含參數(shù)恒成立不等式問題的解題策略.doc

含參數(shù)恒成立不等式問題的解題策略河南省三門峽市盧氏一高高三數(shù)學(xué)組（472200）趙建文 張賀忠 Eail:691724121 含參數(shù)不等式恒成立問題是高中數(shù)學(xué)中的一類重要問題，是高考考查的重點和熱點，本文將這類問題的解題策略作以介紹，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考. 一、主元變換法例1已知關(guān)于的不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.分析：本題是對含參數(shù)的不等式在某個區(qū)間上恒成立，用主元變換法處理.解析：將其化為關(guān)于的不等式：對恒成立，當(dāng)=1時，不等式化為00，不成立.當(dāng)1時，關(guān)于的一次函數(shù)=在-2,4上的值恒為正值，無論一次項系數(shù)為正還是為負(fù)，只需要，即，解得或.所以實數(shù)的取值范圍.點評：對含參數(shù)的不等式在某個區(qū)間上恒成立問題，若將其看成關(guān)于已知范圍的變量的不等式更為簡單，常將已知范圍的變量看作主變量，化為關(guān)于已知范圍的變量的不等式，結(jié)合對應(yīng)的函數(shù)圖像，得出其滿足的條件，通過解不等式求解.二、數(shù)形結(jié)合法例2已知關(guān)于的不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.分析：本題是一邊為二次式另一邊是對數(shù)式的不等式問題，用數(shù)形結(jié)合法.解析：作出=和的圖像，由題意知對，=圖像恒在的圖像的下方，故，解得,故實數(shù)的取值范圍為.點評：對不等式經(jīng)過移項等變形，可化為兩邊是熟悉的函數(shù)的形式，特別是可化為一邊為多項式另一邊是超越函數(shù)的不等式問題和含參數(shù)的一元二次不等式問題，常常用數(shù)形結(jié)合法，先構(gòu)造函數(shù)，再作出其對應(yīng)的函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像找出其滿足的條件，通過解不等式求出參數(shù)的范圍.例3.對任意實數(shù)不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.分析：設(shè)=,對任意實數(shù)不等式恒成立即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)=的最小值，畫出此函數(shù)的圖象即可求得的取值范圍.解：令=在直角坐標(biāo)系中畫出圖象如圖所示，由圖象可看出，要使對任意實數(shù)不等式恒成立只需.故實數(shù)的取值范圍點評：本題中若將對任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍，改為任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍，同樣由圖象可得3;對任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍,構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象，得3.利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍.三、分離變量法例3已知函數(shù)在R上是減函數(shù)，對一切不等式 成立，求實數(shù)的取值范圍.分析:先用函數(shù)的單調(diào)性化為關(guān)于的不等式，再用分離變量法，化為一端關(guān)于的式子另一端是關(guān)于的式子的不等式，解析：函數(shù)在R上是減函數(shù)，對一切不等式 成立，對一切恒成立，對一切恒成立，設(shè)=， =，當(dāng)=1即=（）時，=2，2， 解得或3，實數(shù)的取值范圍為或3.點評：對含參數(shù)不等式的在某個范圍上恒成立求參數(shù)范圍問題,若容易通過恒等變形將兩個變量分別置于不等號的兩邊，即化為不等式(或)在的某個范圍上恒成立問題,則(),先求出的最值，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式問題，通過解不等式求出參數(shù)的取值范圍.四、分類討論法例4當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.分析：本題不等式左邊是對數(shù)式，底數(shù)含參數(shù)，故需要對底數(shù)分類討論.解析：原不等式可化為：，當(dāng)01 時，對數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，則原不等式等價于：對恒成立， 當(dāng)時，=8， 8，解得，或；當(dāng)1 時，對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，則原不等式等價于：對恒成立， 當(dāng)時，=2， 2，解得，或 1，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.點評：對含參數(shù)恒成立的不等式問題，若參數(shù)取值不同，是不同的不等式或解法不同時，可對參數(shù)進(jìn)行分類討論進(jìn)行求解，注意分類要做到不重不漏.五、判別式法例5不等式1對R恒成立，求實數(shù)的取值范圍.分析：本題左邊是分子和分母都為關(guān)于二次三項式，可用判別式法.解析：0恒成立， 原不等式可化為：0對R恒成立，20， =0，解得13，實數(shù)的取值范圍為（1，3）.點評：對可化為關(guān)于一元二次不等式對對R（或去掉有限個點）恒成立，常用判別式法.先將其化為關(guān)于一元二次不等式，結(jié)合對應(yīng)的一元二次函數(shù)圖像，確定二次項系數(shù)與判別式滿足的條件，化為關(guān)于參數(shù)的不等式問題，通過解不等式求解.注意二次是否可為0.六、最值法例6若已知不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.分析：本題是一元二次不等式在某個區(qū)間上恒成立問題，將其化為一邊是關(guān)于的二次式的另一邊為0的形式，其對應(yīng)的函數(shù)最值易求，故用最值法.解析：原不等式可化為：0對恒成立，設(shè)=()=，對稱軸=且離2遠(yuǎn)，故=2時，=，要使0對恒成立，只需=0即可，