現(xiàn)代控制理論.ppt

現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 1 3線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性 3 1能控性和能觀測性的概念3 2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性3 3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性3 4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性3 5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測性3 6線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系3 7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測性標(biāo)準(zhǔn)形3 8傳遞函數(shù)中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控性和能觀測性的關(guān)系3 9線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性和能觀測性的分解 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 2 3 1能控性和能觀測性的概念 能控性已知系統(tǒng)的當(dāng)前時(shí)刻及其狀態(tài) 研究是否存在一個(gè)容許控制 使得系統(tǒng)在該控制的作用下在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)希望的特定狀態(tài) 能觀測性已知系統(tǒng)及其在某時(shí)間段上的輸出 研究可否依據(jù)這一時(shí)間段上的輸出確定系統(tǒng)這一時(shí)間段上的狀態(tài) 能控性和能觀測性是現(xiàn)代控制理論中兩個(gè)基礎(chǔ)性概念 由卡爾曼 R E Kalman 于1960年首次提出 u t 能否引起x t 的變化 y t 能否反映x t 的變化 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 3 3 1能控性和能觀測性的概念 一個(gè)RC網(wǎng)絡(luò) 圖中RC網(wǎng)絡(luò)的輸入端是電流源i 輸出端開路 取電容C1和C2上的電壓v1和v2為該系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變量 v1是能控的 v2是不能控的 V2是能觀測的 v1是不能觀測的 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 4 3 1能控性和能觀測性的概念 在最優(yōu)控制問題中 其任務(wù)是尋求輸入u t 使?fàn)顟B(tài)軌跡達(dá)到最優(yōu) 則要求狀態(tài)能控 但狀態(tài)x t 的值通常是難以直接測量的 往往需要從測得的輸出y t 中估計(jì)出來 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 5 3 1能控性和能觀測性的概念 例分析如下系統(tǒng)的能控性和能觀測性 解將其表示為標(biāo)量方程組的形式 表明系統(tǒng)的狀態(tài)是不能控和不能觀測的 輸入u不能控制狀態(tài)變量x1 故x1是不能控的 輸出y不能反映狀態(tài)變量x2 故x2是不能觀測的 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 6 3 1能控性和能觀測性的概念 例分析如下系統(tǒng)的能控性和能觀測性 解將其表示為標(biāo)量方程組的形式 實(shí)際上 系統(tǒng)的狀態(tài)既不是完全能控的 也不是完全能觀測的 所有狀態(tài)變量都是能控和能觀測的 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 7 3 2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u t 能在有限時(shí)間區(qū)間 t0 tf 內(nèi)使得系統(tǒng)的某一初始狀態(tài)x t0 轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)x tf 則稱初始狀態(tài)x t0 是能控的 若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的 則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的 或簡稱是能控的 狀態(tài)平面中點(diǎn)P能在u t 作用下被驅(qū)動(dòng)到任一指定狀態(tài)P1 P2 Pn 則點(diǎn)P是能控的狀態(tài) 假如 能控狀態(tài) 充滿整個(gè)狀態(tài)空間 則該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的 由此可看出 系統(tǒng)中某一狀態(tài)能控和系統(tǒng)狀態(tài)完全能控在含義上是不同的 3 2 1狀態(tài)能控性定義 定義對于連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng) 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 8 3 2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 能控性和能達(dá)性問題 1 能控性定義 對于給定連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng) 若存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u t 能在有限時(shí)間區(qū)間 t0 tf 內(nèi) 將系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)x t0 轉(zhuǎn)移到原點(diǎn) 即x tf 0 則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的 2 能達(dá)性定義 對于給定連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng) 若存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u t 能在有限時(shí)間區(qū)間 t0 tf 內(nèi) 將狀態(tài)x t 從原點(diǎn)轉(zhuǎn)移到任一指定的終端 目標(biāo) 狀態(tài)x tf 則稱系統(tǒng)是能達(dá)的 對線性定常系統(tǒng) 能控性和能達(dá)性是完全等價(jià)的 簡記為 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 9 3 2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 3 2 2狀態(tài)能控性的判別準(zhǔn)則 定理3 1對于n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng) A B 其狀態(tài)完全能控的充分條件時(shí)由A B陣所構(gòu)成的能控性判別矩陣 滿秩 即 證明 1 能控性判別準(zhǔn)則一 因?yàn)?