB平分EF，直接寫出AE的值是_5如圖，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)E為BC邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)E作射線EF交AC于點(diǎn)F，使AEF=B（1）判斷BAE與CEF的大小關(guān)系，并說明理由；（2）請你探索：當(dāng)AEF為直角三角形時，求AEF與BAE的數(shù)量關(guān)系6如圖，ABC為等腰直角三角形，BAC=90，BC=2，E為AB上任意一動點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰直角CDE，連接AD，（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動過程中BCE與ACD的關(guān)系是_（2）AD與BC有什么位置關(guān)系？說明理由（3）四邊形ABCD的面積是否有最大值？如果有，最大值是多少？如果沒有，說明理由7直角三角形ABC中，C=90，AC=BC，點(diǎn)P是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PAB=PBC=PCA，（1）判斷PC與PB的位置關(guān)系，并對你的判斷加以說明（2）ABP與APC的面積比8（內(nèi)江）如圖，ACD和BCE都是等腰直角三角形，ACD=BCE=90，AE交CD于點(diǎn)F，BD分別交CE、AE于點(diǎn)G、H試猜測線段AE和BD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由9如圖，在等腰RtABC中，ACB=90，D為BC的中點(diǎn)，DEAB，垂足為E，過點(diǎn)B作BFAC交DE的延長線于點(diǎn)F，連接CF（1）證明：BDF是等腰直角三角形（2）猜想線段AD與CF之間的關(guān)系并證明10如圖，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，將ABC繞斜邊AB的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至DEF的位置，DF交AB于點(diǎn)P，DE交BC于點(diǎn)Q請猜想OQ與OP有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論11（1）如圖甲，直角三角形ABC中，C=90，分別以AB，AC，BC為邊作正方形ABEF，ACMN，BCGH，面積分別設(shè)為S，P，Q，則S，P，Q滿足怎樣的等量關(guān)系？（直接寫出結(jié)果，不需證明）（2）如圖乙，直角三角形ABC中，C=90，分別以AB，AC，BC為邊作等邊三角形ABE，ACM，BCH，面積分別設(shè)為S，P，Q，則S，P，Q滿足怎樣的等量關(guān)系？并證明；（3）如圖丙，銳角三角形ABC中，分別以AC，BC為邊作任意平行四邊形ACMN，BCGH，面積分別設(shè)為P，Q，NM和HG的延長線相交于點(diǎn)D，連接CD，在AB外側(cè)作平行四邊形ABEF，使得BE，AF平行且等于CD，面積設(shè)為S，則S，P，Q滿足怎樣的等量關(guān)系？并證明12如圖所示，四邊形ABCD為正方形，BEF為等腰直角三角形（BFE=90，點(diǎn)B、E、F按逆時針順序），P為DE的中點(diǎn)，連接PC、PF（1）如圖（1），E點(diǎn)在邊BC上，則線段PC、PF的數(shù)量關(guān)系為_，位置關(guān)系為_（不需要證明）（2）如圖（2），將BEF繞B點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)（045），則線段PC、PF有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并證明（3）如圖（3），E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖中的位置，其它條件不變，完成圖（3），則線段PC、PF有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論，不需要證明13（富寧縣）將兩個全等的直角三角形ABC和DBE如圖方式擺放，其中ACB=DEB=90，A=D=30，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F（1）求證：AF+EF=DE；（2）若將圖中的直角三角形ABC繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)，且ABD=30，其它條件不變，請在圖中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立；（3）若將圖中的直角三角形DBE繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)，且ABD=65，其它條件不變，如圖，你認(rèn)為（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說明理由14（營口）如圖1，ABC為等腰直角三角形，ACB=90，F(xiàn)是AC邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)F與A、C不重合），以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF，連接BF、AD（1）猜想圖1中線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論；將圖1中的正方形CDEF，繞著點(diǎn)C按順時針（或逆時針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、圖3的情形圖2中BF交AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)O，請你判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷（2）將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC，ACB=90，正方形CDEF改為矩形CDEF，如圖4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)O，連接BD、AF，求BD2+AF2的值15（石家莊）在圖1到圖3中，點(diǎn)O是正方形ABCD對角線AC的中點(diǎn)，MPN為直角三角形，MPN=90正方形ABCD保持不動，MPN沿射線AC向右平移，平移過程中P點(diǎn)始終在射線AC上，且保持PM垂直于直線AB于點(diǎn)E，PN垂直于直線BC于點(diǎn)F（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時，OE與OF的數(shù)量關(guān)系為_；（2）如圖2，當(dāng)P在線段OC上時，猜想OE與OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系？并對你的猜想結(jié)果給予證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長線上時，OE與OF的數(shù)量關(guān)系為_；位置關(guān)系為_16己知：正方形ABCD（1）如圖，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊AB和AD上，且AE=AF此時，線段BE、DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是什么？請直接寫出結(jié)論（2）如圖，等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)090時，連接BE、DF，此時（1）中的結(jié)論是否成立，如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由（3）如圖，等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)90180時，連接BD、DE、EF、FB，得到四邊形BDEF，則順次連接四邊形BDEF各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是什么特殊四邊形？