物理畢業(yè)論文.doc

2008年4月第25卷第2期 重慶師范大學學報(自然科學版)Journal of Chongqing Normal University( Natural Science)AprVol. 252008 No. 2淺議導出玻爾量子化條件的駐波條件 羅光，肖廣渝(重慶師范大學物理學與信息技術學院，重慶400047)摘要:從教科書中根據(jù)直線弦振動的駐波條件，處理電子繞核作國周運動角動t的t子化問題，導致了與玻爾理論量子化條件不一致的結(jié)論。提出利用駐波的特點和封閉弦振動駐波滿足的對稱性，得出回形封閉弦形成駐波的條件為周長是半波長的偶數(shù)倍。利用此條件可以處理電子繞核作圓周運動的角動!亞子化問題，從而得出與玻爾定態(tài)理論一致的結(jié)論。最后把玻爾定態(tài)理論的3個假設分別與駐波特點相對應，用駐波的特性解釋了電子繞核運動的能t、角動t的貧子化問題。關鎮(zhèn)詞:盆子力學;玻爾金子化條件;駐波;角動量中圈分類號;0413.1文獻標識碼:A文章編號;1672-6693(2008)02-0088-03 大學物理教材中“，處理電子繞核運動的角動量是量子化的這一玻爾量子化條件假設時，一般從駐波的特征出發(fā)得出形成駐波的條件，再聯(lián)系電子具有的波動屬性，確定出電子的波長，導出角動量是量子化的，并以此建立了德布羅意波和玻爾理論的聯(lián)系，以說明或驗證玻爾軌道角動量量子化的條件。由于把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來，也使能量量子化與有限空間駐波的波長和頻率的離散性聯(lián)系起來，建立了經(jīng)典理論和量子理論的和諧性。 雖然從量子力學a的角度看這種聯(lián)系待磋商，但是因為能讓學生從較易接受的具體弦振動的簡正模式出發(fā)，來理解抽象的量子力學中軌道角動量的量子化，容易被學生接受。因而很多教材“都采用這種方式給出電子具有波動性的屬性。然而只要稍加分析就可以看出，這種聯(lián)系是不嚴密的。因為形成駐波的條件與在建立德布羅意波和玻爾理論的聯(lián)系的駐波條件的表達式是不完全相同的。為什么有那樣的區(qū)別，沒有哪個教材作了相關的解釋。因而細心的讀者一旦發(fā)現(xiàn)這種不一樣，往往陷人模棱兩可的境地，反而使本就艱深的量子力學變得更加令人費解。1由直線弦振動的駐波條件導出的角動口 對于具有一定長度且兩端固定的弦，根據(jù)弦振動的簡正模式可以形成駐波。波長A。和弦長l之間必須滿足5 A_二n-=一二(n=1.2.3 . Z(1)事實上，按此條件是無法導出與玻爾理論相一致的角動量量子化條件的。因為根據(jù)德布羅意波的波長公式，質(zhì)量為m的電子，以速率:運動時，其波長為結(jié)合(1)式，當。=電子的角動量L為人=立 刀刁v人時，以半徑為r (2)的圓周運動的 h，。二、，.、L = mvr =幾二-(n=I。乙.s.)cj) 4叮由(3)式可以看出，這與玻爾理論的角動量量子化條件的假設2 h乙二n二es Za(4)不一致。 為了避免這種不一致，很多普通物理學教材“在作這樣的解釋時，都把形成駐波的條件改為 l=nnn (5) 但沒有說明理由。由于兩端固定的弦形成駐波的條件是由(1)式確定。在將直線弦彎曲成圓形封閉弦時，形成駐波的條件就變成了(s式。因而學生在碰到上述問題時，大都陷人模棱兩可的境地。收稿日期:2007-09-03修回日期:2008-02-20作者簡介:羅光(1973-)，男，講師，博士研究生，研究方向為理論物理。 2008年4月第25卷第2期 重慶師范大學學報(自然科學版)Journal of Chongqing Normal University( Natural Science)AprVol. 