根據(jù)能控性定義 在終態(tài)時(shí)刻t1 有x t1 0 所以 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 10 3 2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 對于任意給定的x 0 能夠唯一解出bi 或u 的條件是 滿秩 即 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 11 3 2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 例試判別如下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 解構(gòu)造能控性判別矩陣 這是一個(gè)奇異陣 即 所以該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的 即系統(tǒng)狀態(tài)不能控 解系統(tǒng)的能控性判別矩陣為 所以該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的 例試判別如下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 因?yàn)?所以 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 12 3 2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 解該系統(tǒng)的能控性判別矩陣為 因?yàn)閞ank Qc 1 n 所以該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的 該系統(tǒng)是由兩個(gè)結(jié)構(gòu)上完全相同 且又不是相互獨(dú)立的一階系統(tǒng)組成的 顯然 只有在其初始狀態(tài)x1 t0 和x2 t0 相同的條件下 才存在某一u t 將x1 t0 和x2 t0 在有限時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn) 否則是不可能的 例試判別連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 13 而 Qc 0表示矩陣Qc bAb An 1b 有且僅有n個(gè)線性無關(guān)的列 也就是Qc的秩為n 即 必須是非奇異矩陣 換句話說 矩陣Qc的逆存在 即 3 2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 推論對于單輸入情況 若可求得到相應(yīng)的控制作用u 使?fàn)顟B(tài)變量從任意x0轉(zhuǎn)移到原點(diǎn) 則矩陣 因此 可以把 Qc 0作為單輸入情況下的能控性判據(jù) 對于多輸入情況 Qc不是方陣 不能用此結(jié)論 但有 因此 可以把 QcQcT 0作為多輸入系統(tǒng)的能控性判據(jù) 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 14 3 2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 例試判別三階雙輸入系統(tǒng)的狀態(tài)能控性 解首先構(gòu)造能控性判別矩陣 容易得到 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 15 3 2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性 通過線性變換把矩陣A化成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 然后根據(jù)這一標(biāo)準(zhǔn)形來判別系統(tǒng)的能控性 證明 系統(tǒng) A B 的能控性判斷陣為 系統(tǒng)的能控性判斷陣為 因是P 1滿秩的 所以的秩與Qc的秩相同 2 能控性判別準(zhǔn)則二 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 16 3 2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 定理3 2若系統(tǒng) A B 具有互異的特征值 則其狀態(tài)完全能控的充分必要條件是經(jīng)線性變換后的對角標(biāo)準(zhǔn)形 陣中不包含元素全為零的行 定理3 3若系統(tǒng) A B 具有互異的重特征值 則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件 是經(jīng)線性變換的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 與每個(gè)約當(dāng)塊Ji對應(yīng)的i的最后一行的元素不全為零 其中 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 17 3 2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 例試判別以下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 解A陣具有互不相同的特征值 系統(tǒng) I 和 III 是能控的 其特征值相同 盡管b陣的元素不為零 但系統(tǒng)狀態(tài)不能控 注意 特征值互不相同條件 某些具有重特征值的矩陣 也能化成對角線標(biāo)準(zhǔn)形 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 18 3 2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 例試判斷以下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 解系統(tǒng) I 和 III 是狀態(tài)完全能控的 而系統(tǒng) II 和 IV 因?qū)?yīng)約當(dāng)小塊最后一行存在元素為零的行 故狀態(tài)不完全能控 注意 特征值互不相同條件 第一行與第三行成比例 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 19 3 2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 定理3 3 附 若系統(tǒng) A B 具有相同的重特征值 則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件 是經(jīng)線性變換的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 相同特征值下的約當(dāng)塊Ji對應(yīng)的i的最后一行線性無關(guān) 其中 例試判斷以下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 J1 J2 B2 B1 B1和B2的最后一行成比例 不是線性無關(guān)的 所以不能控 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 20 3 2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 具有相同特征值的線性變換舉例 特征值為 l1 2時(shí) 任選 l2 1時(shí) 任選 任選 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 21 3 2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 若存在一分段連續(xù)的輸入信號(hào)u t 在有限時(shí)間 t0 tf 內(nèi) 能把任一給定的初始輸出y t0 轉(zhuǎn)移到任意指定的最終輸出y tf 則稱系統(tǒng)輸出是完全能控的 3 2 3輸出能控性定義及判別準(zhǔn)則 輸出的能控性是指系統(tǒng)的輸入能否控制系統(tǒng)的輸出 