清華大學 計算流體力學講義 第二章 理論基礎(2).doc

七、差分數(shù)值解的耗散(Dissipation)和頻散(Dispersion)性質1、 微分方程解的耗散或頻散特性；考查方程： 的解的性質，（271）設初值條件為：設解的一般形式為： （272） 其中 為復數(shù)，并且 若寫成 其中為實數(shù)則： 將（27-2）式的解代入（271）方程，得： 即 將 代入: （273）討論幾種特例； 所有 即 行波方程解為: 這表示分解的振幅將終是 ，所以解是無耗散的；不論k是多少， 波速均為所以波形不發(fā)生任何變化，所以也是無頻（色）散的解。 ，其余的偏導數(shù)項系數(shù)均為0。方程為： 解為： 此解表示 僅當時解的振幅才是衰減的，即為（正）耗散解 而 當 時 振幅隨時間呈指數(shù)增長，解將是無界的，有時也稱為負耗散解。 但不論 ，波速與波數(shù)k無關，波速恒為，所以是一種無頻散的解。 ，其余的偏導數(shù)項系數(shù)均為0。方程為： 方程（弧立波方程）解為： 解是無耗散的，但不同的分立波（波數(shù)不同），傳播速度不一樣，其傳播速度為 即 時k越大，則波速越大，換言之，波數(shù)較大的子波會逐步趕上波數(shù)較小的子波，在滿足一定的條件下，將形成孤立波。類似地討論iv).時 : 結論:（1）偶階導數(shù)項影響解的耗散，并且對于能被4的整除的偶階項， 當其系數(shù)為負時，是正耗散，為正時是負耗散（解趨于無窮）；而其余的偶階項（即不能被4整除的偶階項，例如2階、6階、10階等）當系數(shù)為正時是正耗散，系數(shù)為負時是負耗散（解）；（2）奇階導數(shù)項只影響解的頻散（色散）特性，不影響解的耗散特性；（3）方程（271）的解既有耗散，也有頻散，其耗散及頻散特性與這兩個無窮級數(shù)的和有密切的關系。2、 解的耗散，頻散特性的定量討論方法。例1； 解為 當時，解可以寫成：對于的每一個分量（即分立波）；引入放大因子G；G是復數(shù)對于復數(shù)G，可以考察，以及G的復角G ： 的含義；是相鄰時間間隔內(nèi)解的振幅的改變；G的含義是相鄰時間間隔內(nèi)解的相位差的改變。例2； 解為； 放大因子 當時 l 由于只要求G，所以并不一定需要將的仔細形式寫出，而重點放在這兩個瞬時的解表達式例3；對于差分方程 例； 的格式，該差分格式的修正方程為（通式）：回閱（273）式，其解為： 初值 若，解可寫成：l 注意此時 都是復數(shù)，其含義不僅僅是據(jù)幅了（與的含義不同?。?的改變包含振幅和相位的改變：因此，若固定空間位置，考慮時間間隔前后的解之比： 另一方面（273）式的解，當空間位置變化時，即：當時 ，或時相應的解的形式改變是： 綜合以上： 對于線性差分格式（274）式： 將此假設代入差分格式（274），并考慮對于線性差分格式，可以分別討論每一個Fourier 分量的關系，有：所有項均有并同除以 有時習慣將寫成，所以放大因子： 顯而易見，Lax差分格式的解與源方程的解的特性存在差異。與相比 討論：對于任意，要求則充分和必要的條件是：或 就是Lax格式的穩(wěn)定條件。從另一角度看， 即使，保證了解差分數(shù)值解的有界，（穩(wěn)定了！）但數(shù)值解與真解的差別，仍存在著耗散和頻散這兩個方面的誤差。可通過下列圖示表示：八、差分格式的守恒性質； 如果對一個差分方程在定義域的任意有限空間內(nèi)作求和運算，（即相當于在連續(xù)問題中對微分方程在空間域中作積分運算）所得的表達式仍能滿足該區(qū)域上物理量的守恒關系，則稱該差分格式具有守恒性，或守恒格式。例；對于連續(xù)方程； 有限體積域內(nèi)的質量守恒律為簡單起見，討論一維問題；守恒型 非守恒型對守恒方程用FTCS格式；若從N至M累加 可見，該格式在離散的概念下，所描述的守恒關系與微分的源方程描述的守恒律是一致的，所以是守恒格式。例2：Burger方程，其守恒形式是：格式1（由守恒形式出發(fā)）：格式2（由非守恒形式出發(fā)）： 請分別討論上述兩個格式的守恒性質。例3、杭州河口海洋研究所的實例。九、差分格式的保單調性質； 保單調格式的性質是指差分格式的計算，能保持原有函數(shù)的單調性。保單調格式對于防止數(shù)值解在連續(xù)區(qū)出現(xiàn)偽振蕩是非常重要的； 保單調性質是指；若所給初值函數(shù)值是的單調函數(shù)（也可以是分段單調函數(shù)），那么由保單調格式計算得到的也一定是的單調函數(shù)且與具有相同的單調性。差分格式的保單調性質將在構造TVD格式時進一步闡述。*單調格式；對于守恒格式。如果恒有 (其中為自變量的元函數(shù))，則稱為單調格式。l 單調格式具有保單調性質 證明；設是單調的（不失