252008 No. 2淺議導出玻爾量子化條件的駐波條件 羅光，肖廣渝(重慶師范大學物理學與信息技術學院，重慶400047)摘要:從教科書中根據(jù)直線弦振動的駐波條件，處理電子繞核作國周運動角動t的t子化問題，導致了與玻爾理論量子化條件不一致的結(jié)論。提出利用駐波的特點和封閉弦振動駐波滿足的對稱性，得出回形封閉弦形成駐波的條件為周長是半波長的偶數(shù)倍。利用此條件可以處理電子繞核作圓周運動的角動!亞子化問題，從而得出與玻爾定態(tài)理論一致的結(jié)論。最后把玻爾定態(tài)理論的3個假設分別與駐波特點相對應，用駐波的特性解釋了電子繞核運動的能t、角動t的貧子化問題。關鎮(zhèn)詞:盆子力學;玻爾金子化條件;駐波;角動量中圈分類號;0413.1文獻標識碼:A文章編號;1672-6693(2008)02-0088-03 大學物理教材中“，處理電子繞核運動的角動量是量子化的這一玻爾量子化條件假設時，一般從駐波的特征出發(fā)得出形成駐波的條件，再聯(lián)系電子具有的波動屬性，確定出電子的波長，導出角動量是量子化的，并以此建立了德布羅意波和玻爾理論的聯(lián)系，以說明或驗證玻爾軌道角動量量子化的條件。由于把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來，也使能量量子化與有限空間駐波的波長和頻率的離散性聯(lián)系起來，建立了經(jīng)典理論和量子理論的和諧性。 雖然從量子力學a的角度看這種聯(lián)系待磋商，但是因為能讓學生從較易接受的具體弦振動的簡正模式出發(fā)，來理解抽象的量子力學中軌道角動量的量子化，容易被學生接受。因而很多教材“都采用這種方式給出電子具有波動性的屬性。然而只要稍加分析就可以看出，這種聯(lián)系是不嚴密的。因為形成駐波的條件與在建立德布羅意波和玻爾理論的聯(lián)系的駐波條件的表達式是不完全相同的。為什么有那樣的區(qū)別，沒有哪個教材作了相關的解釋。因而細心的讀者一旦發(fā)現(xiàn)這種不一樣，往往陷人模棱兩可的境地，反而使本就艱深的量子力學變得更加令人費解。1由直線弦振動的駐波條件導出的角動口 對于具有一定長度且兩端固定的弦，根據(jù)弦振動的簡正模式可以形成駐波。波長A。和弦長l之間必須滿足5 A_二n-=一二(n=1.2.3 . Z(1)事實上，按此條件是無法導出與玻爾理論相一致的角動量量子化條件的。因為根據(jù)德布羅意波的波長公式，質(zhì)量為m的電子，以速率:運動時，其波長為結(jié)合(1)式，當。=電子的角動量L為人=立 刀刁v人時，以半徑為r (2)的圓周運動的 h，。二、，.、L = mvr =幾二-(n=I。乙.s.)cj) 4叮由(3)式可以看出，這與玻爾理論的角動量量子化條件的假設2 h乙二n二es Za(4)不一致。 為了避免這種不一致，很多普通物理學教材“在作這樣的解釋時，都把形成駐波的條件改為 l=nnn (5) 但沒有說明理由。由于兩端固定的弦形成駐波的條件是由(1)式確定。在將直線弦彎曲成圓形封閉弦時，形成駐波的條件就變成了(s式。因而學生在碰到上述問題時，大都陷人模棱兩可的境地。收稿日期:2007-09-03修回日期:2008-02-20作者簡介:羅光(1973-)，男，講師，博士研究生，研究方向為理論物理。第2期羅光，等:淺議導出玻爾量子化條件的駐波條件的6)人2圓形封閉弦形成駐波條件 圓形封閉弦的駐波圖樣可以由直線弦駐波圖樣經(jīng)適當變形似乎很自然地可以得到，如圖1所示，直線弦駐波具有的性質(zhì)封閉弦也應該有。