奧賽 雞兔同籠問題.doc

雞兔同籠一、基本問題“雞兔同籠”是一類有名的中國古算題.最早出現(xiàn)在孫子算經(jīng)中.許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問題，或者用解它的典型解法-“假設(shè)法”來求解.因此很有必要學(xué)會(huì)它的解法和思路.例1 有若干只雞和兔子，它們共有88個(gè)頭，244只腳，雞和兔各有多少只？解：我們?cè)O(shè)想，每只雞都是“金雞獨(dú)立”，一只腳站著；而每只兔子都用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著.現(xiàn)在，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半，也就是2442=122（只）.在122這個(gè)數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次.因此從122減去總頭數(shù)88，剩下的就是兔子頭數(shù)122-88=34，有34只兔子.當(dāng)然雞就有54只.答：有兔子34只，雞54只.上面的計(jì)算，可以歸結(jié)為下面算式：總腳數(shù)2-總頭數(shù)=兔子數(shù).上面的解法是孫子算經(jīng)中記載的.做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數(shù)，多簡單！能夠這樣算，主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別是4和2，4又是2的2倍.可是，當(dāng)其他問題轉(zhuǎn)化成這類問題時(shí)，“腳數(shù)”就不一定是4和2，上面的計(jì)算方法就行不通.因此，我們對(duì)這類問題給出一種一般解法.還說例1.如果設(shè)想88只都是兔子，那么就有488只腳，比244只腳多了884-244=108（只）.每只雞比兔子少（4-2）只腳，所以共有雞（884-244）（4-2）= 54（只）.說明我們?cè)O(shè)想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是雞.因此可以列出公式雞數(shù)=（兔腳數(shù)總頭數(shù)-總腳數(shù)）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）.當(dāng)然，我們也可以設(shè)想88只都是“雞”，那么共有腳288=176（只），比244只腳少了244-176=68（只）.每只雞比每只兔子少（4-2）只腳，682=34（只）.說明設(shè)想中的“雞”，有34只是兔子，也可以列出公式兔數(shù)=（總腳數(shù)-雞腳數(shù)總頭數(shù)）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）.上面兩個(gè)公式不必都用，用其中一個(gè)算出兔數(shù)或雞數(shù)，再用總頭數(shù)去減，就知道另一個(gè)數(shù).假設(shè)全是雞，或者全是兔，通常用這樣的思路求解，有人稱為“假設(shè)法”.現(xiàn)在，拿一個(gè)具體問題來試試上面的公式.例2 紅鉛筆每支0.19元，藍(lán)鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元.問紅、藍(lán)鉛筆各買幾支？解：以“分”作為錢的單位.我們?cè)O(shè)想，一種“雞”有11只腳，一種“兔子”有19只腳，它們共有16個(gè)頭，280只腳.現(xiàn)在已經(jīng)把買鉛筆問題，轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問題了.利用上面算兔數(shù)公式，就有藍(lán)筆數(shù)=（1916-280）（19-11）=248=3（支）.紅筆數(shù)=16-3=13（支）.答：買了13支紅鉛筆和3支藍(lán)鉛筆.對(duì)于這類問題的計(jì)算，常?？梢岳靡阎_數(shù)的特殊性.例2中的“腳數(shù)”19與11之和是30.我們也可以設(shè)想16只中，8只是“兔子”，8只是“雞”，根據(jù)這一設(shè)想，腳數(shù)是8（11+19）=240.比280少40.40（19-11）=5.就知道設(shè)想中的8只“雞”應(yīng)少5只，也就是“雞”（藍(lán)鉛筆）數(shù)是3.308比1916或1116要容易計(jì)算些.利用已知數(shù)的特殊性，靠心算來完成計(jì)算.