偏微分方程數值解例題答案.doc

二、改進的Euler方法梯形方法的迭代公式(1.10)比Euler方法精度高,但其計算較復雜,在應用公式(1.10)進行計算時,每迭代一次,都要重新計算函數的值,且還要判斷何時可以終止或轉下一步計算.為了控制計算量和簡化計算法,通常只迭代一次就轉入下一步計算.具體地說,我們先用Euler公式求得一個初步的近似值,稱之為預測值,然后用公式(1.10)作一次迭代得,即將校正一次.這樣建立的預測校正方法稱為改進的Euler方法:預測: 校正: (1.15)這個計算公式也可以表示為例1 取步長，分別用Euler方法及改進的Euler方法求解初值問題解 這個初值問題的準確解為. 根據題設知(1) Euler方法的計算式為由, 得 這樣繼續(xù)計算下去，其結果列于表9.1.(2) 改進的Euler方法的計算式為由，得這樣繼續(xù)計算下去，其結果列于表9.1.表9.1Euler方法改進的Euler方法準確值0.10.90000000.90095000.90062350.20.80190000.80526320.80463110.30.70884910.71532790.71442980.40.62289020.63256510.63145290.50.54508150.55761530.55634600.60.47571770.49055100.48918000.70.41456750.43106810.42964450.80.36108010.37863970.37720450.90.31454180.33262780.33121291.00.27418330.29235930.2909884從表9.1可以看出,Euler方法的計算結果只有2位有效數字,而改進的Euler方法確有3位有效數字,這表明改進的Euler方法的精度比Euler方法高.例2 試用Euler方法、改進的Euler方法及四階經典R-K方法在不同步長下計算初值問題在0.2、0.4、0.8、1.0處的近似值，并比較它們的數值結果.解 對上述三種方法,每執(zhí)行一步所需計算的次數分別為1、2、4。為了公正起見，上述三種方法的步長之此應為。因此，在用Euler方法、改進的Euler方法及四階經典R-K方法計算0。2、0。4、0。8、1。0處的近似值時，它們的步長應分別取為0。05、0。1、0。2，以使三種方法的計算量大致相等。Euler方法的計算格式為改進的Eluer方法的計算格式為四階經典R-K方法的計算格式為初始值均為，將計算結果列于表9.2.表9.2Euler方法（步長h=0.05）改進的Euler方法（步長h=0.1）四階經典R-K方法（步長h=0.2）準確解0.20.80318660.80526320.80463630.80463110.40.62717770.63256510.63146530.63145290.60.48255860.49055100.48919790.48918000.80.36930360.37863970.37722490.37720451.00.28274820.29235930.29100860.2909884從表9.2可以看出，在計算量大致相等的情況下，Euler方法計算的結果只有2位有效數字，改進的Euler方法計算的結果有3位有效數字，而四階經典R-K方法計算的結果卻有5位有效數字，這與理論分析是一致的。例1和例2的計算結果說明，在解決實際問題時，選擇恰當的算法是非常必要的。需要指出的是Runge-Kutta方法的基于Taylor展開法，因而要求解具有足夠的光滑性。如果解的光滑性差，使用四階Runge-Kutta方法求得數值解的精度，可能不如改進的Euler方法精度高。因此，在實際計算時，要根據具體問題的特性，選擇合適的算法。一、應用向前歐拉法和改進歐拉法求由如下積分所確定的函數y在點x =0.5,1.0,1.5的近似值。解：該積分問題等價于常微分方程初值問題其中h=0.5。其向前歐拉格式為改進歐拉格式為將兩種計算格式所得結果列于下表向前歐拉法改進歐拉法000010.50.50.4447021.00.889400.7313731.51.073340.84969二、應用4階4步阿達姆斯顯格式求解初值問題 取步長h=0.1.解：4步顯式法必須有4個起步值，已知，其他3個用4階龍格庫塔方法求出。本題的信息有：步長h=0.1；結點；經典的4階龍格庫塔公式為算得,4階4步阿達姆斯顯格式由此算出三、用Euler方法求問步長應該如何選取，才能保證算法的穩(wěn)定性？解：本題本題的絕對穩(wěn)定域為得，故步長應滿足求梯形方法的絕對穩(wěn)定域。證明：將Euler公式用于試驗方程，得到整理設計算時有舍入誤差，則有據穩(wěn)定性定義，要想，只須因此方法絕對穩(wěn)定域為復平面的整個左半平面（？），是A-穩(wěn)定的。五、對初值問題 證明：用梯形公式求得的數值解為并證明當步長時，收斂于該初值問題的精確解證明：由梯形公式，有整理，得由此遞推公式和初值條件，有，則有在區(qū)間上有，步長，由前面結果有由x的任意性，得所證。六、對于微分方程，已知在等距結點處的y的值為，h為步長。試建立求的線性多步顯格式與與隱格式。解：取積分區(qū)間，對兩端積分：對右端作的二次插值并積分得到線性4步顯格式若對右端在兩點上作線性插值并積分，有由此產生隱格式七、證明線性多步法存在的一個值，使方法是4階的。解： 由本題的公式，有 當=9時，局部截斷誤差是4階的，故該多步法是4階方法。數值積分習題解答說明 1.確定下列求積公式中的參數，使其代數精度盡可能高，并指出對應的代數精度（1）（2）（3）（4）6.若用復化梯形公式計算問區(qū)間0,1應分成多少等份才能使截斷誤差不超過 ？若用復化辛普森公式，要達到同樣的精度，區(qū)間0,1應分成多少等份？7如果，證明用梯形公式計算