D11_6高斯公式 斯托克斯公式.ppt

第六節(jié) Green公式 Gauss公式 推廣 一 高斯公式 高斯公式 第十一章 斯托克斯公式 二 斯托克斯公式 Stokes公式 一 高斯 Gauss 公式 定理1 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) 函數(shù)P Q R在 面 所圍成 則有 Gauss公式 高斯 的方向取外側(cè) 利用兩類曲面積分的聯(lián)系 高斯公式還可以有 以下形式 其中 是 在點 x y z 處的法 向量的方向余弦 例1 用Gauss公式計算 其中 為柱面 閉域 的整個邊界曲面的外側(cè) 解 這里 利用Gauss公式 得 原式 及平面z 0 z 3所圍空間 思考 若 改為內(nèi)側(cè) 結(jié)果有何變化 若 為圓柱側(cè)面 取外側(cè) 如何計算 利用質(zhì)心公式 注意 例2 利用Gauss公式計算積分 其中 為錐面 解 作輔助面 取上側(cè) 介于z 0及z h 之間部分的下側(cè) 為法向量的方向角 所圍區(qū)域為 則 利用質(zhì)心公式 注意 思考 計算曲面積分 提示 作取上側(cè)的輔助面 介于平面z 0及z 2 之間部分的下側(cè) 先二后一 例3 設(shè) 為曲面 取上側(cè) 求 解 作輔助面 用柱坐標(biāo) 用極坐標(biāo) 下側(cè) 二 斯托克斯公式 定理2 設(shè)光滑曲面 的邊界 是分段光滑曲線 斯托克斯公式 個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) 的 側(cè)與 的正向符合右手法則 在包含 在內(nèi)的一 則有 簡介 注意 如果 是xOy面上的一塊平面區(qū)域 則斯托克斯 公式就是格林公式 故格林公式是斯托克斯公式的特例 定理1 為便于記憶 斯托克斯公式還可寫作 或用第一類曲面積分表示 定理1 例4 利用斯托克斯公式計算積分 其中 為平面x y z 1被三坐標(biāo)面所截三角形的整 解 記三角形域為 取上側(cè) 則 個邊界 方向如圖所示 利用對稱性 例5 為柱面 與平面y z的交線 從z 軸正向看為順時針 解 設(shè) 為平面z y上被 所圍橢圓域 且取下側(cè) 利用斯托克斯公式得 則其法線方向余弦 公式其他形式 計算 內(nèi)容小結(jié) 1 高斯公式及其應(yīng)用 公式 應(yīng)用 計算曲面積分 非閉曲面時注意添加輔助面的技巧 2 斯托克斯公式 作業(yè) P2361 4 P2452 4 P2474 2 3 第七節(jié) 思考與練習(xí) 所圍立體 判斷下列演算是否正確 1 2 為 備用題設(shè) 是一光滑閉曲面 所圍立體 的體 是 外法線向量與點 x y z 的向徑 試證 證 設(shè) 的單位外法向量為 則 的夾角 積為V 高斯 1777 1855 德國數(shù)學(xué)家 天文學(xué)家和物理學(xué)家 是與阿基米德 牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家 他的數(shù)學(xué)成就遍及各個領(lǐng)域 在數(shù)論 級數(shù) 復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開創(chuàng) 性的貢獻 他還十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用 地測量學(xué)和磁學(xué)的研究中發(fā)明和發(fā)展了最小二乘法 曲面論和位勢論等 他