實(shí)際上，可以任意設(shè)想一個(gè)方便的兔數(shù)或雞數(shù).例如，設(shè)想16只中，“兔數(shù)”為10，“雞數(shù)”為6，就有腳數(shù)1910+116=256.比280少24.24（19-11）=3，就知道設(shè)想6只“雞”，要少3只.要使設(shè)想的數(shù)，能給計(jì)算帶來方便，常常取決于你的心算本領(lǐng).下面再舉四個(gè)稍有難度的例子.例3 一份稿件，甲單獨(dú)打字需6小時(shí)完成.乙單獨(dú)打字需10小時(shí)完成，現(xiàn)在甲單獨(dú)打若干小時(shí)后，因有事由乙接著打完，共用了7小時(shí).甲打字用了多少小時(shí)？解：我們把這份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍數(shù)），甲每小時(shí)打306=5（份），乙每小時(shí)打3010=3（份）.現(xiàn)在把甲打字的時(shí)間看成“兔”頭數(shù)，乙打字的時(shí)間看成“雞”頭數(shù)，總頭數(shù)是7.“兔”的腳數(shù)是5，“雞”的腳數(shù)是3，總腳數(shù)是30，就把問題轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問題了.根據(jù)前面的公式“兔”數(shù)=（30-37）（5-3）=4.5，“雞”數(shù)=7-4.5=2.5，也就是甲打字用了4.5小時(shí)，乙打字用了2.5小時(shí).答：甲打字用了4小時(shí)30分.例4 今年是1998年，父母年齡（整數(shù)）和是78歲，兄弟的年齡和是17歲.四年后（2002年）父的年齡是弟的年齡的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，是公元哪一年？解：4年后，兩人年齡和都要加8.此時(shí)兄弟年齡之和是17+8=25，父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作“雞”頭數(shù)，弟的年齡看作“兔”頭數(shù).25是“總頭數(shù)”.86是“總腳數(shù)”.根據(jù)公式，兄的年齡是（254-86）（4-3）=14（歲）.1998年，兄年齡是14-4=10（歲）.父年齡是（25-14）4-4=40（歲）.因此，當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，兄的年齡是（40-10）（3-1）=15（歲）.這是2003年.答：公元2003年時(shí)，父年齡是兄年齡的3倍.例5 蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀.現(xiàn)在這三種小蟲共18只，有118條腿和20對(duì)翅膀.每種小蟲各幾只？解：因?yàn)轵唑押拖s都有6條腿，所以從腿的數(shù)目來考慮，可以把小蟲分成“8條腿”與“6條腿”兩種.利用公式就可以算出8條腿的蜘蛛數(shù)=（118-618）（8-6）=5（只）.因此就知道6條腿的小蟲共18-5=13（只）.也就是蜻蜓和蟬共有13只，它們共有20對(duì)翅膀.再利用一次公式蟬數(shù)=（132-20）（2-1）=6（只）.因此蜻蜓數(shù)是13-6=7（只）.答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬.例6 某次數(shù)學(xué)考試考五道題，全班52人參加，共做對(duì)181道題，已知每人至少做對(duì)1道題，做對(duì)1道的有7人，5道全對(duì)的有6人，做對(duì)2道和3道的人數(shù)一樣多，那么做對(duì)4道的人數(shù)有多少人？解：對(duì)2道、3道、4道題的人共有52-7-6=39（人）.他們共做對(duì)181-17-56=144（道）.由于對(duì)2道和3道題的人數(shù)一樣多，我們就可以把他們看作是對(duì)2.5道題的人（2+3）2=2.5）.這樣兔腳數(shù)=4，雞腳數(shù)=2.5，總腳數(shù)=144，總頭數(shù)=39.對(duì)4道題的有（144-2.539）（4-1.5）=31（人）.答：做對(duì)4道題的有31人.二、“兩數(shù)之差”的問題雞兔同籠中的總頭數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢？例7 買一些4分和8分的郵票，共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張，那么兩種郵票各買了多少張？