請直接寫出結(jié)論17（葫蘆島）已知：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90，點(diǎn)M是CE的中點(diǎn)，連接BM（1）如圖，點(diǎn)D在AB上，連接DM，并延長DM交BC于點(diǎn)N，可探究得出BD與BM的數(shù)量關(guān)系為_；（2）如圖，點(diǎn)D不在AB上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由18（南通）如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA、OD到點(diǎn)F、E，使OF=2OA，OE=2OD，連接EF將EOF繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)角得到E1OF1（如圖2）（1）探究AE1與BF1的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（2）當(dāng)=30時，求證：AOE1為直角三角形19勾股定理是幾何中的一個重要定理在我國古算書周髀算經(jīng)中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，BAC=90，AB=3，AC=4，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為多少？20如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，AD=AE，AFBE交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FGCD交BE的延長線于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)M（1）求證：EGM為等腰三角形；（2）判斷線段BG、AF與FG的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論21（遼陽）已知直角梯形ABCD，ABCD，C=90，AB=BC=CD，E為CD的中點(diǎn)（1）如圖（1）當(dāng)點(diǎn)M在線段DE上時，以AM為腰作等腰直角三角形AMN，判斷NE與MB的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論；（2）如圖（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段EC上時，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由22如圖，ABC與DEC是兩個全等的直角三角形，ACB=CDE=90，CAB=DCE，AB=4，BC=2，DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，CD、CE分別與AB相交于點(diǎn)F、G（都不與A、B點(diǎn)重合），設(shè)BG=x回答下列問題：（1）設(shè)CG=y1，請?zhí)骄縴1與x的函數(shù)關(guān)系，并直接寫出y1的最小值；（2）設(shè)AF=y2，請?zhí)骄縴2與x的函數(shù)關(guān)系23（豐臺區(qū)）已知：ABC和ADE是兩個不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，連接EC，取EC的中點(diǎn)M，連接BM和DM（1）如圖1，如果點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，那么BM、DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是_；（2）將圖1中的ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由24若直角三角形三邊長為正整數(shù)，且周長與面積數(shù)值相等，則稱此三角形為“完美直角三角形”，求“完美直角三角形”的三邊長25以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BAD=CAE=90，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖當(dāng)ABC為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是_，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是_；（2）將圖中的等腰RtABD繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)（090）后，如圖所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由26（邯鄲）（1）如圖1，四邊形ACDG與四邊形ECBH都是正方形，且B，C，D在一條直線上，連接DE并延長交線段AB于點(diǎn)F求證：AB=DE，ABDE；（2）如果將（1）中的兩個正方形換成兩個矩形，如圖2，且=，則AB與DE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系會發(fā)生什么變化？請說明你的看法和理由（3）如果將（1）中的兩個正方形換成兩個直角三角形，如圖3，BCE=ACD=90，且=k，且請直接寫出AB與DE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系27銳角為45的直角三角形的兩直角邊長也相等，這樣的三角形稱為等腰直角三角形我們常用的三角板中有一塊就是這樣的三角形，也可稱它為等腰直角三角板把兩塊全等的等腰直角三角板按如圖1放置，其中邊BC、FP均在直線l上，邊EF與邊AC重合（1）將EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；（2）將EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q，連接AP，BQ你認(rèn)為（1）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由28如圖1，E是等腰RtABC邊AC上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)E與A、C不重合），以CE為一邊在RtABC作等腰RtCDE，連接AD，BE我們探究下列圖中線段AD、線段BE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：（1）猜想如圖1中線段AD、線段BE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；.將圖1中的等腰RtCDE繞著點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度a，得到如圖2、如圖3情形請你通過觀察、測量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷（2）將原題中等腰直角三角形改為直角三角形（如圖6），且AC=a，BC=b，CD=ka，CE=kb （ab，k0），第（1）題中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由（3）在第（2）題圖5中，連接BD、AE，且a=4，b=3，k=，求BD2+AE2的值29如圖1，在ABC中，ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，連接AD，以AD為直角邊且在AD的上方作等腰直角三角形ADF（1）若AB=AC，BAC=90當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時（與點(diǎn)B不重合），試探討CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位