高中數(shù)學(xué)《第二章 推理與證明》復(fù)習(xí)小結(jié)課件 新人教A版選修12.ppt

第二章推理與證明復(fù)習(xí)小結(jié) 推理與證明 推理 證明 合情推理 演繹推理 直接證明 數(shù)學(xué)歸納法 間接證明 比較法 類比推理 歸納推理 分析法 綜合法 反證法 知識(shí)結(jié)構(gòu) 一 綜合法 證 證明 要證只需證只需證只需證只需證因?yàn)槌闪?所以成立 二 分析法 三 反證法 問(wèn)題一 求證 兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn) 注 1 結(jié)論中的有且只有 有且僅有 形式出現(xiàn) 是唯一性問(wèn)題 常用反證法2 有且只有的反面包含1 不存在 2 至少兩個(gè) 問(wèn)題二 求證一元二次方程至多 有兩個(gè)不相等的實(shí)根 注 所謂至多有兩個(gè) 就是不可能有三個(gè) 要證 至多有兩個(gè)不相等的實(shí)根 只要證明它的反面 有三個(gè)不相等的實(shí)根 不成立即可 問(wèn)題 如圖 已知l1 l2是異面直線且a b l1 c d l2 求證 ac sd也是異面直線 l1 l2 五 歸納 類比 猜想 證明 例 平面內(nèi)有n條直線 其中任何兩條不平行 任何三條不過(guò)同一點(diǎn) 證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f n 等于n n 1 2 證 1 當(dāng)n 2時(shí) 兩條直線的交點(diǎn)只有1個(gè) 又f 2 2 2 1 2 1 因此 當(dāng)n 2時(shí)命題成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k 2 時(shí)命題成立 就是說(shuō) 平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f k 等于k k 1 2 以下來(lái)考慮平面內(nèi)有k 1條直線的情況 任取其中的1條直線 記作l 由歸納假設(shè) 除l以外的其他k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f k 等于k k 1 2 另外 因?yàn)橐阎魏蝺蓷l直線不平行 所以直線l必與平面內(nèi)其他k條直線都相交 有k個(gè)交點(diǎn) 又因?yàn)橐阎魏稳龡l直線不過(guò)同一點(diǎn) 所以上面的k個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同 且與平面內(nèi)其他的k k 1 2個(gè)交點(diǎn)也兩兩不相同 從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是k k 1 2 k k k 1 2 2 k 1 k 1 1 2 這就是說(shuō) 當(dāng)n k 1時(shí) k 1條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 f k 1 k 1 k 1 1 2 根據(jù) 1 2 可知 命題對(duì)一切大于1的正整數(shù)都成立 說(shuō)明 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題 重難點(diǎn)是處理好當(dāng)n k 1時(shí)利用假設(shè)結(jié)合幾何知識(shí)證明命題成立 注 在上例的題設(shè)條件下還可以有如下二個(gè)結(jié)論 1 設(shè)這n條直線互相分割成f n 條線段或射線 則 f n n2 2 這n條直線把平面分成 n2 n 2 2個(gè)區(qū)域 練習(xí)1 凸n邊形有f n 條對(duì)角線 則凸n 1邊形的對(duì)角線 的條數(shù)f n 1 f n n 1 練習(xí)2 設(shè)有通過(guò)一點(diǎn)的k個(gè)平面 其中任何三個(gè)平面或三個(gè)以上的平面不共有一條直線 這k個(gè)平面將空間分成f k 個(gè)區(qū)域 則k 1個(gè)平面將空間分成f k 1 f k 個(gè)區(qū)域 2k 平面內(nèi)