解一：如果拿出40張8分的郵票，余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多.（680-840）（8+4）=30（張），這就知道，余下的郵票中，8分和4分的各有30張.因此8分郵票有40+30=70（張）.答：買了8分的郵票70張，4分的郵票30張.也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法.解二：譬如，假設(shè)有20張4分，根據(jù)條件“8分比4分多40張”，那么應(yīng)有60張8分.以“分”作為計(jì)算單位，此時(shí)郵票總值是420+860=560.比680少，因此還要增加郵票.為了保持“差”是40，每增加1張4分，就要增加1張8分，每種要增加的張數(shù)是（680-420-860）（4+8）=10（張）.因此4分有20+10=30（張），8分有60+10=70（張）.例8 一項(xiàng)工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成？解：類似于例3，我們?cè)O(shè)工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例題解一的方法，晴天有（150-83）（10+8）= 7（天）.雨天是7+3=10天，總共7+10=17（天）.答：這項(xiàng)工程17天完成.請(qǐng)注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而換成已知工程是17天完成，由此又回到上一節(jié)的問題.差是3，與和是17，知道其一，就能推算出另一個(gè).這說明了例7、例8與上一節(jié)基本問題之間的關(guān)系.總腳數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢？例9 雞與兔共100只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28.問雞與兔各幾只？解一：假如再補(bǔ)上28只雞腳，也就是再有雞282=14（只），雞與兔腳數(shù)就相等，兔的腳是雞的腳42=2（倍），于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍.兔的只數(shù)是（100+282）（2+1）=38（只）.雞是100-38=62（只）.答：雞62只，兔38只.當(dāng)然也可以去掉兔284=7（只）.兔的只數(shù)是（100-284）（2+1）+7=38（只）.也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法.解二：假設(shè)有50只雞，就有兔100-50=50（只）.此時(shí)腳數(shù)之差是450-250=100，比28多了72.就說明假設(shè)的兔數(shù)多了（雞數(shù)少了）.為了保持總數(shù)是100，一只兔換成一只雞，少了4只兔腳，多了2只雞腳，相差為6只（千萬注意，不是2）.因此要減少的兔數(shù)是（100-28）（4+2）=12（只）.兔只數(shù)是50-12=38（只）.另外，還存在下面這樣的問題：總頭數(shù)換成“兩數(shù)之差”，總腳數(shù)也換成“兩數(shù)之差”.例10 古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個(gè)字；七言絕句是四句詩，每句都是七個(gè)字.有一詩選集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字?jǐn)?shù)卻反而少了20個(gè)字.問兩種詩各多少首.解一：如果去掉13首五言絕句，兩種詩首數(shù)就相等，此時(shí)字?jǐn)?shù)相差1354+20=280（字）.每首字?jǐn)?shù)相差74-54=8（字）.因此，七言絕句有28（28-20）=35（首）.五言絕句有35+13=48（首）.答：五言絕句48首，七言絕句35首.解二：假設(shè)五言絕句是23首，那么根據(jù)相差13首，七言絕句是10首.字?jǐn)?shù)分別是2023=460（字），2810=280（字），五言絕句的字?jǐn)?shù)，反而多了460-280=180（字）.與題目中“少20字”相差180+20=200（字）.說明假設(shè)詩的首數(shù)少了.為了保持相差13首，增加一首五言絕句，也要增一首七言絕句，而字?jǐn)?shù)相差增加8.因此五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加2008=25（首）.