定義對于n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng) 定理3 4對于n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng) 輸出完全能控的充要條件 是 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 22 3 2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 例試分析系統(tǒng)的輸出能控性和狀態(tài)能控性 解 故輸出能控性判別矩陣為 說明系統(tǒng)是輸出完全能控的 再來分析系統(tǒng)的狀態(tài)能控性 說明系統(tǒng)狀態(tài)是不完全能控的 狀態(tài)能控性與輸出能控性無關(guān) 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 23 3 3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 問題 能否通過對輸出的有限時(shí)間的測量識(shí)別出系統(tǒng)的狀態(tài) 定義設(shè)連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程是 如果對任意給定的輸入u 存在一有限觀測時(shí)間tf t0 使得根據(jù) t0 tf 期間的輸出y t 能唯一地確定系統(tǒng)的初態(tài)x t0 則稱狀態(tài)x t0 是能觀測的 若系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)都是能觀測的 則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的 或簡稱能觀測的 簡記為 A C 如果m n 且C非奇異 則 顯然這不需要觀測時(shí)間 但是一般mt0 簡要說明 因?yàn)槟苡^測性表示y t 反映x t 的能力 不妨令u 0 3 3 1線性定常系統(tǒng)能觀測性的定義 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 24 3 3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 定理3 5n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng) A C 狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是其能觀測判別矩陣 3 3 2能觀測性判別準(zhǔn)則 同樣有秩判據(jù)和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù) 滿秩 即rank Qo n或 1 能觀測性判別準(zhǔn)則一 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 25 3 3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 證明 對于任意給定的x 0 有 由上式 根據(jù)得到的y t 可以唯一地確定x 0 的條件是 滿秩 即rank Qo n 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 26 3 3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 例試判別連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 解構(gòu)造能觀測性判別矩陣 因?yàn)閞ank Qo 2 n 所以系統(tǒng)是能觀測的 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 27 3 3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 例試判別系統(tǒng)的能觀測性 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 28 3 3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 推論對單輸出系統(tǒng) 狀態(tài)能觀測的充分必要條件為 Qo是非奇異矩陣 換句話說 Qo 0是系統(tǒng)能觀測的充分必要條件 Qo 0表示了矩陣Qo有且僅有n個(gè)行向量是線性獨(dú)立的 即rank Qo n 對于多輸出系統(tǒng) Qo是nm n陣不是方陣 但有如下關(guān)系 因此 可把 作為多輸出系統(tǒng)的能觀測性判據(jù) rank Qo rank QToQo QToQo 0 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 29 3 3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 例試判斷下列連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 顯然 系統(tǒng) I 是能觀測的 系統(tǒng) II 是不能觀測的 2 能觀測判別準(zhǔn)則二 定理3 6若n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng) A C 具有互異的特征值 則其狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的對角線標(biāo)準(zhǔn)形陣中不含有元素全為零的列 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 30 3 3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 其中 與每個(gè)約當(dāng)塊Ji對應(yīng)的i的首列的元素不全為零 例試判斷下面兩個(gè)連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性 解根據(jù)上述定理 I 是能觀測的 II 是不能觀測的 定理3 7若n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng) A C 具有互異的重特征值 則系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是經(jīng)線性非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 31 定理3 7 附 若系統(tǒng) A B 具有相同的重特征值 則系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充要條件是經(jīng)線性變換的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 例試判斷以下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性 J1 J2 C2 C1 C1和C2的首列成比例 不是線性無關(guān)的 所以不能觀測 3 3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 相同特征值下的約當(dāng)塊Ji對應(yīng)的的首列線性無關(guān) 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 32 3 4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 3 4 1能控性定義與判據(jù) 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 33 3 4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 解利用遞推方法 