當兩端固定時，波節(jié)數(shù)n和波腹數(shù)m間的關系為n一1 = m，任意一個波節(jié)兩邊的點的相位相差二，波長A。和弦長L之間必須滿足(1)式，才能形成駐波。當兩端點合在一點構(gòu)成封閉弦，即始于同一點，反向沿圓周傳播時(該點為可區(qū)分時)，與直線弦兩端固定時形成駐波的條件一樣，也是(1)式，此時的弦長即為圓周長。當然根據(jù)此條件只能得到描述角動量量子化條件的(3)式，無法得到與玻爾理論角動量量子化條件相一致的結(jié)果。但是當弦的兩端點與其它點無法區(qū)分時，也無需區(qū)分時，這時形成駐波的條件與直線弦形成駐波的條件就不一樣了，此時波節(jié)數(shù)n和波腹數(shù)m間的關系為rz=m，任意一個波節(jié)兩邊的點的相位相差二，波長A。和弦長l間的關系也將有所變化，端點也成為節(jié)點之一，如圖1中c和d所示以及圖2所示，根據(jù)波節(jié)兩邊點的相位相差二的關系，可以看出，圖2所示的情形是不能形成駐波的(因為節(jié)點1兩邊的點的相位是相同的)。由此可以得出，當兩列波起于同一點反向沿同一圓周傳播時，要形成駐波，則波長A。和弦長L之間滿足的關系式(1)中的n必須是偶數(shù)，在圓周上必須只有偶數(shù)個波腹偶數(shù)個波節(jié)，才能夠形成駐波。電子繞核運動的方式與圓形封閉弦形成駐波的條件吻合。其他點區(qū)分時，就有以下兩種可能: 1)假如圓周周長l為電子的德布羅意波長關系為二27tr=人，-( zn十I)Z“、.,I Iv, 1, a b - a 圖I直線弦駐波過渡到圓形封閉弦駐波示意圖 a直線弦駐波示意圖;b由直線弦向封閉弦駐波的過渡;c圓周長等于波長時的封閉弦駐波示意圖;d圓周長是波長4倍時的封閉弦駐波示意圖 ，口ii1 3 a b 圖2圓形封閉弦端點固定時形成的駐波示意圖 a圓周長剛好是半波長時的封閉弦駐波示意圖;b圓周長是半波長3倍時的封閉弦駐波示意圖 對于圓形封閉弦，當弦的端點無法(也無須)與即圓周長是半波長的奇數(shù)倍時，則無法形成駐波。因為只有奇數(shù)個波腹、奇數(shù)個波節(jié)，根據(jù)圓的對稱性要求，在一個圓周上假如是奇數(shù)個波腹(或波節(jié))，肯定是不對稱，此時波節(jié)兩邊的點的相位相相同。如圖2所示，比如選擇1點，就無與它對稱的點。這時點1就是可以區(qū)分的點(其它點也類似，都不具有中心對稱性)，就不適合描述電子圍繞核運動的特點繞核運動、關于中心對稱以及無始點和終點(終點和始點不可分辨)等。 2)要滿足電子繞核運動的特點，則要求圓周周長L為電子的德布羅意波長A的整數(shù)倍，即 L=21rr=nd (7)如圖1中c和d的情形。這種情況就滿足了對稱性要求，此時波節(jié)兩邊的點的相位相差二，也滿足駐波形成的條件(1)式。 因此，把電子繞核作定態(tài)圓周運動看成是德布羅意幾率波的波動，利用封閉弦的簡正模式來分析駐波條件，這時波長入和弦長L之間必須滿足(7)所示的關系，利用(2)式，就可以得出與玻爾理論角動量量子化的條件(4)式相一致的表達式。 在德布羅意物質(zhì)波的理論中，電子在原子中的運動對應著一種波動，雖然這是一種幾率波，不同于機械波，但是同樣滿足波的相關特性，比如干涉、衍射等。而且利用駐波形成后的特點可以在一定程度上解釋玻爾理論的以下3個假設。 a)電子在原子中，可以在一些特定圓軌道上運動而不輻射電磁波，這時原子處于穩(wěn)定狀態(tài)，并具有一定的能量。對于電子繞核的這種特殊的運動，既要滿足波動，又不輻射能量，這種波動只有形成駐波時才能同時滿足。 b)電子以速度:在半徑為r的圓軌道上繞核運動時，只有電子的角動量等于h/2二的整數(shù)倍的那些軌道才是穩(wěn)定的。