五言絕句有23+25=48（首）.七言絕句有10+25=35（首）.在寫出“雞兔同籠”公式的時(shí)候，我們假設(shè)都是兔，或者都是雞，對(duì)于例7、例9和例10三個(gè)問題，當(dāng)然也可以這樣假設(shè).現(xiàn)在來具體做一下，把列出的計(jì)算式子與“雞兔同籠”公式對(duì)照一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)非常有趣的事.例7，假設(shè)都是8分郵票，4分郵票張數(shù)是（680-840）（8+4）=30（張）.例9，假設(shè)都是兔，雞的只數(shù)是（1004-28）（4+2）=62（只）.10，假設(shè)都是五言絕句，七言絕句的首數(shù)是（2013+20）（28-20）=35（首）.首先，請(qǐng)讀者先弄明白上面三個(gè)算式的由來，然后與“雞兔同籠”公式比較，這三個(gè)算式只是有一處“-”成了“+”.其奧妙何在呢？當(dāng)你進(jìn)入初中，有了負(fù)數(shù)的概念，并會(huì)列二元一次方程組，就會(huì)明白，從數(shù)學(xué)上說，這一講前兩節(jié)列舉的所有例子都是同一件事.例11 有一輛貨車運(yùn)輸2000只玻璃瓶，運(yùn)費(fèi)按到達(dá)時(shí)完好的瓶子數(shù)目計(jì)算，每只2角，如有破損，破損瓶子不給運(yùn)費(fèi)，還要每只賠償1元.結(jié)果得到運(yùn)費(fèi)379.6元，問這次搬運(yùn)中玻璃瓶破損了幾只？解：如果沒有破損，運(yùn)費(fèi)應(yīng)是400元.但破損一只要減少1+0.2=1.2（元）.因此破損只數(shù)是（400-379.6）（1+0.2）=17（只）.答：這次搬運(yùn)中破損了17只玻璃瓶.請(qǐng)你想一想，這是“雞兔同籠”同一類型的問題嗎？例12 有兩次自然測(cè)驗(yàn)，第一次24道題，答對(duì)1題得5分，答錯(cuò)（包含不答）1題倒扣1分；第二次15道題，答對(duì)1題8分，答錯(cuò)或不答1題倒扣2分，小明兩次測(cè)驗(yàn)共答對(duì)30道題，但第一次測(cè)驗(yàn)得分比第二次測(cè)驗(yàn)得分多10分，問小明兩次測(cè)驗(yàn)各得多少分？解一：如果小明第一次測(cè)驗(yàn)24題全對(duì)，得524=120（分）.那么第二次只做對(duì)30-24=6（題）得分是86-2（15-6）=30（分）.兩次相差120-30=90（分）.比題目中條件相差10分，多了80分.說明假設(shè)的第一次答對(duì)題數(shù)多了，要減少.第一次答對(duì)減少一題，少得5+1=6（分），而第二次答對(duì)增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加8+2=10分.兩者兩差數(shù)就可減少6+10=16（分）.（90-10）（6+10）=5（題）.因此，第一次答對(duì)題數(shù)要比假設(shè)（全對(duì)）減少5題，也就是第一次答對(duì)19題，第二次答對(duì)30-19=11（題）.第一次得分519-1（24- 9）=90.第二次得分811-2（15-11）=80.答：第一次得90分，第二次得80分.解二：答對(duì)30題，也就是兩次共答錯(cuò)24+15-30=9（題）.第一次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去5+1=6（分），第二次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去8+2=10（分）.答錯(cuò)題互換一下，兩次得分要相差6+10=16（分）.如果答錯(cuò)9題都是第一次，要從滿分中扣去69.但兩次滿分都是120分.比題目中條件“第一次得分多10分”，要少了69+10.因此，第二次答錯(cuò)題數(shù)是（69+10）（6+10）=4（題）第一次答錯(cuò) 9-4=5（題）.第一次得分 5（24-5）-15=90（分）.第二次得分 8（15-4）-24=80（分）.三、從“三”到“二”“雞”和“兔”是兩種東西，實(shí)際上還有三種或者更多種東西的類似問題.在第一節(jié)例5和例6就都有三種東西.從這兩個(gè)例子的解法，也可以看出，要把“三種”轉(zhuǎn)化成“二種”來考慮.這一節(jié)要通過一些例題，告訴大家兩類轉(zhuǎn)化的方法.例13 學(xué)校組織新年游藝晚會(huì)，用于獎(jiǎng)品的鉛筆、圓珠筆和鋼筆共232支，共花了300元.