為檢驗(yàn)系統(tǒng)能否在第一步使x 0 轉(zhuǎn)移到零 對上式令x 1 0 倘若能夠解出u 0 則表示在第一步就可以把給定初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零 且控制作用即為u 0 為此令x 1 0 則有 計(jì)算表明對該系統(tǒng)若取u 0 3 則能將x0 211 T在第一步轉(zhuǎn)移到零 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 34 3 4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 例若上例系統(tǒng)初始狀態(tài)為 解由遞推公式 有 顯然 對于上式若令x 1 0 解不出u 0 這說明對于本例初始狀態(tài)是不能在第一步轉(zhuǎn)移到零 再遞推一步 能否找到控制序列 將其轉(zhuǎn)移到零狀態(tài) 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 35 3 4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 若令x 2 0 仍無法解出u 0 u 1 再遞推一步 若令x 3 0 上式是一個(gè)含有三個(gè)未知量的線性齊次方程 有唯一解 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 36 2 能控性判別準(zhǔn)則 3 4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 狀態(tài)完全能控的充分必要條件是能控性判別矩陣 滿秩 即 解構(gòu)造能控性判別矩陣 顯然rank Qc 1 n 所以系統(tǒng)是不能控的 例試判別系統(tǒng)能控性 已知離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的G h為 定理3 8對于n階離散時(shí)間線性定常系統(tǒng) 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 37 從前三列可以看出rank Qc 3所以系統(tǒng)是能控的 3 4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 解首先計(jì)算 于是 需要指出 多輸入系統(tǒng)能控判別矩陣是一個(gè)n nr階矩陣 有時(shí)并不需要對整個(gè)Qc陣檢驗(yàn)其秩 只需要從Qc陣中構(gòu)成一個(gè)n n陣檢驗(yàn)其秩 就可用于判斷狀態(tài)能控性 例試判別系統(tǒng)狀態(tài)的能控性 設(shè)離散系統(tǒng)G H為 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 38 若能夠根據(jù)在有限個(gè)采樣瞬間上測量到的y k 即y 0 y 1 y l 1 可以唯一地確定出系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)x 0 x0 則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的 或簡稱是能觀測的 定義對于n階離散時(shí)間線性定常系統(tǒng) 3 4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是能觀測性判別矩陣 的秩為n 即rank Qo n 定理3 9對于n階離散時(shí)間線性定常系統(tǒng) 3 4 2能觀測性定義與判據(jù) 1 能觀測性定義 2 能觀測性判別準(zhǔn)則 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 39 3 4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 例設(shè)離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的G C為 解該系統(tǒng)能觀測性判別矩陣為 所以rank Qo 3 故該系統(tǒng)狀態(tài)是能觀測的 試判別其狀態(tài)能觀測性 取前三行 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 40 3 4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 顯然 該連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)是能控且能觀測的 3 4 3采樣周期對離散時(shí)間線性系統(tǒng)能控性和能觀測性的影響 一個(gè)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)在其離散化后其能控性和能觀測性是否發(fā)生改變 例設(shè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為 解其能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣分別為 試確定使離散時(shí)間線性系統(tǒng)能控 能觀測的采樣周期 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 41 3 4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 取采樣周期為T 將上述系統(tǒng)離散化 因 于是離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性判別矩陣 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 42 3 4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 若 則有 說明 若欲使離散時(shí)間系統(tǒng)是能控及能觀測的 采樣周期應(yīng)滿足 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 43 3 5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀測性 3 5 1能控性定義與判別準(zhǔn)則 對于初始時(shí)刻t0的某給定初始狀態(tài)x t0 x0 存在另一個(gè)有限時(shí)刻tf tf t0和定義在時(shí)間區(qū)間 t0 tf 上容許控制u 使得系統(tǒng)在這個(gè)控制作用下 從x0出發(fā)的軌線在tf時(shí)刻達(dá)到零狀態(tài)即x tf 0 則稱x0在t0時(shí)刻是系統(tǒng)的一個(gè)能控狀態(tài) 如果狀態(tài)空間上的所有狀態(tài)在t0時(shí)刻都是能控的 則稱系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能控的 1 能控性定義 定義若連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng) 可以看出 時(shí)變系統(tǒng)的能控性定義和定常系統(tǒng)的能控性定義基本相同 但考慮到A t B t 是時(shí)變矩陣 其狀態(tài)向量的轉(zhuǎn)移與起始時(shí)刻t0的選取有關(guān) 所以時(shí)變系統(tǒng)的能控性與所選擇的初始時(shí)刻t0有關(guān) 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 44 3 5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀測性 則系統(tǒng)在時(shí)刻完全能控的充分條件為 存在一個(gè)有限時(shí)刻 使 定理3 10對n階連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng) 