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等差數列前n項和公式及其應用 復習回顧 1 等差數列的通項公式 已知首項a1和公差d 則有 an a1 n 1 d已知第m項am和公差d 則有 an am n m d d an am n m 2 等差數列的性質 在等差數列 an 中 如果m n p q m n p q N 那么 an am ap aq 例 如圖為一堆八層鋼管 起每一層的數目分別為 4 5 6 7 8 9 10 11 求這堆鋼管的數目中總和 解 方法 1 由累加法可得 sn 4 5 6 7 8 9 10 11 60 方法 2 4 11 5 10 6 9 7 8 15滿足等差數列的性質sn 4 15 8 2 4 11 60 問題2 1 2 3 100 這個問題 德國著名數學家高斯 1777年 1855年 10歲時曾很快求出它的結果 你知道應如何算嗎 這個問題 可看成是求等差數列1 2 3 n 的前100項的和 100個101 設等差數列a1 a2 a3 它的前n項和是Sn a1 a2 an 1 an 1 若把次序顛倒是Sn an an 1 a2 a1 2 由等差數列的性質a1 an a2 an 1 a3 an 2 由 1 2 得2sn a1 an a1 an a1 an 即Sn n a1 an 2 因為an a1 n 1 d所以Sn na1 n n 1 d 2 下面將對等差數列的前n項和公式進行推導 即前n項的和與首項末項及項數有關 若已知a1 n d 則如何表示Sn呢 由此得到等差數列的 an 前n項和的公式 即 等差數列前n項的和等于首末項的和與項數乘積的一半 上面的公式又可以寫成 解題時需根據已知條件決定選用哪個公式 知三求二 2 1 3 5 2n 1 1 1 2 3 n 3 2 4 6 2n 上面習題的答案在以后會經常用到 n n 1 2 n n 1 n2 例1如圖 一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆 往上每一層都比它下面一層多一支 最上面一層放120支 這個V形架上共放著多少支鉛筆 解 由題意可知 這個V形架上共放著120層鉛筆 且自下而上各層的鉛筆數成等差數列 記為 an 其中a1 1 a120 120 根據等差數列前n項和的公式 得 答 V形架上共放著7260支鉛筆 例2 例3等差數列 10 6 2 2 前多少項的和是54 解 設題中的等差數列為 an 前n項和是Sn 則a1 10 d 6 10 4 設Sn 54 根據等差數列前n項和公式 得 n1 9 n2 3 舍去 等差數列 10 6 2 2 前9項的和是54 例4 已知等差數列an中a2 a5 a12 a15 36 求前16項的和 解 由等差數列的性質可得 a1 a16 a2 a15 a5 a12 36 2 18sn 16 2 18 144答 前16項的和為144 分析 可以由等差數列性質 直接代入前n項和公式 例5已知一個等差數列的前10項的和是310 前20項的和是1220 求Sn 解 S10 310 S20 1220 1 在a b之間插入10個數 使它們同這兩個數成等差數列 求這10個數的和 變式 已知一個梯形梯子 兩底邊分別長為a b 中間還有10蹬 且蹬之間距離相等 求這中間10級的長度的之和 鞏固練習 2 1 求1000以內能被11整除的所有自然數之和 3 求一切被7除余1的三位數之和 等差數列前n項和性質 知識點一 S11的函數性質與通項式的求解 觀察上面的式子 我們可以看出它是關于n的二次函數 從而等差數列的前n項和可以寫成形如 反之 若數列前n項和為Sn an2 bn n為自然數 a b為常數 求an及公差d 探究 若Sn n2 3n 1呢 結論 P85 將等差數列的前n項和公式寫成上述形式 有利于求其前n項和的極值 等差數列前n項和再認識 例1 已知一個等差數列的a1 2 S5 20 求Sn和S12 例2 已知一個等差數列的前10項的和是310 前20項的和是1220 求Sn 例3 一個首項為正數的等差數列中 前3項的和等于前11項的和 問此數列前多少項的和最大 分析 S3 S11 這里可以找出a1與d的關系 則Sn是d的函數 若條件改為S3 S12呢 知識點二 S11的最大小值 若等差數列an的公差為d 前n項和為sn 那么數列sk s2k sk s3k s2k k為正整數 是等差數列 且公差為k2d 知識點三 S11的等差性質 參考學案與測評P16 練習1 已知一個等差數列前4項的和為21 末4項的和為67 前n項的和為286 求項數n 2 已知兩個等差數列前n項和的比為4n 3 2n 5 求它們相應第8項的比 3 等差數列 an 中 S12 354 前12項中偶數項的和與奇數項的和之比為33 27 求公差d 4 項數為奇數的等差數列 an 中 S奇 168 S偶 140 求中間項及項數 n 16 C a1 1100 6 有30根水泥電線桿 要運往1000m處放一根 以后每50m放一根 一輛汽車每次只能運三根 如果用一輛汽車完成這項任務 這輛汽車的行程共有多少千米 M A B 解 如圖 假定30根電線桿均在點