其中鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍.已知鉛筆每支0.60元，圓珠筆每支2.7元，鋼筆每支6.3元.問三種筆各有多少支？解：從條件“鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍”，這兩種筆可并成一種筆，四支鉛筆和一支圓珠筆成一組，這一組的筆，每支價(jià)格算作（0.604+2.7）5=1.02（元）.現(xiàn)在轉(zhuǎn)化成價(jià)格為1.02和6.3兩種筆.用“雞兔同籠”公式可算出，鋼筆支數(shù)是（300-1.02232）（6.3-1.02）=12（支）.鉛筆和圓珠筆共23212220（支）.其中圓珠筆220（4+1）=44（支）.鉛筆220-44=176（支）.答：其中鋼筆12支，圓珠筆44支，鉛筆176支.例14 商店出售大、中、小氣球，大球每個(gè)3元，中球每個(gè)1.5元，小球每個(gè)1元.張老師用120元共買了55個(gè)球，其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多.問每種球各買幾個(gè)？解：因?yàn)榭傚X數(shù)是整數(shù)，大、小球的價(jià)錢也都是整數(shù)，所以買中球的錢數(shù)是整數(shù)，而且還是3的整數(shù)倍.我們?cè)O(shè)想買中球、小球錢中各出3元.就可買2個(gè)中球，3個(gè)小球.因此，可以把這兩種球看作一種，每個(gè)價(jià)錢是（1.52+13）（2+3）=1.2（元）.從公式可算出，大球個(gè)數(shù)是（120-1.255）（3-1.2）=30（個(gè)）.買中、小球錢數(shù)各是（120-303）2=15（元）.可買10個(gè)中球，15個(gè)小球.答：買大球30個(gè)、中球10個(gè)、小球15個(gè).例13是從兩種東西的個(gè)數(shù)之間倍數(shù)關(guān)系，例14是從兩種東西的總錢數(shù)之間相等關(guān)系（倍數(shù)關(guān)系也可用類似方法），把兩種東西合井成一種考慮，實(shí)質(zhì)上都是求兩種東西的平均價(jià)，就把“三”轉(zhuǎn)化成“二”了.例15是為例16作準(zhǔn)備.例15 某人去時(shí)上坡速度為每小時(shí)走3千米，回來時(shí)下坡速度為每小時(shí)走6千米，求他的平均速度是多少？解：去和回來走的距離一樣多.這是我們考慮問題的前提.平均速度=所行距離所用時(shí)間去時(shí)走1千米，要用20分鐘；回來時(shí)走1千米，要用10分鐘.來回共走2千米，用了30分鐘，即半小時(shí)，平均速度是每小時(shí)走4千米.千萬注意，平均速度不是兩個(gè)速度的平均值：每小時(shí)走（6+3）2=4.5千米.例16 從甲地至乙地全長45千米，有上坡路、平路、下坡路.李強(qiáng)上坡速度是每小時(shí)3千米，平路上速度是每小時(shí)5千米，下坡速度是每小時(shí)6千米.從甲地到乙地，李強(qiáng)行走了10小時(shí)；從乙地到甲地，李強(qiáng)行走了11小時(shí).問從甲地到乙地，各種路段分別是多少千米？解：把來回路程452=90（千米）算作全程.去時(shí)上坡，回來是下坡；去時(shí)下坡回來時(shí)上坡.把上坡和下坡合并成“一種”路程，根據(jù)例15，平均速度是每小時(shí)4千米.現(xiàn)在形成一個(gè)非常簡單的“雞兔同籠”問題.頭數(shù)10+11=21，總腳數(shù)90，雞、兔腳數(shù)分別是4和5.因此平路所用時(shí)間是（90-421）（5-4）=6（小時(shí)）.單程平路行走時(shí)間是62=3（小時(shí)）.從甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小時(shí)）行走路程是45-53=30（千米）.又是一個(gè)“雞兔同籠”問題.從甲地至乙地，上坡行走的時(shí)間是（67-30）（6-3）=4（小時(shí)）.行走路程是34=12（千米）.下坡行走的時(shí)間是7-4=3（小時(shí)）.行走路程是63=18（千米）.答：從甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米.做兩次“雞兔同籠”的解法，也可以叫“兩重雞兔同籠問題”.例16是非常典型的例題.例17 某種考試已舉行了24次，共出了426題.每次出的題數(shù)，有25題，或者16題，或者20題.那么，其中考25題的有多少次？解：如果每次都考16題，