設(shè)A t 和B t 對t為 n 1 階連續(xù)可微 定義如下一組矩陣 2 能控性判別準(zhǔn)則 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 45 對于初始時(shí)刻t0 存在另一時(shí)刻tf t0 使得根據(jù)時(shí)間區(qū)間 t0 tf 上輸出y t 的測量值 能夠唯一地確定系統(tǒng)在t0時(shí)刻的初始狀態(tài)x t0 x0 則稱x0為在t0時(shí)刻能觀測狀態(tài) 若系統(tǒng)在t0時(shí)刻的所有狀態(tài)都是能觀測的 則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的 簡稱系統(tǒng)是能觀測的 3 5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀測性 則稱x0為t0時(shí)刻不能觀測的狀態(tài) 系統(tǒng)在t0時(shí)刻是不能觀測的 1 能觀測性定義定義對于連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng) 3 5 2能觀測性定義與判據(jù) 反之 如果在t0時(shí)刻的初始狀態(tài)x t0 x0 所引起的系統(tǒng)輸出y t 恒等于零 即 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 46 3 5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀測性 則系統(tǒng)在時(shí)刻完全能觀測的充分條件為 存在一個(gè)有限時(shí)刻 使 定理3 11對于n階連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng) 設(shè)A t 和C t 對t n 1 階連續(xù)可微 定義如下一組矩陣 2 能觀測性判別準(zhǔn)則 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 47 3 6線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系 一個(gè)系統(tǒng)的能觀測性等價(jià)于其對偶系統(tǒng)的能控性 一個(gè)系統(tǒng)的能控性等價(jià)于其對偶系統(tǒng)的能觀測性 定義對于定常系統(tǒng) 1和 2其狀態(tài)空間描述分別為 則稱系統(tǒng) 1和 2是互為對偶的 其中 x與x 為n維狀態(tài)向量 u為r維 y為m維 u 為m維 y 為r維 若系統(tǒng) 1和 2滿足以下關(guān)系 3 6 1對偶系統(tǒng) 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 48 系統(tǒng) 1的傳遞函數(shù)陣為m r矩陣 3 6線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系 對偶系統(tǒng)的示意圖 對偶系統(tǒng)的特征方程相同 系統(tǒng) 2的傳遞函數(shù)陣為 對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣互為轉(zhuǎn)置 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 49 定理3 12設(shè) 1 A B C 和 2 A B C 是互為對偶的兩個(gè)系統(tǒng) 則 1的能控性等價(jià)于 2的能觀測性 1的能觀測性等價(jià)于 2的能控性 3 6線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系 而系統(tǒng) 2的能觀測性判別矩陣為 是完全相同的 同理 1的能觀測性判別矩陣為 而系統(tǒng) 2的能控性判別矩陣為 也是完全相同的 3 6 2對偶定理 證明系統(tǒng) 1的能控性判別矩陣為 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 50 3 7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形 若n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng) A B 是完全能控的 則 對多輸入多輸出系統(tǒng) 把 A B 和 A C 化為標(biāo)準(zhǔn)形 可以有多種不同的方法 對于單輸入單輸出系統(tǒng) 其能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣只有唯一的一組線性無關(guān)的向量 因此 當(dāng) A B 表為能控標(biāo)準(zhǔn)形和 A C 表為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形時(shí) 其表示方法是唯一的 所以僅討論單輸入單輸出系統(tǒng) 這表明 能控性矩陣中有且僅有n個(gè)列向量是線性無關(guān)的 如果取這些線性無關(guān)的列向量以某種線性組合 便可導(dǎo)出狀態(tài)空間描述的能控標(biāo)準(zhǔn)形 能觀測問題同樣 3 7 1問題的提法 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 51 3 7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形 3 7 2能控標(biāo)準(zhǔn)形 定理3 13若連續(xù)時(shí)間線性定常單輸入單輸出系統(tǒng) A b c 是狀態(tài)完全能控的 則使系統(tǒng)為能控標(biāo)準(zhǔn)形的變換陣為 其中 ai為特征多項(xiàng)式的系數(shù) 通過線性變換得能控標(biāo)準(zhǔn)形 Ac bc cc 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 52 3 7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形 利用和 可得 據(jù)凱萊 哈密頓定理有 據(jù)此 可導(dǎo)出 證明 1 推證Ac 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 53 3 7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形 于是 有 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 54 3 7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形 2 推證bc由 有 即 將上式左乘 就可證得bc 3 推證cc由 有 展開即可 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 55 3 7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形 由能控標(biāo)準(zhǔn)形可以求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 56 3 7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形 例試將如下狀態(tài)空間描述變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形 解先判別其能控性 rank Qc 3 所以系統(tǒng)是能控的 再計(jì)算系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 則a1 0 a2 9 a3 2 