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第十節(jié) 一 最值定理 二 介值定理 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第一章 注意 若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上連續(xù) 結(jié)論不一定成立 一 最值定理 定理1 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù) 即 設(shè) 則 使 值和最小值 或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷 在該區(qū)間上一定有最大 證明略 點(diǎn) 例如 無(wú)最大值和最小值 也無(wú)最大值和最小值 又如 推論 由定理1可知有 證 設(shè) 上有界 二 介值定理 定理2 零點(diǎn)定理 至少有一點(diǎn) 且 使 證明略 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界 定理3 介值定理 設(shè) 且 則對(duì)A與B之間的任一數(shù)C 一點(diǎn) 證 作輔助函數(shù) 則 且 故由零點(diǎn)定理知 至少有一點(diǎn) 使 即 推論 使 至少有 在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 必取得介于最小值與最 大值之間的任何值 例1 證明方程 一個(gè)根 證 顯然 又 故據(jù)零點(diǎn)定理 至少存在一點(diǎn) 使 即 說(shuō)明 內(nèi)必有方程的根 取 的中點(diǎn) 內(nèi)必有方程的根 可用此法求近似根 二分法 在區(qū)間 內(nèi)至少有 則 則 例2 證 由零點(diǎn)定理 例3驗(yàn)證方程 至少有一個(gè)正根不大于 證設(shè) 由根存在定理 至少 例4設(shè) 證假設(shè) 則至少 則至少 與已知矛盾 故 例5 證 例6 證 從而 又 從而 故 即 上連續(xù) 且恒為正 例7 設(shè) 在 對(duì)任意的 必存在一點(diǎn) 證 使 令 則 使 故由零點(diǎn)定理知 存在 即 當(dāng) 時(shí) 取 或 則有 證明 內(nèi)容小結(jié) 在 上達(dá)到最大值與最小值 上可取最大與最小值之間的任何值 4 當(dāng) 時(shí) 使 必存在 上有界 在 在 作業(yè)P73題2 4 5P76題13 14 1 任給一張面積為A的紙片 如圖 證明必可將它 思考與練習(xí) 一刀剪為面積相等的兩片 提示 建立坐標(biāo)系如圖 則面積函數(shù) 因 故由介值定理可知 則 證明至少存在 使 提示 令 則 易證 2 設(shè) 一點(diǎn) 3 下述命題是否正確 思考題3解答 不正確 例函數(shù) 4 證明 至少有一個(gè)不超

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