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含參數(shù)恒成立不等式問題的解題策略河南省三門峽市盧氏一高高三數(shù)學(xué)組(472200)趙建文 張賀忠 Eail:691724121 含參數(shù)不等式恒成立問題是高中數(shù)學(xué)中的一類重要問題,是高考考查的重點和熱點,本文將這類問題的解題策略作以介紹,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考. 一、主元變換法例1已知關(guān)于的不等式對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.分析:本題是對含參數(shù)的不等式在某個區(qū)間上恒成立,用主元變換法處理.解析:將其化為關(guān)于的不等式:對恒成立,當(dāng)=1時,不等式化為00,不成立.當(dāng)1時,關(guān)于的一次函數(shù)=在-2,4上的值恒為正值,無論一次項系數(shù)為正還是為負(fù),只需要,即,解得或.所以實數(shù)的取值范圍.點評:對含參數(shù)的不等式在某個區(qū)間上恒成立問題,若將其看成關(guān)于已知范圍的變量的不等式更為簡單,常將已知范圍的變量看作主變量,化為關(guān)于已知范圍的變量的不等式,結(jié)合對應(yīng)的函數(shù)圖像,得出其滿足的條件,通過解不等式求解.二、數(shù)形結(jié)合法例2已知關(guān)于的不等式對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.分析:本題是一邊為二次式另一邊是對數(shù)式的不等式問題,用數(shù)形結(jié)合法.解析:作出=和的圖像,由題意知對,=圖像恒在的圖像的下方,故,解得,故實數(shù)的取值范圍為.點評:對不等式經(jīng)過移項等變形,可化為兩邊是熟悉的函數(shù)的形式,特別是可化為一邊為多項式另一邊是超越函數(shù)的不等式問題和含參數(shù)的一元二次不等式問題,常常用數(shù)形結(jié)合法,先構(gòu)造函數(shù),再作出其對應(yīng)的函數(shù)的圖像,結(jié)合圖像找出其滿足的條件,通過解不等式求出參數(shù)的范圍.例3.對任意實數(shù)不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.分析:設(shè)=,對任意實數(shù)不等式恒成立即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)=的最小值,畫出此函數(shù)的圖象即可求得的取值范圍.解:令=在直角坐標(biāo)系中畫出圖象如圖所示,由圖象可看出,要使對任意實數(shù)不等式恒成立只需.故實數(shù)的取值范圍點評:本題中若將對任意實數(shù),不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍,改為任意實數(shù),不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍,同樣由圖象可得3;對任意實數(shù),不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍,構(gòu)造函數(shù),畫出圖象,得3.利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題,應(yīng)先構(gòu)造函數(shù),作出符合已知條件的圖形,再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系,得出答案或列出條件,求出參數(shù)的范圍.三、分離變量法例3已知函數(shù)在R上是減函數(shù),對一切不等式 成立,求實數(shù)的取值范圍.分析:先用函數(shù)的單調(diào)性化為關(guān)于的不等式,再用分離變量法,化為一端關(guān)于的式子另一端是關(guān)于的式子的不等式,解析:函數(shù)在R上是減函數(shù),對一切不等式 成立,對一切恒成立,對一切恒成立,設(shè)=, =,當(dāng)=1即=()時,=2,2, 解得或3,實數(shù)的取值范圍為或3.點評:對含參數(shù)不等式的在某個范圍上恒成立求參數(shù)范圍問題,若容易通過恒等變形將兩個變量分別置于不等號的兩邊,即化為不等式(或)在的某個范圍上恒成立問題,則(),先求出的最值,將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式問題,通過解不等式求出參數(shù)的取值范圍.四、分類討論法例4當(dāng)時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.分析:本題不等式左邊是對數(shù)式,底數(shù)含參數(shù),故需要對底數(shù)分類討論.解析:原不等式可化為:,當(dāng)01 時,對數(shù)函數(shù)是減函數(shù),則原不等式等價于:對恒成立, 當(dāng)時,=8, 8,解得,或;當(dāng)1 時,對數(shù)函數(shù)是增函數(shù),則原不等式等價于:對恒成立, 當(dāng)時,=2, 2,解得,或 1,綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.點評:對含參數(shù)恒成立的不等式問題,若參數(shù)取值不同,是不同的不等式或解法不同時,可對參數(shù)進(jìn)行分類討論進(jìn)行求解,注意分類要做到不重不漏.五、判別式法例5不等式1對R恒成立,求實數(shù)的取值范圍.分析:本題左邊是分子和分母都為關(guān)于二次三項式,可用判別式法.解析:0恒成立, 原不等式可化為:0對R恒成立,20, =0,解得13,實數(shù)的取值范圍為(1,3).點評:對可化為關(guān)于一元二次不等式對對R(或去掉有限個點)恒成立,常用判別式法.先將其化為關(guān)于一元二次不等式,結(jié)合對應(yīng)的一元二次函數(shù)圖像,確定二次項系數(shù)與判別式滿足的條件,化為關(guān)于參數(shù)的不等式問題,通過解不等式求解.注意二次是否可為0.六、最值法例6若已知不等式對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.分析:本題是一元二次不等式在某個區(qū)間上恒成立問題,將其化為一邊是關(guān)于的二次式的另一邊為0的形式,其對應(yīng)的函數(shù)最值易求,故用最值法.解析:原不等式可化為:0對恒成立,設(shè)=()=,對稱軸=且離2遠(yuǎn),故=2時,=,要使0對恒成立,只需=0即可,
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