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 57 3 7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形 變換為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形 Ao bo co 定理3 14若n階線性定常單輸入單輸出系統(tǒng) A b c 是能觀測的 則存在線性變換 其中是特征多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù) 3 7 3能觀測標(biāo)準(zhǔn)形 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 58 3 7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形 則a1 0 a2 9 a3 2 解首先構(gòu)造能觀測性判別矩陣 因rank Qo 3 所以系統(tǒng)是能觀測的 系統(tǒng)的特征式為 例試將如下狀態(tài)空間描述變換為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 59 顯然 在這種狀態(tài)變量選擇下系統(tǒng)是不能控但是能觀測的 從傳遞函數(shù)會(huì)發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有零極點(diǎn)對消現(xiàn)象 3 8傳函中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系 例3 26試判別系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測性 解定義 于是系統(tǒng)能控性判別矩陣Qc和能觀測性判別矩陣Qo分別為 以下只討論單輸入 單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間的關(guān)系 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 60 證明假定系統(tǒng)是具有相異特征值的n階單輸入 單輸出系統(tǒng) 其狀態(tài)空間描述為 A b c 利用線性變換可將矩陣A對角化 得到等價(jià)系統(tǒng)為 3 8傳函中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系 定理3 15若線性定常單輸入 單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)中有零極點(diǎn)對消 則系統(tǒng)將是狀態(tài)不能控或狀態(tài)不能觀測的 其結(jié)果與狀態(tài)變量選擇有關(guān) 反之 若系統(tǒng)中沒有零極點(diǎn)對消 則該系統(tǒng)是完全能控且完全能觀測的 兩邊取Laplace變換 得 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 61 3 8傳函中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系 將代入 則 對特征值相異的n階系統(tǒng) 假定傳遞函數(shù)形式是 狀態(tài)能控要求 0 能觀測要求 0 一個(gè)即能控又能觀測的系統(tǒng)要求si 0 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 62 3 8傳函中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系 解組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G s 為 由G s 可以看出 當(dāng)b l2時(shí) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)發(fā)生零極點(diǎn)對消現(xiàn)象 系統(tǒng)不是即能控又能觀測的 為了分析這個(gè)不確定性 建立該系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 63 3 8傳函中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系 當(dāng)b l2時(shí) 即G s 出現(xiàn)零極點(diǎn)對消 則該串聯(lián)系統(tǒng)是不能控但能觀測的 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 其能控性和能觀測性判別矩陣為 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 64 3 8傳函中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系 例如果將上例系統(tǒng)中兩個(gè)子系統(tǒng)的位置互換一下 如圖 試判斷該系統(tǒng)的能控性和能觀測性 顯見 當(dāng)b l2時(shí)rank Qo 1 2 系統(tǒng)是能控但不能觀測的 其能控性和能觀測性判別矩陣為 解系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 65 3 8傳函中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系 從上面討論可知 由傳遞函數(shù)討論系統(tǒng)的能控性和能觀測性時(shí) 若有零極點(diǎn)對消 系統(tǒng)是能控不能觀測 還是能觀測而不能控 與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān) 若被消去的零點(diǎn)與u發(fā)生聯(lián)系則系統(tǒng)為不能控的 若被消去的零點(diǎn)與輸出y發(fā)生聯(lián)系則系統(tǒng)是不能觀測的 進(jìn)一步 若該零點(diǎn)既與輸入u發(fā)生聯(lián)系 又與輸出y發(fā)生聯(lián)系 則該系統(tǒng)是既不能控也不能觀測的 狀態(tài)變量圖 串聯(lián)系統(tǒng)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)穩(wěn)定 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 66 3 8傳函中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系 因此 不能控 能觀測 該系統(tǒng)的能控性和能觀測性判別矩陣為 建立狀態(tài)空間描述 說明系統(tǒng)有一極點(diǎn)在右半平面 故該系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的 考察該系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 67 3 9線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解 能控且能觀測子系統(tǒng) 不完全能控和不完全能觀測系統(tǒng) 能控但不能觀測子系統(tǒng) 不能控但能觀測子系統(tǒng) 不能控且不能觀測子系統(tǒng) 則存在線性變換 可將 A B C 變換為 定理3 16若n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng) A B C 是狀態(tài)不完全能控的 其能控性判別矩陣的秩為 3 9 1系統(tǒng)按能控性分解 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 68 3 9線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解 非