從波動屬性可以得出，要形成駐波，此時電子的波長和圓周長間必須滿足形成駐波的條件(5)式，這時電子的角動量剛好等于h/2,Tr的整數(shù)倍，正如(4)式所描述的一樣_ c)當原子從高能量的定態(tài)躍遷到低能量的定態(tài)，要輻射一定頻率的光子。根據(jù)駐波形成的特點波的能量不再作定向傳播，只能是動能和勢Journal of Chongqing Normal University( Natural Science)Vol. 25 No. 2能的不斷相互轉(zhuǎn)化(機械能守恒)，電子繞核運動的動能和相對核的勢能之和(機械能)就是一個確定的值。當不同的軌道之間發(fā)生躍遷時，即是駐波的封閉弦半徑發(fā)生了變化，而這種變化由于駐波條件限制，導致了不連續(xù)性，在經(jīng)典力學中可以推出電子具有的動能和勢能，從而可以得出電子的機械能發(fā)生了相應的變化，機械能的增加量或減少量就對應了電子將吸收或輻射的能量。由于半徑的變化是離散的，吸收或輻射的能量也是離散的。假如原子是從高能量的定態(tài)躍遷到低能量的定態(tài)，則以光子的形式輻射的能量就是一定的，相應的頻率也是一定的。性，對直線弦形成駐波的弦長與波長滿足的條件作適當?shù)母倪M，就可以保證在邏輯嚴密，理論自洽上得出玻爾理論中角動量量子化的條件，從而能達到讓學生從較熟悉的駐波的特點更充分地理解相對艱深的量子理論。 致謝:重慶工學院楊光富教授對本文給予了悉心指導，謹此致謝!3結(jié)論 總之，在分析電子繞核作定態(tài)圓周運動，利用振動的簡正模式形成駐波的條件來導出玻爾理論中的角動量量子化條件的假設時，關鍵的問題是要搞清楚直線弦與圓形封閉弦按振動的簡正模式形成駐波所具有的特點。利用圓形封閉弦所具有的中心對稱參考文獻:I程守沫，江之永.普通物理學(下冊)【M.第6版.北 京:高等教育出版社，2006.238.2馬文蔚，解希順，周雨青.物理學(下冊)M.第5版. 北京:高等教育出版社，2006.332.3梁紹榮，管靖.基礎物理學(下冊)M.北京:高等教育 出版社，2002.208-209.4林禎棋.從量子論到玻色一愛因斯坦統(tǒng)計【M.重慶師范 大學學報(自然科學版),2006,23(4);45-19.5馬文蔚，解希順，周雨青.物理學(下冊)M.第5版. 北京:高等教育出版社，2006.68-69.A Tentative Study of Standing Wave Condition Used to Deduce Bohr Quantized Condition LUO Guang, XIAO Guang-yu (College of Physics and Information Technology, Chongqing Normal University, Chongqing 400047，China)Abstract: This paper thinks that the conclusion will disagree with the Bohr angular momentum quantized condition, if the standing wavecondition of linear string vibration is used directly to deal with angular momentum of the motion of electron going round nucleus in a cir-cle in the textbook. The paper holds that if one employs the char